Maths emlyon ECE 2021 – Analyse du sujet Maths emlyon ECE 2021 – Analyse du sujet
Les maths EMLyon constituent la première épreuve de mathématiques du concours de la BCE tant pour les ECS que pour les ECE. Qu’as-tu pensé... Maths emlyon ECE 2021 – Analyse du sujet

Les maths EMLyon constituent la première épreuve de mathématiques du concours de la BCE tant pour les ECS que pour les ECE. Qu’as-tu pensé de cette épreuve ? Le sujet est souvent long et difficile à terminer. Comme dans toute épreuve de mathématiques, mais plus encore pour cette épreuve éxigeante : il faut être particulièrement rigoureux sur la rédaction ! Le sujet est par ici ! Tu peux aussi retrouver un corrigé détaillé du sujet ici.

Bon courage pour la suite des épreuves ! Le marathon ne fait que commencer, mais toute la Team est derrière toi !! 🙂

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Notre analyse du sujet de maths emlyon ECE 2021 :

Problème 1 :

Partie A :

Le sujet maths emlyon commence par une étude de fonction très classique à l’emlyon. Petite subtilité, cette année elle est définie sur deux intervalles. Les questions 1 à 4, n’ont pas du déstabiliser les candidats, c’est tout ce qu’il y a de plus classique pour une étude de fonction : limite, variation, dérivabilité…
La question 5)a) était déjà plus subtile il fallait bien mentionner l’impropreté de l’intégrale en 0 et poser une borne finie (A ou X par exemple) qu’on fera tendre vers 0 à la fin du calcul pour prouver la convergence.
La question 5)b) est elle aussi technique, il faut poser le changement de variable u=1-x dans l’intégrale proposée pour voir apparaître celle de la 5a) et pouvoir conclure.

Partie B :

Thème moins classique, la partie B aborde une étude de deux séries. Cependant ces séries ont certainement déjà été vues par un grand nombre de préparationnaires tant elles sont classiques. Des questions étaient quasiment identiques à celles posées à l’EDHEC 2016 (d’où l’intérêt de travailler sur des annales EDHEC/EM).
La question 6)a) est très proche du cours, attention à bien voir que la borne supérieur est n-1 et à préciser que t est différent de 1 pour utiliser la série géométrique.
La question 6)b) est un enchaînement très classique, il faut intégrer la relation précédente.

La question 7 vise à trouver la limite d’une intégrale, la méthode est très classique il suffit d’encadrer cette intégrale pour ensuite utiliser un théorème d’encadrement pour aboutir à une limite égale à 0.
Cette limite nous permet de passer à la limite dans l’expression de la question 6)b) (car tout converge) et d’obtenir une convergence de la série vers -ln(1-x). Certains candidats devaient déjà avoir vu ces résultats.

La question 9)a) est très simple, il fallait la prendre même si on avait laissé de côté les questions précédentes assez techniques. Il fallait utiliser ce résultat pour la 9b) en utilisant des sommes partielles dans lesquels un changement d’indice était attendu pour pouvoir réutiliser le résultat de la question 8) et aboutir sur la convergence.
Pour la question 10 attention, il ne fallait surtout pas remplacer x directement par 1 car 1 était exclu des valeurs prises par x. Il fallait utiliser à nouveau la 9a) et poser une borne N en borne supérieure de la somme pour pouvoir opérer un téléscopage dans ces sommes partielles avant de faire tendre N vers l’infini pour aboutir sur la convergence et la valeur. Les meilleurs élèves auront fait la différence sur ces questions.

 

Partie C :

La Partie C est une application des résultats précédents en probabilité discrète.
La 11)b) est posée à l’interrogative ! Le candidat doit prévoir une réponse négative. L’espérance n’existait pas, il fallait identifier une série de Riemann divergente (alpha=1).
La partie en Scilab traduit une expérience probabiliste, elle est très classique.
La suite fait intervenir un maximum, ce qui n’a sûrement pas perturbé les candidats tant c’est habituel dans les sujets de concours. Petite subtilité il fallait comprendre à la 13)a) que la probabilité sachante explicitée finalement que T était le maximum des variables X1,X2,…Xn d’où la puissance n dans le résultat.
La 13b) fait intervenir la formule des probabilités totales (enchainement classique probabilité sachante puis formule des probas totales) avec le SCE (N=n).
La question Scilab en 14)a) appelle le candidat à prendre des initiatives. Celle en 14)b) simule l’espérance.

