Maths Ecricome 2021 ECE – Analyse du sujet Maths Ecricome 2021 ECE – Analyse du sujet
Ça y est ! L’heure est enfin arrivée, l’épreuve de mathématiques ECE est tombée. Première épreuve et en plus à gros coefficient, cette épreuve... Maths Ecricome 2021 ECE – Analyse du sujet

Ça y est ! L’heure est enfin arrivée, l’épreuve de mathématiques ECE est tombée. Première épreuve et en plus à gros coefficient, cette épreuve n’était pas à sous-estimer ! Tu n’as pas encore vu le sujet ? Tu peux le retrouver ici. Mais à quoi pouvait-on bien s’attendre ? L’analyse du sujet en maths Ecricome ECE 2021, c’est maintenant !

Comme à son habitude, le sujet Ecricome ECE est composé de trois exercices indépendants qui brassent une grande partie du programme. Le sujet est particulièrement long et  il n’est donc clairement pas nécessaire de faire tout le sujet pour avoir une excellente note. Beaucoup de questions classiques sont présentes dans le sujet ce qui permettait aux candidats ayant travaillé avec sérieux de se démarquer.  Il y a également pas mal de questions Scilab. Les étudiants qui auront pris le temps de les faire seront récompensés !

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L’analyse

Exercice 1 :

Comme souvent l’exercice 1 est un exercice d’algèbre, faisant intervenir des matrices et des endomorphismes en partie C.

 

Partie A

Le début du sujet ne met pas en confiance les candidats ! La première question 1a) n’est pas très classique même si elle est abordable : il suffisait de remplacer M par aI dans l’expression de l’énoncé pour conclure que a devait être égal à 0,-1 ou -2 pour appartenir à A. La seconde question est posée à l’interrogative directe ce qui peut perturber le candidat même si le raisonnement est ici classique.
La suite de l’exercice est beaucoup plus classique et devait mettre en confiance les candidats sérieux : recherche de valeurs propres, de sous espaces propres, trouver les matrices P,D et P^-1. Les candidats devaient faire particulièrement attention à leurs justifications pour donner une bonne impression aux correcteurs (Par exemple justifier la liberté des familles pour avoir une base des sous espaces propres). Enfin la question 4 était plus technique mais si les liens entre les questions avaient été fait, elle restait faisables pour des bons candidats.

 

Partie B

Cette partie fait intervenir la théorie du polynôme annulateur très connue des candidats. Plusieurs hypothèses sont retenues afin d’aboutir à la diagonalisabilité ou non de M. Il fallait ici très bien connaître ses propriétés et notamment celle-ci : “ Si 0 est valeur propre alors M est non inversible”.

La fin d’exercice est plus technique, elle fait intervenir un endomorphisme f associé à la matrice M. Des questions classiques s’y cachaient comme la 9)b) (dimension supérieure ou égale à 1 car on suppose -1 et 2 valeur propre) ou 9)d)i) (vecteurs non proportionnels en revenant à la définition d’un vecteur propre) qui sont des applications du cours.

 

Exercice 2 :

Cet exercice fait intervenir des intégrales impropres dont on vérifie la convergence dans une première partie avant de les utiliser dans une partie de probabilités (densité). Les liens entre les parties sont ici très importants.

 

Partie A

La question 1 et la question 2 sont deux enchaînements de questions qui permettent d’aboutir à la convergence des intégrales proposées par l’énoncé.

