Les maths EMLyon constituent la première épreuve de mathématiques du concours de la BCE tant pour les ECS que pour les ECE. Qu’as-tu pensé du cru Maths EM Lyon ECE 2022 ? Le sujet est souvent long et difficile à terminer. Comme dans toute épreuve de mathématiques, mais plus encore pour cette épreuve éxigeante : il faut être particulièrement rigoureux sur la rédaction ! Le sujet est par ici !
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Notre analyse du sujet de maths EMLyon ECE 2022
Commentaires généraux :
Dès l’ouverture du sujet, on réalise que l’innovation de l’an dernier où le sujet ECE avait pris la structure d’un sujet ECS avec deux gros problèmes (et tous les soucis que cela avait pu engendrer pour les candidats), aura fait long feu cette année.
On retrouve un découpage classique en trois exercices, de longueur inégale ceci dit : cela aura permis d’approfondir davantage le thème des probabilités notamment dans l’exercice 1.
Avec 58 questions, cela reste un sujet très long mais qui balaie largement le programme de ECE et aura permis aux candidats sérieusement préparés de montrer ce dont ils sont capables à l’issue de deux années de classe préparatoire.
On note à première vue beaucoup de questions classiques qui permettront également aux correcteurs d’évaluer les compétences rédactionnelles des candidats, dont ont sait qu’elles sont primordiales pour cette épreuve de l’EMLyon en particulier.
Passons maintenant à l’analyse détaillée des trois exercices qui composent ce sujet.
Exercice 1
Un joli exercice autour d’un thème classique, mais qui n’était pas tombé depuis longtemps sous cette forme aux concours : le “problème de la ruine du joueur”.
L’exercice est découpé en trois parties de longueurs et de difficultés inégales.
Partie A
La variable aléatoire introduite dans l’énoncé suit “presque” la loi géométrique du temps d’attente d’un premier succès : dès la question 1., tout est fait pour s’y ramener et faciliter ainsi les calculs tout en testant la connaissance des formules du cours.
La question 3. de Scilab fait ainsi partie des scripts exigibles où l’on simule cette loi géométrique classique, la ligne 6 réalisant le petit décalage juste nécessaire pour simuler \(X\).
De quoi, donc, engranger dès le début de l’épreuve quelques points précieux.
Partie B
Une partie plus ardue car on entre dans le dur de ce problème de probabilités discrètes, qui sont si discriminantes bien qu’étudiées dès la première année de prépa. Un stabilo aura sans doute été nécessaire pour mettre en avant les données importantes de cette longue introduction annonciatrice de raisonnements pointus.
La question 4. de Scilab, avec sa double boucle qui simule les parties répétées, présente classiquement un script “à trous” où les commandes manquantes seront rapides à écrire, moins évidentes à trouver.
La question 5 comporte des questions sur la notion fine d’implications entre événements, et des conséquences sur les probabilités, avec une conclusion en question 6. sur la propriété de limite monotone pour les probabilités : une notion rarement bien maîtrisée qui sera sans doute bien valorisée.
La question 7. cherche à obtenir une relation de récurrence pour la suite \( (u_n)_{n \in \mathbb{N}} \) qui fera appel à la formule des probabilités totales et une interprétation fine là encore, des probabilités conditionnelles : quand l’énoncé donne les résultats en demandant de “montrer que”, c’est généralement que la preuve est plus ardue mais qu’on veut laisser la possibilité de faire les questions suivantes avec les résultats obtenus.
La question 8 mêle des raisonnements sur les suites avec leur interprétation probabiliste : ce n’est pas tout à fait évident, mais assez joli (du point de vue du prof bien sûr ^^).
Partie C
On revient paradoxalement – en apparence du moins – à des considérations un peu plus faciles car plus courantes, sur les variables aléatoires discrètes dans les questions 9, 10 et 11 qui auront permis aux candidats de bien reprendre pied dans cet exercice si la partie B les avait laissés plutôt perplexes.
Les résultats – éventuellement admis – de la partie B permettent de traiter la question 12 où l’on trouve une suite géométrique et quelques calculs associés qui demandent moins de technicité, mais davantage de capacité à faire des liens entre les questions.
Une question plus ouverte de synthèse termine de belle manière cet exercice qui deviendra sans doute un classique d’entraînement pour les générations futures.
Exercice 2
Un exercice d’algèbre linéaire beaucoup plus court, d’un format assez classique pour l’EMLyon, qui permet de tester les fondamentaux du cours sur ce thème, et en particulier bien sûr la réduction des endomorphismes, centrale dans le programme de ECE2.
Les exercices faisant intervenir la trace figurent assez souvent dans les annales, et les candidats se seront peut-être sentis en terrain familier.
