Trilogie – La Base #1 Les récurrences Trilogie – La Base #1 Les récurrences
Major-Prépa te propose un article qui revoit avec toi le raisonnement par récurrence et te présente une synthèse des raisonnements par récurrence les plus... Trilogie – La Base #1 Les récurrences

Major-Prépa te propose un article qui revoit avec toi le raisonnement par récurrence et te présente une synthèse des raisonnements par récurrence les plus courants au concours.

 

Principe des récurrences

Après ce captatio benevolantiae, commençons par définir le cadre du raisonnement par récurrence :

  • Tout d’abord, une récurrence s’utilise toujours sur des suites (c.à.d. une fonction qui a comme ensemble de  départ l’ensemble des entiers (IN) et l’ensemble des réelles (IR) comme ensemble d’arrivée).
  • Ensuite, la meilleure façon de comprendre le raisonnement par récurrence est de visualiser chaque récurrence comme une suite de dominos. On vérifie que la propriété fonctionne pour le premier domino (étape d’initialisation), et l’on prouve que le domino numéro n « fait tomber » le domino numéro n+1 (étape d’hérédité). On sait alors que la propriété est vraie pour tous les entiers et que -pour continuer dans la métaphore- la chute du premier domino entraine celle de tous les autres, et que donc la propriété est vraie pour tous les entiers (conclusion par principe de récurrence).

 

Méthode

Il découle de tout cela une rédaction standard des récurrences classiques à reproduire quasi tout le temps et qui est la suivante :

1ére étape, l’initialisation :

On vérifie que la propriété P fonctionne pour le premier terme de la suite.

2éme étape, l’hérédité (généralement la plus corsée) et que l’on peut rédiger comme suit :

On suppose que la proposition P, pour un n dans IN,est vraie au rang n (hypothèse de récurrence) on montre ensuite que la proposition est vraie au rang n+1. (Petit point ici, il faut absolument utiliser l’hypothèse de récurrences sinon ce n’est pas une récurrenceJ)

Et on finit en concluant que selon le principe de récurrence, ce que l’on vient de démontrer est suffisant pour prouver que la propriété P est vraie pour tous les entiers.

 

 

Application

Après cette première partie explicative, je vous propose de travailler ces raisonnements par récurrence sur 3 parties de concours de ces dernières années  (toutes des récurrences extrêmement classiques et qui retombe très souvent à l’Emlyon).

  • Le 1 er exercice de l’EDHEC 2016, soft  avec une récurrence assez sympathique à la fin pour bien reprendre :

Lien vers corrigé de l’épreuve : https://groupe-reussite.fr/wp-content/uploads/Annales/BCE/maths-ecs/corrige-edhec-maths-2016-ecs-bce.pdf

  • Une technique de récurrence très classique dans les épreuves de l’Emlyon (annales 2017) :

PS : vous pouvez si vous voulez vous concentrer sur les récurrences admettre la question 1 et 2 et passer directement au 3.

Lien vers corrigé de l’épreuve : https://groupe-reussite.fr/wp-content/uploads/Annales/BCE/maths-ecs/corrige-eml-maths-2017-ecs-bce.pdf

  • Une dernière récurrence pour la route un tout petit peu plus compliquée (annales 2018 Emlyon)

Lien du corrigé de l’épreuve : https://www.rblld.fr/ecs2lb/docs/annales/2018/2018_emlyon-corrige.pdf

J’espère que cet article vous sera utile ! Et n’oubliez pas que c’est sur ces questions classiques, qui maitrisées à fond vous permettent de gagner du temps et des points au concours.

 

Écrit par Hicham BELMAHI

 

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Astrid Plonquet

Après trois années de préparation dans une prépa parisienne, j'ai intégré l'ESSEC où je suis élève en deuxième année . Bien qu'ancienne S, mes matières de prédilection sont plutôt littéraires : il s'agit de la géopolitique, de la CG et de l'Allemand !