Ça y est ! L’heure est enfin arrivée, la première épreuve de ces concours est tombée, et pas des moindres pour nombre d’entre-vous, puisqu’il s’agissait bien de la très célèbre épreuve de mathématiques ECE d’Ecricome ! Mais à quoi pouvait-on bien s’attendre ? L’analyse du sujet, c’est maintenant.
Remarques générales sur le sujet
L’année dernière, on avait eu le droit à un sujet long et plutôt compliqué pour un Ecricome. Cette année, on a eu le droit à une longueur plutôt similaire, mais le sujet fut un peu plus abordable.
Il couvrait d’ailleurs classiquement les trois piliers du programme que sont l’algèbre, l’analyse et les probas. La grande difficulté (ou pas) se situant dans les quelques questions Scilab et dans des parties assez calculatoires et où il fallait parfois utiliser quelques petites astuces.
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Sinon, le sujet réservait bien son lot d’exercices classiques avec des raisonnements sûrement déjà vus en cours. Dans tous les cas, rappelons que les questions étant plutôt abordables, la justification de ces dernières était d’une importance des plus capitales et pouvait permettre d’engranger de nombreux points.
Enfin le nombre important de question devait (sinon pour la prochaine épreuve) vous motiver à vous battre jusqu’au bout, car tout est toujours bon à prendre, même des questions apparemment triviales.
(Et ça vaut pour toutes les épreuves de maths : citons l’ESSEC II de l’année dernière par exemple avec une dernière question de niveau collège qui n’a été vue par presque personne.)
1. L’exercice d’algèbre
On a eu affaire à un exercice tout à fait classique, dans l’esprit de ce qu’on peut trouver dans des épreuves d’Ecricome, d’emlyon ou même de l’EDHEC.
La première partie était une bonne mise en jambe, à savoir du calcul matriciel, et des calculs de vecteurs propres pour montrer ensuite qu’une matrice est diagonalisable et/ou inversible.
Dans la première question, il fallait essayer de gagner le plus de temps possible, par exemple en ne recalculant pas les valeurs propres pour montrer leur existence une fois le polynôme annulateur trouvé, mais en passant directement aux vecteur propres.
Le reste était très classique, et les correcteurs auront les yeux rivés sur les justifications de l’existence d’une base (montrer qu’une famille est libre et génératrice, ce genre de choses… 🙂 ). La deuxième question reste classique mais elle se complexifie un peu et elle a pu être un piège pour nombre d’élèves. En effet, il fallait bien penser que les questions portaient sur des endomorphismes et qu’on raisonnait en conséquence dans l’ensemble R^3 (l’ensemble des triplets réels). Il ne fallait donc donner l’image de f sous forme d’un vect de triplets notamment. La troisième question est une application de la formule de changement de base, et c’est encore classique !
Dans la partie 2, on complexifie un peu plus les choses avec une suite linéaire récurrente d’ordre 2 qui utilise des matrices. Mais en fait, si on visualise bien ce qu’on demande, ça reste classique, car les trois premières questions sont du calcul matriciel et/ou du remplacement grâce aux calculs faits précédemment.
Ensuite, il fallait faire du calcul pur et dur de suite linéaire récurrente d’ordre 2 et refaire le lien avec les matrices.
Les erreurs d’étourderie étaient donc à éviter dans cette partie. Là où ça devenait plus ou moins compliqué, c’est la partie Scilab et surtout le code qui nécessitait d’avoir bien compris ce que l’on nous demandait. Et qui nous rappelait de savoir bien réutiliser la formule de diagonalisabilité pour calculer une matrice à la puissance n. Mais il faut reconnaître que cette question n’était pas simple pour un élève lambda, et qui plus est, qui n’est pas fan de Scilab. Par contre la dernière question n’était pas si dure : elle sous-entendait de calculer les limites des suites respectives, ce qui permettait de récupérer quelques points précieux.
En conclusion, un exercice (classique) qui permettait de faire un lien entre suites et matrices et où tous les élèves pouvaient récupérer un maximum de points avec une bonne maitrise du cours.
2. L’exercice d’analyse
On commence ici dans la partie 1 avec une étude de fonction et une mise en situation par rapport à des suites. C’est donc une partie avec du calcul, mais à bien faire. A la fin, le Scilab nécessitait la connaissance de la boucle for (comme pour l’exercice d’algèbre).
La suite, était en continuité avec en plus des études de fonctions, un peu de développement limité et l’application du théorème d’équivalence pour les séries de Riemann à extrêmement bien détailler (préciser la positivité des séries notamment).
Ensuite, le sujet nous donnait l’indication (les concepteurs sont gentils) d’un télescopage pour montrer une convergence, et il fallait enfin faire/déduire des encadrements.
Par contre le dernier Scilab était assez tordu et la question assez mal posée. Pour le coût, l’intérêt du programme… on le cherche encore. Donc ne vous inquiétez pas si vous n’y avez rien compris, la Team ECE Major-Prépa n’a pas encore trouvé la réponse. 😉
Edit : Bon après plus de recherches (et avec les remerciements du professeur qui nous a fait la remarque), c’était en fait une question classique. En fait l’intérêt était de donner une valeur approchée de la limite à epsilon près. Et il fallait revenir à la définition de la convergence d’une suite, ce qui n’es pas non plus toujours si évident (surtout pour nous, ECE).
En effet si on se réfère à la définition de convergence d’une suite (à savoir par coeur !) ,
∀ε > 0, ∃ n0 ∈ N, ∀n ≥ n0, |un − limite| < ε, (et c’est bien strictement inférieur). On veut donc ici majorer par epsilon et donc pour que ça marche, on prend un n0 entier qui fonctionne sous cette condition (d’où la partie entière de (1/epsilon) +1).
Ensuite, la deuxième partie portait sur une étude de séries et était un peu plus exigeante en termes de calculs (la deuxième question avec la somme des pairs et des impairs, des petites techniques par ci par là et des liens entre les questions à voir). Sans oublier bien sûr de refaire le lien avec la partie d’avant.
Les points étaient donc un peu plus durs à aller chercher.
3. L’exercice de probabilité
Quelques remarques sur cet exercice :
- Un exercice vraiment trèèèès abordable.
- Une première partie très simple pour aller grappiller facilement des points en reconnaissant une loi binomiale à bien justifier par l’indépendance d’épreuves de Bernoulli. Le reste, c’est l’application du cours.
- Pour la deuxième partie, c’est un tout petit peu plus dur mais avec des questions toujours simples entre des questions « plus » compliquées. On pensera à bien appliquer la linéarité de l’espérance et à se rappeler du théorème de transfert notamment…
- Cet exercice était donc plutôt donné pour celui qui connaissait un petit peu son cours de proba. Et dans le rush, il était possible de chopper des points bien précieux.
Conclusion et pronostics
En général le sujet était donc dans la lignée des années précédentes, un peu plus simple que l’année dernière malgré quelques subtilités et une question Scilab de l’espace.
On peut parier qu’il faille faire au moins 70-75% de juste pour avoir la note maximum, même si ça peut être un peu moins à l’image de l’année dernière. Dans tous les cas, ne lâchez rien pour la suite, le meilleur est à venir !
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Des bisous, de la team Maths ECE Major-Prépa.
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