Il fallait distinguer tous les cas possibles de x dans la 14)c)
La suite est très technique, il fallait sélectionner les questions prenables. La 14)d) est importante il fallait vérifier la continuité en tout point grâce aux résultats de la partie A puis la classe C1 sauf peut être en 0 et en 1.
La 15)a) est une application directe du cours.  Seuls les très bons candidats auront traité les dernières questions de  cette partie.

Problème 2 :

Plus original le problème 2 est entièrement consacré à l’algèbre tant redouté par les préparationnaires. De nombreuses questions étaient tout de même d’un niveau très abordable.

 

Partie A :

La question 1) est rapide : la matrice est symétrique donc diagonalisable c’est du cours directement appliqué.
La 2)a) appelle un raisonnement par l’absurde plus subtil, il fallait rechercher les valeurs propres comme habituellement pour conclure.
La question 2)b) est juste une conséquence de la 2)a) à expliquer proprement.

La question 3)a) est très simple, il suffit d’échanger la première et la deuxième colonne de M. La suite est plus technique et longue, il fallait retrouver les valeurs propres par la méthode classique, ou en trouvant une réduite de gauss.

Cette partie n’est donc pas classique et ne met pas en confiance les candidats.

 

Partie B :

Au contraire, cette partie est très classique. La matrice J est en fait une matrice 3*3 où il y a que des 1. Ainsi J^2=3J c’est un résultat très connu des préparationnaires sérieux. Le polynôme annulateur était donc P(X)= X^2-3X.

La suite de la question 4 correspond à une recherche des valeurs propres de J, des sous espaces propres et de la relation J=PDP^-1… du vu et revu en ECE.

Les questions 5)a) et 5)b) sont elles aussi très prenables si on observe que M(a,a,a) = J+aI
Or J = PDP^-1 et I=PIP-1 donc en factorisant par P à gauche et P^-1 à droite on obtient bien la relation proposée en 5)a). En 5)b) il suffisait d’observer que les valeurs propres étaient les valeurs présentes sur la diagonale de la matrice D+aI par définition.

 

Partie C :

En question 6)a) on pouvait soit faire un système classique (mais long) ou observer que si 0 est valeur propre alors C est non inversible : c’est bien le cas car la première ligne de la matrice est égale à la seconde.

La 6)b) correspond à un calcul de valeur propre classique (les pivots du système doivent être nulles pour avoir une matrice non inversible). Ici c’est très calculatoire. Il faut ensuite trouver les racines du polynôme du second degré en 6)c) et conclure qu’il y a bien 3  valeurs propres (en oubliant pas 0 prouvé en 6)a)).

Pour la question 7)a) il fallait observer que M(a,a,c) = M(0,0,c-a)+M(a,a,a) les questions d’après faisaient intervenir les résultats de la partie B, c’est ici que les meilleurs candidats feront la différence.

 

Partie D :

Le sujet est vraiment long, et c’est dans cette dernière partie qu’il fallait gratter les derniers points qui peuvent faire ton intégration! Certaines questions étaient largement faisables et il fallait les repérer en lisant l’intégralité du sujet au début de l’épreuve.
Par exemple la 9a) est une étude de fonction classique, la 9)b)  est un théorème de la bijection (attention à bien rédiger) . La 9)c) est un calcul matriciel classique.
Enfin la 11)a) pouvait se traiter en observant qu’il s’agissait de M(0,1,2) ou bien en faisant un inverse classique. La dernière question de Scilab, une dichotomie, est très classique à l’emlyon et c’était une bonne manière de laisser une bonne impression finale à son correcteur.

 

Hugo Botella

Après. deux ans de classes préparatoires à Saint Jean de Douai j'ai intégré l'ESSEC. Je suis désormais rédacteur en mathématiques.