La difficulté résidera comme toujours, dans le fait qu’il faut bien maîtriser la nature des objets considérés, ne pas faire de confusions de vocabulaire : sous-espace, application linéaire, noyau, dimension, base, etc…
Le fait par exemple que la trace soit une application linéaire mais pas un endomorphisme (car l’espace de départ n’est pas du tout égal à l’espace d’arrivée) est à prendre très sérieusement en considération pour éviter d’écrire quelques énormités dès le départ.
La question 2 sera à ce titre plus rassurante, et la question 3, détaillée en 4 sous-questions, sera revenue sur un exemple concret plus calculatoire et classique, qui aura permis aux candidats d’enchaîner plusieurs questions, avant la généralisation à la question 4, plus ardue.
C’est cependant suffisamment détaillé pour qu’on puisse y récolter quelques points précieux, en soignant là encore la rédaction.
Les quatre dernières questions de l’énoncé sont à première vue plus difficile car plus théoriques et plus ouvertes : à confirmer en écrivant le corrigé, elles permettront aux plus à l’aise de montrer l’étendue de leurs capacités, ce qui est aussi un des objectifs d’une épreuve de concours.
Exercice 3
Dernier thème attendu dans une épreuve de l’EMLyon : l’analyse, où l’on retrouve une étude de fonction, des intégrales, des séries et des fonctions de deux variables, bref, le tour complet du programme sur ce thème fondamental, le tout en trois parties finalement assez indépendantes.
Partie A
Un exercice d’analyse de l’EMLyon commence presque toujours par une étude détaillée de fonction : pas d’exception ici donc, on retrouve une fonction définie par une certaine expression sur tout un intervalle, sauf en un point hors-domaine en lequel on fixe une valeur pour l’image : le but est alors de savoir si ladite fonction est globalement continue, dérivable, de classe \(\mathcal{C}^1\) avec toutes les questions intermédiaires nécessaires.
Il fallait là encore faire confiance à l’entraînement longuement répété depuis la première année sur toutes ces questions, éviter les confusions, en particulier dans la notion de continuité ou de dérivabilité “en un point” versus “sur un intervalle” : cela ne se rédige pas de la même façon.
On termine là encore assez classiquement sur un tracé de courbe, dont on ne redira jamais assez qu’il est toujours fortement valorisé puisqu’il permet de faire la synthèse de toutes les informations obtenues précédemment : considérer toujours que c’est payé aussi cher qu’un script Scilab !
Partie B
Une partie plus technique qui définit d’emblée une fonction par une intégrale : le théorème du cours qui dit que la fonction \(L\) est en fait La primitive de \(f\) qui s’annule en 0 et que par conséquent : \(\forall x \in ]-\infty\,;1[,\ L'(x) = f(x) \) sans calcul, semble souvent une réponse trop rapide aux candidats; pourtant, il n’y a rien à dire de plus !
La suite est un peu technique avec des intégrales faussement impropres en 0 (question 7.c.), là encore tout se jouera sur la qualité de la rédaction.
C’est assez long car rédactionnel Et calculatoire, donc une partie où l’on aura rentabilisé efficacement le temps accordé à cette partie de l’exercice.
La question 8 se réfère directement à la question 6, on pouvait donc s’y raccrocher si on avait renoncé à terminer la question 7. C’est un peu technique (il faut dériver proprement \(L(-x)\) comme une composée de fonctions) mais pas inabordable.
Partie C
On termine sur l’étude d’une fonction de deux variables qui utilise, comme souvent à l’EMLyon, les fonctions d’une seule variable étudiées précédemment.
Cela permet de limiter les nouveaux calculs, mais il ne faut pas se perdre pour autant dans les notations et faire des confusions entre les variables… Et surtout en fait, avoir réussi la question 6 commentée plus haut, faute de quoi cette partie sera globalement inaccessible.
On prendra garde à la question 9.b. qu’il ne s’agissait pas seulement de prouver que \((-1,-1)\) est bien point critique de \(\Phi\), mais que c’était le Seul : pas d’autre moyen que de résoudre le système où l’on écrit que les deux dérivées partielles s’annulent.
Comme l’énoncé offrait la matrice Hessienne en 10.a., on pouvait en l’admettant si on ne l’avait pas obtenue, montrer sa bonne connaissance du cours et des méthodes pour traiter les deux dernières questions, et attraper les points correspondants!
Conclusion
En revenant à son format habituel, cette épreuve aura fait son travail : départager les candidats en balayant une grande partie du programme (pas de variables à densité, certes, mais c’est souvent tranché entre probabilités discrètes et continues dans ces sujets), tout en proposant des questions de difficultés variées pour que chacun puisse traiter le maximum de questions possibles dans le temps imparti.
On espère que tu t’en es bien sorti(e), le corrigé sere très vite disponible sur Major-Prépa!
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