2Know # Dénombrement 2Know # Dénombrement
Aujourd’hui sur Major-Prépa nous allons vous parler d’un chapitre assez important , celui du dénombrement. En effet pour ce faire – et pour rester... 2Know # Dénombrement

Aujourd’hui sur Major-Prépa nous allons vous parler d’un chapitre assez important , celui du dénombrement. En effet pour ce faire – et pour rester sur de bonnes habitudes – divisons cet article en trois parties (I- Définitions, II- théorèmes, III-les petites astuces de Major-Prépa à connaitre).

 

I) Définitions

Lorsqu’on parle de dénombrement, il faut très souvent le lier à l’action de compter ; le but ici est de compter le nombre d’éléments d’un ensemble fini (et on appelle ce nombre le cardinal, on note card). Ainsi, on comprend rapidement l’utilité du dénombrement en probabilité ; car ce dernier nous permet de compter le nombre d’événements favorables dans tout l’univers.

II) Théorèmes

Pour être pragmatiques, voyons dans cette partie tous les outils dont vous aurez besoin pour dénombrer des ensembles finis.

Tout d’abord, les propriétés sur le cardinal :

  • Soit A et B deux ensembles finis disjoints, on trouve alors que :

Card(AUB)=card(A)+card(B)

On peut généraliser cette formule pour n ensemble deux à deux disjoints à l’aide d’une petite récurrence. On obtient :           

  • Maintenant si A et B sont deux ensembles finis (pas forcément disjoint) :

Alors on a           

On peut expliquer cela de manière très simple, si l’on dit que le nombre d’élément de EUF est égale au nombre d’éléments de E+ le nombre d’éléments de F – le nombre d’éléments de l’intersection c’est parce que si l’on ne soustrait pas l’intersection alors on se retrouve avec une répétition, càd que l’on compte deux fois le même élément.

 

Parlons maintenant des outils techniques pour répondre aux problèmes :

  • Les combinaisons. On utilise les combinaisons (que l’on note  ), lorsqu’on tire simultanément k éléments parmi n, le formule dans ce cas est la suivante ; 
  • Les arrangements. En fait les arrangements (il n’y a plus vraiment de notation pour les arrangements). Ils sont utilisés lorsque l’on a besoin de tirer k éléments parmi n dans un ordre préétabli. La formule dans ce cas est la suivante =k!x . Ainsi on voit que la formule des arrangements est liée à celle des combinaisons.
  • Les n-listes. On parle de n-listes lorsqu’on tire avec remise dans un ensemble fini. Ainsi, par exemple (S,A,N,A) est une 4-liste de E=(A ,B,C, …,Z).

Concernant les n-listes, on peut dire qu’il y a n^p p-listes d’un ensemble à n éléments.

 

III) Les petits plus de Major-Prépa

Si l’on peut réussir à trouver l’expression du cardinal d’un ensemble, il faut encore réussir à calculer cette expression (si elle est écrite sous forme de somme). Ainsi , il faut s’assurer d’avoir bien maitrisé la partie calcul de sommes et de suites.(Je vous conseille de checker l’article sur le calcul de somme).

Un autre conseil est d’essayer de visualiser les ensembles qui paraissent complexes comme une division en unions et intersections d’ensembles plus réduits, ce qui vous permettra d’utiliser les formules vues dans la partie théorèmes.

Un dernier conseil (qui est plus un résultat dont il faut se souvenir). Le cardinal d’une partie d’un ensemble de cardinal n est égal à 2^n , on peut démontrer cela par plusieurs méthode notamment la récurrence :).

 

 

Retrouve tous les cours de maths de Major-Prépa !

Hicham Belmahi

Hicham Belmahi , 19 ans ,précédemment au lycée Descartes à Rabat et actuellement en première année à l'Emlyon <3.