#2know les matrices #2know les matrices
Aujourd’hui sur Major-Prépa parlons des matrices. En effet, comme vous avez dû le remarquer les matrices sont au cœur de quasiment toutes les épreuves... #2know les matrices

Aujourd’hui sur Major-Prépa parlons des matrices. En effet, comme vous avez dû le remarquer les matrices sont au cœur de quasiment toutes les épreuves de mathématiques au concours.

Pour cela, voyons voir les points les plus importants pour vos concours J.

I) Les Bases

Vous vous êtes surement posé la question : à quoi servent les matrices ?

En effet, il semble que les matrices servent à entièrement décrire une application allant de K^n à K^m. Et cela, car pour obtenir la matrice d’une application allant de K^n à K^m on écrit la base de K^n dans la base de K^m ; ce qui fait que chaque colonne de la matrice représente les coordonnées du i-éme élément de la base ce qui permet de décrire totalement l’Im de l’application.

Pour ce point parlons des matrices de passage. En effet, les matrices de passage servent à passer d’une base à une autre et donc de réécrire la matrice d’une application pour faire qu’elle soit conforme à la nouvelle base.

Ainsi, il faut aussi savoir que chaque matrice de passage respecte plusieurs points, notamment le fait que chaque matrice de passage est inversible et vérifie la propriété suivante  

 

Parlons maintenant des opérations sur les matrices :

Tout d’abord, la somme des matrices est une opération qui respecte l’intuition car A+B=B+A et si A=(ai,j) et B=(bi,j) alors A+B=B+A=(ai,j + bi,j) (pour i,jdans [|1,n|] avec n un entier dans IN*).

Pour la multiplication, comme vous le savez surement, A*B et très rarement égal à B*A. (D’ailleurs, un exercice assez intéressant est de trouver l’ensemble des matrices de M2(IR) qui vérifient A*B=B*A, je vous mets le lien du corriger : http://uel.unisciel.fr/mathematiques/calculmat1/calculmat1_ch02/co/sexercer_ch2_04.html).

 

II) La diagonalisation : un des points les plus importants du programme !

Tout d’abord, pour parler de diagonalisation il faut définir la notion de valeur propre. En effet, on peut définir une valeur propre comme étant un scalaire λ qui vérifie la propriété suivante :

Soit A une matrice de Mn(IR) λ est valeur propre ssi il existe un x non nul matrice colonnes de taille n tel que Ax=λx.

(On a aussi un cas particulier : lorsque A est une matrice triangulaire alors spec(A)=diag(A))

Ainsi, on peut dire qu’une matrice est diagonalisable si une des 3 propositions équivalentes suivantes :

 

Donc par exemple si une matrice triangulaire de Mn(IR) a une diagonale avec n valeurs différentes alors cette matrice est diagonalisable J. (Néanmoins il faut le démontrer sur vos copies)

Un des cas particuliers que l’on retrouve est celui des matrices symétriques (partie pour les carrés/cubes ou bizuth motivé) :

(Il y a équivalence entre les deux propositions)

On peut dire ici qu’à partir du moment qu’on a un endomorphisme symétrique cet endomorphisme est diagonalisable dans une base orthonormale (petit rappel, une base orthonormale, est une base orthogonale telle que chacun de ces éléments a une norme de 1).

III)  Les petits plus de Major-Prépa :

1) N’oubliez pas de vérifier s’ils n’existent pas de lien de linéarité entre les colonnes de la matrice cela peut vous éviter énormément de travail, et surtout cela vous permet de savoir directement si 0 est valeur propre.

2)Bien maîtriser le pivot de gausse, c’est une technique indispensable pour bien inverser les matrices.

3) Ne pas oublier tout ce qui est projection et symétrie

 

 

Donc voilà , J’espère que cet article vous sera utile pour vos concours <3

 

Hicham Belmahi

Hicham Belmahi , 19 ans ,précédemment au lycée Descartes à Rabat et actuellement en première année à l'Emlyon <3.