Voilà l’analyse de l’épreuve de maths 2 HEC ESCP 2022 est une épreuve phare du concours de la BCE pour les ECS. Souvent centrée autour des probabilités, cette épreuve compte pour de nombreuses écoles ! Si les maths 2 ECS HEC ESCP peuvent être une épreuve qui fait peur, pas d’inquiétude : nul besoin de finir le sujet pour avoir une très bonne note ! (Encore heureux !!)
On t’invite tout d’abord à découvrir le sujet de Maths II HEC ESCP ECS 2022.
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Analyse des maths 2 HEC ESCP ECS 2022 :
L’épreuve de maths II HEC ESCP ECS de l’année 2022 semble relativement abordable pour nombre de candidats à premier abord. Cependant, cette impression peut être fourbe étant donné que cette épreuve reste un concours. En effet, la différence va surtout se faire sur les questions non traitées par la majorité des candidats (dont nous prétendrons dresser une liste non forcément exhaustive), mais surtout sur la qualité de la rédaction. Et je tiens à insister encore une fois sur la qualité de la rédaction.
Le problème de cette année porte sur un collectionneur de vignettes de boîtes de céréales que l’on va modéliser à l’aide de variables aléatoires discrètes (nommées ici \(C_{i}\) avec \(i \in [\![0;n]\!] \)). Plus précisément, on cherche à savoir combien de paquets de céréales acheter pour avoir la collection complète de vignettes.
Il ne s’agit pas d’une proposition de correction mais plutôt d’une analyse approfondie. Attention, elle n’engage que son auteur. Selon des estimations à prendre avec des pincettes bien-sûr (car beaucoup de variables dans l’équation), faire les deux premières parties avec une rédaction irréprochable pouvait nous assurer une note entre 18 et 20.
Préliminaires
Rien de vraiment bien compliqué dans cette partie préliminaires
La question 1. se fait très facilement par télescopage
La question 2. peut faire la différence sur la qualité de rédaction, plus précisément au niveau de la qualité de justification du modèle de loi géométrique, à savoir le temps d’attente avant d’obtenir une nouvelle vignette
Partie I
la partie I mêle beaucoup d’analyse à des probabilités, et en particulier elle étudie des suites très classiques à savoir \(\displaystyle \sum_{i=1}^{n} \frac{1}{k}\) et \(\displaystyle \sum_{i=1}^{n} \frac{1}{k^2}\). Globalement rien de bien technique dans cette partie qui est abordable à tous. Cependant, elle demande une rigueur extrême, ce qui suppose une connaissance du cours à la virgule près, sur le bout des doigts. Notamment au nouveau de la connaissance des hypothèses autour du théorème de prolongement des inégalités, à savoir citer au bon moment sur sa copie, etc.
La question 2.a) se résout par un encadrement simple.
Pour trouver la double inégalité de la question 2.b), il suffit de sommer la relation précédente pour \(k=1\) à \(k=n\)
La question 2.c) peut paraître très simple au premier abord, mais c’est typiquement le genre de question qui va clairement démarquer les candidats. En effet, pour justifier la convergence de la suite \((S_{n})\), il faut prendre soin de bien préciser que la série \(\displaystyle \sum \frac{1}{k^2}\) converge en tant que série de Riemann, puis utiliser la définition de la convergence d’une série (parallèle entre séries et suites) pour montrer que la suite des sommes partielles \((\displaystyle \sum_{i=1}^{n} \frac{1}{k^2})\) converge. Ensuite, il faut prendre le soin de calculer les limites des suites \((\frac{3}{2} – \frac{1}{n+1})\) et \((2 – \frac{1}{n})\) en amont. Seulement après avoir dit cela, on vient de réunir toutes les hypothèses pour appliquer le théorème de prolongement des inégalités à la relation précédente (en effet, ce théorème demande que toutes les suites en présence convergent, sinon il n’est pas applicable. Voilà une petite vigilance rédactionnelle qui permettra au candidat le plus rigoureux et méticuleux de passer devant nombre de copies).
La question 2.d) est également un encadrement, peut-être un peu plus technique.
La question 2.e) est un grand classique des scripts Scilab à retranscrire, qui demande de déterminer une valeur approchée de la suite. Il peut s’écrire via une boucle while
La question 3.a) se résout très facilement par l’inégalité des accroissements finis (encore faut-il maîtriser ses hypothèses parfaitement)
La question 3.b) demande de savoir recentrer l’inégalité de la 3.a) pour trouver l’encadrement demandé de \(u_n)\)
Il faut être très rigoureux pour faire la question 3.c). Encore une fois, il faut appliquer le théorème de prolongement des inégalités à la relation précédente, mais il faut avant cela montrer la convergence de la suite \(u_n)\). Cette convergence s’obtient par un simple théorème de la limité monotone. On sait déjà qu’elle est minorée par 0. Tout l’enjeu est de montrer ici que la suite est décroissante.
