Les intégrales impropres sont partout : en probabilité comme en analyse et aussi bien en maths EMLyon qu’en maths HEC. C’est pourquoi vous devez et allez devenir un champion du calcul d’intégrales pour performer aux concours. C’est parti !
Si vous avez besoin avant de revoir les bases du calcul intégral je vous laisse regarder ici.
I) Intégrales impropres – Définition et rappels
Une intégrale est dite impropre lorsque une des bornes est \(\pm \infty\), ou si la fonction intégrée n’est pas continue sur l’intervalle d’intégration.
Il est impératif de se souvenir que :
\[ \displaystyle \int_{1}^{+\infty} \frac{1}{t^{\alpha}} \, \mathrm{d}t \ \ converge \Leftrightarrow \alpha > 1 \]
\[ \displaystyle \int_{0}^{1} \frac{1}{t^{\alpha}} \, \mathrm{d}t \ \ converge \Leftrightarrow \alpha < 1 \]
Il faut aussi avoir bien en tête les critères de comparaison :
Majoration
Soient \( f , g : [a,b[ \to \mathbb{R}_{+}\) telles que au voisinage de \( b \) : \( 0 \le f \le g \).
- Si \( \displaystyle \int_{a}^{b} g(t) \, \mathrm{d}t \) converge, alors \( \displaystyle \int_{a}^{b} f(t) \, \mathrm{d}t \) converge.
- si \( \displaystyle \int_{a}^{b} f(t) \, \mathrm{d}t \) diverge, alors \( \displaystyle \int_{a}^{b} g(t) \, \mathrm{d}t \) diverge.
Domination
Soient \( f , g : [a,b[ \to \mathbb{R}_{+}\) telles que \( f\underset{b}{=}o(g) \).
- Si \( \displaystyle \int_{a}^{b} g(t) \, \mathrm{d}t \) converge, alors \( \displaystyle \int_{a}^{b} f(t) \, \mathrm{d}t \) converge.
- si \( \displaystyle \int_{a}^{b} f(t) \, \mathrm{d}t \) diverge, alors \( \displaystyle \int_{a}^{b} g(t) \, \mathrm{d}t \) diverge.
Équivalence
Soient \( f , g : [a,b[ \to \mathbb{R}_{+}\) telles que \( f\underset{b}{\sim} g \).
Alors \( \displaystyle \int_{a}^{b} g(t) \, \mathrm{d}t \) et \( \displaystyle \int_{a}^{b} f(t) \, \mathrm{d}t \) sont de même nature.
II) Intégrales impropres – Calcul classique
Avant toute chose : La première étape avant de montrer une convergence ou de calculer une intégrale impropre, c’est de donner le domaine de continuité de la fonction intégrée. C’est vraiment important, cela montre au correcteur que vous avez remarqué que c’était une intégrale impropre et que vous avez identifié les bornes qui posaient problème.
Lorsque vous connaissez une primitive de la fonction intégrée ou si vous savez qu’une intégration par partie (IPP) vous donnera le résultat, faites le calcul en remplaçant la borne qui pose problème par une variable (par exemple A). Ainsi vous calculez maintenant une intégrale d’une fonction continue sur un segment, donc plus de problème de convergence. Une fois le calcul réalisé faites tendre A vers la borne qui posait problème, si vous trouvez une limite finie, alors vous pouvez affirmer que l’intégrale converge et vous aurez même sa valeur. Avec cette méthode on ne s’embête pas avec des critères de comparaison et on fait d’une pierre deux coups !
On peut aussi utiliser le théorème du changement de variable qui stipule :
Soit \( \phi \) une fonction réelle de classe \( C^1\) définie sur un intervalle \( [a,b] \). Soit \(f \) une fonction continue sur \( \phi([a,b]) \).
Si \( \displaystyle \int_{a}^{b} (fo\phi )(x) \phi ‘(x) \, \mathrm{d}x \ \) converge, alors \( \ \displaystyle \int_{\phi(a)}^{\phi(b)} f(t) \, \mathrm{d}t \ \) converge et dans ce cas les deux intégrales sont égales.
Exemple par le calcul :
Exercice :
\( \forall \lambda > 0, \displaystyle \int_{0}^{+ \infty} e^{-\lambda t} \, \mathrm{d}t \) converge et donner sa valeur.