Les méthodes sont encore classiques : il faut veiller en 1)a) à calculer le quotient et retrouver une limite en 0 égale à 1 pour conclure sur l’existence d’un équivalent. La question 1)b) nous guide et nous fait calculer une intégrale impropre en 0 : il fallait bien connaître la primitive de ln(t) puis passer à la limite quand y tend vers 0 pour aboutir à la convergence. Le lien entre les questions est à nouveau primordial puisque la 1)c) fait appel aux résultats de 1)a) et 1)b) : il suffit d’utiliser un critère (bien rédigé) pour conclure sur la convergence de Jn. Le schéma est le même pour la question 2, il faut cependant faire appel cette fois aux intégrales de Riemann pour justifier la convergence. (t^3/2)

 

Partie B

Le début de cette partie (4)a)/4)b)) présente des enchaînements moins classiques. Il faut penser en 4)b) à faire une IPP dans une intégrale impropre en remplaçant la borne 0 par un quelconque A par exemple puis faire tendre cet A vers 0 pour aboutir à la convergence. A noter que les résultats sont admis donc cela laisse l’opportunité aux candidats de faire les liens entre les questions pour prendre des points faciles. La 4c) en est un exemple.

La question 5 est beaucoup plus classique : on encadre des intégrales. ATTENTION aux justifications en intégrant : la convergence, les bornes dans l’ordre croissant et la croissance de l’intégrale ne devaient pas être omises. Même si le candidat ne maîtrisait pas ces techniques assez simples pour encadrer une intégrale, il pouvait rebondir avec un théorème d’encadrement en 5)c) assez simple à identifier.

 

Partie C

Beaucoup de points étaient à nouveau à prendre dans cette partie si l’on connaissait son cours à la perfection.

La question 6 appelle explicitement un changement de variable ce qui doit être maîtrisé par la plupart des candidats.
La 7)a) et la 9)a) sont des applications directes du cours !!! La 7)b) est un théorème de transfert, il fallait ici bien se souvenir des résultats des parties précédentes pour aboutir.
Enfin les Scilabs n’étaient pas les plus classiques mais nul doute qu’ils apporteront une multitude de points à ceux qui les ont réussi.

 

Exercice 3 :

Enfin, l’épreuve Ecricome 2021 se finissait par un exercice de probas discrètes souvent redouté par les candidats.

Partie A

Cette partie doit mettre en confiance le candidat. Le travail est décomposé dans la question 1)a) on passe d’abord par les évènements avant de passer au calcul de probabilités.
La question 2 faisait appel à une réunion d’évènement incompatibles (d’où la somme), qu’il fallait bien justifier. Les Scilabs sont cette fois bien plus classique : une boucle while pour vérifier la compréhension de l’énoncé, un calcul d’espérance, et une conjecture…

 

Partie B

A nouveau le cours devait être maîtrisé. La question 4)a) est une application directe du cours. La 4)b) appelle une justification claire en français ce qui est présent sur très peu de copies, les bons candidats ont pu se distinguer avec des bonnes justifications sur cette question. Les résultats sont admis, la question 4)c) ne doit donc pas poser problème pour un candidat sérieux en admettant la 4)a) et la 4)b).

La question 5 est simple : il suffisait de calculer classiquement un+1-un et il fallait aussi se souvenir que un-2 était toujours positif car il s’agit d’une probas (toujours comprise entre 0 et 1 d’après le cours !!). Un était alors croissante et majorée (par 1 car c’est une proba) et un bref passage à la limite dans l’expression donnée en 4c) (licite car un converge)  permettait d’aboutir sur une limite égale à 1. La question 6 fait appel à une propriété du cours : la somme des probas d’une variable aléatoire vaut 1. Un candidat maîtrisant son cours devait se démarquer via cette partie classique.

Partie C

La question 7 est calculatoire mais largement réalisable, de même pour la 9 une récurrence très classique sur laquelle il fallait s’attarder si on était dans le rush. La question 8 nécessite une compréhension fine du sujet et des explications claires en français ce qui était une vraie difficulté à ce stade de l’épreuve.
La fin du sujet était très technique, il fallait utiliser les résultats de la partie précédente pour la 10) par exemple. Seuls les très bons candidats l’auront probablement traité avec brio.

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Hugo Botella

Après. deux ans de classes préparatoires à Saint Jean de Douai j'ai intégré l'ESSEC. Je suis désormais rédacteur en mathématiques.