Pour répondre à la question 4. il suffit de remarquer que \(C_n\) est une combinaison linéaires des variables aléatoires \(X_i\) (cf. 1. ) qui admettent toutes une espérance (grâce à la question 2. ). ensuite on peut tranquillement appliquer la linéarité de l’espérance.
Même raisonnement pour la question 5.
La question 6.a) peut se résoudre à l’aide de l’inégalité de Bienaymé-Tchébychev
Pour la question 6.b), il suffit de fixer un entier \(c\) inférieur ou égal à 1, puis poser \(a=c-1\) (ce qui est donc possible comme \(a\) est positif ou nul)
La question 6.c) est du calcul numérique pur.
Partie II
La question 7. peut se résoudre par un calcul de la fonction de répartition de \(M_n\) puis par dérivation de celle-ci.
La question 8.a) n’est que du calcul.
La question 8.b) hausse le niveau de technicité, et demande une bonne maîtrise des probabilités pour être résolue. On pouvait notamment partir de la fonction de répartition.
Il semblerait que la récurrence soit une des méthodes de résolution de la question 8.
La question 9. est un grand classique puisqu’elle concerne la loi de Gumbel, vous pourrez trouver la correction entière de cette question dans notre corrigé de maths Ecricome ECS 2022.
La question 10.a) peut se résoudre en passant par la fonction de répartition de \(W_n\), et on peut utiliser le résultat de la question 8.b)
la question 10.b) n’est que l’application bête et méchante des méthodes de calculs convergence en loi.
La question 11.a) est un script scilab très simple demandant de recopier \(V_n\) en écriture Scilab
La question 11.b) est une application de la fameuse méthode de Monte-Carlo en informatique.
La question 11.c) est une interprétation graphique à partir d’un script scilab (question très esprit Maths II). Ici il faut remarquer que l’on fait une estimation de la loi de Gumbel. On remarque que plus n est grand, plus la courbe épouse le diagramme en bâtons. C’est une représentation graphique de la méthode de Monte Carlo. En fait, plus n est grand, plus le graphe sera précis.
Finalement, on conjecture que \(V_n\) suit la loi \(\mathcal{N}({0,2^2})\
La question 12. est plus technique, elle se résout en passage par la fonction de répartition de \(V\)
La question 13.a) se résout en remarquant la fameuse propriété sur la partie entière, à savoir \(\lfloor x \rfloor \leq x < \lfloor x \rfloor +1 \)
La question 13.b) nous guide. Il faut suivre les indications et ensuite sommer membre à membre les deux égalités obtenues, puis ensuite utiliser le fait qu’une variance est toujours positive.
La question 13.c) est plus technique
La question 14. est globalement plus technique que le reste du début de l’épreuve, mais on pouvait penser à gratter des points au niveau de la question 14.b)i., les candidats qui connaissent leur cours auront facilement trouvé la méthode de résolution de cette question, à savoir calculer les limites de cette fonction en 0 et en 1.
Enfin, possibilité de gratter des points au niveau de la question 14.e), qui est du calcul numérique pur. La 2e partie de la question était faisable par tous. Il s’agit juste de comprendre ce qu’on cherche à nous faire faire puis comparer et commenter les résultats (donnés) dans la partie I et la partie II. On remarque que l’intervalle de confiance trouvé dans la partie II est plus précis que celui de la partie I, ce qui prouve que la méthode employée dans la partie II est meilleure.
Partie III
La question 15.a) est une simple justification de modèle de loi.
La question 15.b) constitue un calcul de covariance.
La méthode de raisonnement est donnée dans la question 15.c)
La question 16.a) est la question la plus classique du sujet. Les plus connaisseurs d’entre-vous auront remarqué la fameuse inégalité de Boole, qui se résout classiquement par récurrence. L’enjeu de cette question concernait donc la rédaction. En effet la question n’est pas de montrer l’inégalité en question mais bien si … alors …, donc attention à comment on conclut.
La question 16.b) est un peu plus technique, mais constitue du calcul en soi.
La question 16.c) demande une très grande vigilance, car on aimerait vouloir appliquer \(m=cnln(n)\), sauf qu’il fallait s’assurer que \(cnln(n) \geq 1\)
La question 16.d) est du simple calcul.
On touche au couple de variable aléatoire à discrète dans la question 17.a). Il suffit simplement ici de justifier le modèle de la loi correctement.
La question 17.b) porte sur la fameuse loi multinomiale, une question classique mais compliquée.
La question 17.c) est du calcul.
La question 17.d) nous guide.
La question 19.a) peut se à l’aide de la formule des probabilités totales, en utilisant le système complet d’événement \([N=p]\)
Bonne courage pour cette épreuve de Maths 2 ECS HEC ESCP 2022 ! Tu pourras retrouver toute l’actualité du concours BCE 2022 sur notre rubrique Inside Concours BCE 2022.