Rédaction :
Étape 1 : Soit \( \lambda > 0 \).
Étape 2 : \( x \mapsto e^{-\lambda x}\) est continue sur \( [0, +\infty [ \).
Étape 3 : Soit \( A > 0 \).
\( \begin{align} \displaystyle \int_{0}^{A} e^{-\lambda t} \, \mathrm{d}t &= \displaystyle[\frac{-1}{\lambda}e^{-\lambda t}]_{0}^{A} \\ &= \frac{1}{\lambda} – \frac{1}{\lambda}e^{-\lambda A} \end{align} \)
Étape 4 : En faisant \( A \to +\infty \) dans la relation il vient :
\( \displaystyle \int_{0}^{+ \infty} e^{-\lambda t} \, \mathrm{d}t \ = \ \frac{1}{\lambda} \)
Exemple avec une IPP :
Exercice :
Soit \( n \in \mathbb{N} \). Montrer que \( \displaystyle \int_{0}^{1} x^n \ln (x) \, \mathrm{d}t \) converge et calculer sa valeur.
Rédaction :
Étape 1 : \( x \mapsto x^n \ln (x) \) est continue sur \( ]0,1] \).
Étape 2 : Soit \( \epsilon \in ]0,1[ \).
\( x \mapsto \ln (x)\) est de classe \( C^1\) sur \( [ \epsilon ,1] \)
\( x \mapsto \frac{x^{n+1}}{n+1})\) est de classe \( C^1\) sur \( [ \epsilon ,1] \)
En intégrant par partie, il vient :
\( \begin{align} \displaystyle \int_{\epsilon}^{1} x^n \ln (x) \, \mathrm{d}t &= \displaystyle [ \ln (x).\frac{x^{n+1}}{n+1}]_{\epsilon}^{1} \ – \ \displaystyle \int_{\epsilon}^{1} \frac{x^n}{n+1} \, \mathrm{d}t \\ &= \frac{\epsilon ^{n+1}}{n+1}\ln (\epsilon ) \ – \ \displaystyle \frac{1}{n+1}[\frac{x^{n+1}}{n+1}]_{\epsilon}^{1} \\ &= \frac{\epsilon ^{n+1}}{n+1}\ln (\epsilon ) \ – \ \frac{1}{(n+1)^2} \ + \ \frac{\epsilon ^{n+1}}{(n+1)^2} \end{align} \)
Étape 3 : En faisant \( \epsilon \to 0 \), on prouve la convergence et on a le résultat suivant :
\[ \displaystyle \int_{0}^{1} x^n \ln (x) \, \mathrm{d}t \ = \ -\frac{1}{(n+1)^2} \]
III) Intégrales impropres – Loi Normale
Il s’agit de se référer à la densité, à l’espérance ou à la variance d’une loi Normale pour calculer des intégrales impropres. Petit rappel de cours :
Soit \( X \) une variable aléatoire suivant la loi Normale de paramètres \( \mu, \sigma ^2 \) i.e \( X \hookrightarrow \mathcal{N}(\mu, \sigma ^2) \). Une densité \( f \) de \( X \) est définie sur \( \mathbb{R} \) par la relation suivante et on a les résultats suivants :
\[ \forall x \in \mathbb{R} \, \ \ f(x) = \frac{1}{\sigma \sqrt(2 \pi)} e^{- \frac{1}{2} (\frac{x – \mu}{\sigma})^2} \]
\[ \mathbb{E}(X) = \mu \ \ i.e \ \ \displaystyle \int_{- \infty}^{+ \infty} x . \frac{1}{\sigma \sqrt(2 \pi)} e^{- \frac{1}{2} (\frac{x – \mu}{\sigma})^2} \, \mathrm{d}x \]
\[ \mathbb{V}(X) = \sigma ^2 \ , \ \sigma (X) = \sigma \]
C’est un classique des épreuves de concours, parfois l’énoncé vous guide en vous disant “À l’aide d’une loi Normale bien choisie, calculer la valeur de…” mais pas tout le temps donc vous devez savoir faire cela tout seul.
Exercice :
Montrer que : \( \forall x \in \mathbb{R}_{+}^{*}, \ \displaystyle \int_{0}^{+\infty} e^{-x.t^2} \, \mathrm{d}t \) converge et donner sa valeur.
