Le sujet proposé cette année par la banque d’épreuves Ecricome reste très classique dans la forme comme dans le fond. La structure de l’épreuve reste inchangée avec deux exercices abordables traitant de l’analyse et de l’algèbre et un problème de probabilités long et plus difficile. L’épreuve d’Ecricome est connue pour être relativement longue par rapport aux épreuves de l’EDHEC ou d’emlyon.
#prepaHEC j'ai mis 4h15 pour corriger tout le problème de #maths @ecricome en version ECS et en écrivant au propre.
Alors, soit je ne suis pas doué (ce qui est possible), soit il était un peu long (possible également). Faîtes votre choix 😀— ProfMaths_PrépaECS&ECE (@BrossardMathECS) April 16, 2018
Le cru 2018 ne déroge pas à cette tradition. L’épreuve (surtout le problème) est longue mais un préparationnaire très bien préparé devrait être capable d’en voir le bout. Rappelons tout de même que finir l’épreuve est loin d’être une condition nécessaire pour avoir une très bonne note.
Cette année encore l’épreuve fait part d’une volonté de balayer les deux années du programme. On y aborde l’algèbre linéaire et bilinéaire, les suites, les fonctions multivariées, les probabilités discrètes. On compte trois questions Scilab, ce qui est finalement assez peu par rapport à ce qu’on pourrait attendre mais qui a dû ravir ceux qui ont délaissé (à tort !) cette partie de l’enseignement durant leurs deux ou trois années de préparations.
Premier exercice
Ce premier exercice est très classique. Si vous vous êtes correctement préparé ces dernières années, vous ne devriez dû avoir été surpris. L’exercice ne comporte aucune question piège ou réellement difficile. De façon très classique pour une épreuve de maths en ECS, l’exercice se décompose en une première partie « Exemple » qui permet d’introduire la notion traitée puis une seconde partie plus générale. Cet exercice mixe algèbre linéaire et bilinéaire, en faisant essentiellement la part belle au programme de seconde année (réduction des matrices et des endomorphismes, produit scalaire) sans oublier des notions essentielles de première année (projecteur). Globalement cet exercice est intéressant car il est quasiment un exemple du cours, dans le sens où il redémontre des résultats classiques sur les projecteurs entre autres.
La première partie est essentiellement calculatoire. On peut rappeler quelques définitions et propriétés du cours qui permettent de s’en tirer facilement.
- Le rang d’un endomorphisme est égal au rang de ses matrices représentatives. En particulier, le rang d’une matrice est égal à la dimension du sous espace vectoriel engendré par ses vecteurs colonnes. En dimension 2, il suffit de regarder si les vecteurs sont colinéaires ou non. Dans le cas où ils ne le sont pas, la matrice est de rang 2, sinon elle est de rang 1. Attention au cas particulier où la matrice est nulle (ce qui était par exemple ici le cas pour AB quand a=-1 : note : il y a donc vraisemblablement une erreur d’énoncé à la question 2.a)), la matrice est alors de rang nul.
- Si p est un projecteur, alors Sp(p)={0 ;1}
- Pour déterminer les valeurs propres d’une matrice 2×2, penser à vérifier si elle est inversible en calculant son déterminant (attention, cette notion est hors-programme mais c’est un résultat vu en spé maths en Terminale S normalement). Ceci permettait par exemple ici d’établir que 0 était valeur propre de A et B.
La seconde partie plus intéressante revient sur des résultats que certains ont déjà dû voir en exercice. La plupart des questions ne sont que question de jeu d’écriture entre les matrices et avec un peu de patience on y arrivait. Le résultat de la question 4 est certainement le plus intéressant. C’est un cas particulier d’un résultat qui revient régulièrement : la forme quadratique associée à une matrice symétrique est comprise entre sa plus petite et sa plus grande valeur propre.
Second exercice
Ce second exercice s’intéresse au nombre d’or (noté phi) qui revient régulièrement en mathématiques. On en donne une caractérisation (racine de l’équation x^2-x-1=0) et une approche numérique sous forme de série. Cet exercice balaie des notions diverses du programme : optimisation (recherche de maximum et minimum de fonctions), suite récurrente linéaire d’ordre 2 (que l’on a souvent tendance à avoir oubliées !), calcul de limite et résultat sur les séries numériques.
Ce mauvais goût de vouloir tout traiter en un seul exercice fait que les questions sont globalement indépendantes entre elles, ce qui permet de prendre des points là où vous êtes le plus à l’aise !
Les fonctions multivariées sont souvent encore mal maîtrisées en arrivant à ECRICOME (dernier chapitre de l’année bien souvent) mais si l’on avait la méthode (gradient, hessienne) en tête la question 2 ne posait aucun problème particulier. Et la question 1 était un cadeau puisqu’il s’agissait simplement de vérifier les racines d’une équation du second degré !
Le reste de l’exercice va plutôt ensemble. Il y avait encore des points à prendre sur la question 3 (récurrence), la question 4(b) (résultat du cours sur les suites récurrentes linéaires d’ordre 2) ou encore les questions 5(b) et 5(c) qui sont des raisonnements classiques sur les séries (théorème de comparaison puis téléscopage). On finit par voir que sur ce type de sujet (comme EDHEC et emlyon !), il y a plein de points à aller prendre !
Problème
Le problème de cette année est, comme souvent pour ECRICOME, tourné autour des probabilités discrètes. On étudie ici des VaR ayant pour propriété de respecter la « règle de Panjer » introduite en début d’énoncé. Le problème est abordable en se concentrant un peu. Il y avait encore une fois dans ce problème plein de points à prendre si l’on connaissait son cours et les résultats sur les lois classiques (à connaitre par cœur !)
La première partie méritait vraiment d’y prendre le temps car elle n’a rien de difficile si l’on est un peu rigoureux dans les calculs. C’est une partie calculatoire où les résultats à démontrer sont systématiquement explicités, ce qui est toujours rassurant. La question 1(a) était une récurrence quasi immédiate et dans la 1(b) il suffit de se rappeler que la somme de la série des P(N=k) est égale à 1 et en calculant cette même somme de série avec le résultat montré juste avant on retombe sur nos pattes ! Il ne faut pas hésiter à gratter les points en donnant l’espérance et la variance de la loi de Poisson de paramètre b, même si l’on n’a pas réussi les questions précédentes ! Les questions suivantes suivent la même logique d’une double approche. La question 4 revient à un cas général mais il y a beaucoup de points à gratter sur les questions 4(a), 4(b), puis 4(c) (en admettant la majoration dans le pire des cas) et 4(e) en admettant la 4(d).
La seconde partie offre des points faciles dès lors que l’on n’a pas oublié la formule de Taylor avec reste intégral (question 7(a)) !
Le problème commence à se corser à la partie 3. Le début est traitable en étant encore en forme et en prenant bien son temps pour se rappeler ce que l’on a déjà fait avant. Il faut reconnaître la loi binomiale dans le premier programme Scilab (des points faciles en prenant 2 min pour réfléchir à ce que fait le programme plutôt qu’en sautant sous prétexte que c’est du Scilab !).
La fin a dû en perdre plus d’un en arrivant déjà épuisé et en voyant la prolifération soudaine d’indice. Pourtant, il y avait encore des points à prendre car la progression était bien guidée ! Enfin, si avoir réussi tout ce qui précédait assure quasi certainement une excellente note (voire 20).
PS : il ne faut pas hésiter à élargir le spectre de ses entraînements. La règle de Panjer a déjà été abordée dans une annale. Celle de l’épreuve de maths AST1 de l’EDHEC en 2013 !
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