Rédaction :
Étape 1 : Soit \( x \in \mathbb{R}_{+}^{*} \).
Étape 2 : \( \displaystyle \int_{0}^{+\infty} e^{-x.t^2} \, \mathrm{d}t = \displaystyle \int_{0}^{+\infty} e^{-\frac{1}{2} (\frac{t-0}{1/ \sqrt(2x)})^2} \, \mathrm{d}t \)
Étape 3 : Or, d’après le cours on sait que (on peut ici justifier la convergence de l’intégrale étudiée) :
\[ \displaystyle \int_{- \infty}^{+\infty} \frac{1}{\sqrt(2 \pi). \frac{1}{\sqrt(2x)}}e^{-\frac{1}{2} ((\frac{t-0}{1/ \sqrt(2x)})^2} \, \mathrm{d}t \ = \ \displaystyle \int_{- \infty}^{+\infty} \sqrt( \frac{x}{\pi}). e^{-\frac{1}{2} ((\frac{t-0}{1/ \sqrt(2x)})^2} \, \mathrm{d}t = 1 \].
C’est-à-dire que : \( X \hookrightarrow \mathcal{N}(0, \frac{1}{2x}) \), de densité \( f(t) = \displaystyle \sqrt( \frac{x}{\pi}). e^{-\frac{1}{2} ((\frac{t-0}{1/ \sqrt(2x)})^2} \).
Étape 4 : Par parité de f il vient que : \( \displaystyle \int_{0}^{+\infty} \sqrt( \frac{x}{\pi}). e^{-\frac{1}{2} ((\frac{t-0}{1/ \sqrt(2x)})^2} \, \mathrm{d}t = \frac{1}{2} \).
D’où : \( \displaystyle \int_{0}^{+\infty} e^{-\frac{1}{2} ((\frac{t-0}{1/ \sqrt(2x)})^2} \, \mathrm{d}t = \frac{\sqrt( \pi)}{2 \sqrt(x)} \)
Étape 5 – conclusion : \[ \fbox{ \( \forall x \in \mathbb{R}_{+}^{*}, \ \displaystyle \int_{0}^{+\infty} e^{-x.t^2} \, \mathrm{d}t = \frac{\sqrt( \pi)}{2 \sqrt(x)} \)} \]
IV) Intégrales impropres – La fonction Gamma
On le rappelle, la fonction Gamma est définie (càd que l’intégrale converge) pour tout réel \( x > 0 \) par :
\[ \fbox{\( \Gamma (x) := \displaystyle \int_{0}^{+\infty} t^{x-1}e^{-t} \ , \mathrm{d}t \)} \]
Et on a le résultat suivant qui est à l’origine de nombreux calculs :
\[ \fbox{\( \forall n \in \mathbb{N}, \Gamma (n+1)= n! \)} \]
Elle est utile faire des calculs à l’aide de changements de variable simple.
Conclusion :
Vous avez maintenant tout ce dont vous avez besoin pour calculer la plupart des intégrales impropres. Revoyons ensemble le raisonnement que vous devez faire quand vous avez à faire à une intégrale impropre que vous devez calculer :
1- Donnez le domaine de définition de la fonction à intégrer.
2.1 – Regardez si vous pouvez vous référer à la loi Normale ou à la fonction Gamma, si c’est le cas foncez !
2.2 – Sinon, regardez si vous pouvez la calculer directement ou avec une IPP ou un changement de variable, dans ce cas, pensez à donner le domaine de continuité ainsi que les bornes qui posent problème puis appliquez la méthode n°1.
3- Sinon c’est que vous ne pouvez pas la calculer directement, dans ce cas l’énoncé vous guidera mais vous devrez d’abord montrer la convergence. Utilisez les critères de convergence qui sont dans votre cours pour vous en sortir. Attention ces critères ne marchent que pour les intégrales de fonctions positives. Si vous avez à faire à une fonction négative c’est qu’il faut passer par l’absolue convergence …
Ne reste plus qu’a vous entraîner, faites et refaites des exercices très souvent pour assimiler toutes ces méthodes.
J’espère que cet article vous aura aidés et on se retrouve très bientôt !
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