Devenir un champion des intégrales impropres !

Yann Merlaud 17 octobre 2018

Introduction :

Les intégrales impropres sont partout, à la fois en probabilité et en analyse, aussi bien en maths EMLyon qu’en maths HEC. C’est pourquoi vous devez devenir un champion du calcul d’intégrale si vous voulez performer aux concours.

Cet article n’est pas un cours à proprement parler, je présuppose que le cours de votre professeur est déjà très bien mais que vous cherchez ici plus des méthodes ou des astuces pour être plus efficace devant vos copies. Et c’est justement ce que nous allons faire !

Je vous assure que si vous maîtrisez toutes les méthodes présentées dans cet article et que vous connaissez parfaitement le cours de votre professeur, alors vous n’aurez plus de problème avec les intégrales impropres. N’hésitez pas à faire des exercices chez vous avec cet article sous les yeux, tout y est !

I) Définition

Une intégrale est dite impropre lorsque une des bornes est + ou – l’infini, ou si la fonction intégrée n’est pas continue sur l’intervalle d’intégration.

II) Astuce n°1 : Calcul classique

Avant toute chose : La première étape avant de montrer une convergence ou de calculer une intégrale impropre, c’est de donner le domaine de continuité de la fonction intégrée. C’est vraiment important, cela montre au correcteur que vous avez remarqué que c’était une intégrale impropre et que vous avez identifié les bornes qui posaient problème.

Lorsque vous connaissez une primitive de la fonction intégrée ou si vous savez qu’une intégration par partie (IPP) vous donnera le résultat, faites le calcul en remplaçant la borne qui pose problème par une variable (personnellement je l’appelle A). Ainsi vous calculez maintenant une intégrale d’une fonction continue sur un segment, donc plus de problème de convergence. Une fois le calcul réalisé faites tendre A vers la borne qui posait problème, si vous trouvez une limite finie, alors vous pouvez affirmer que l’intégrale converge et vous aurez même sa valeur. Avec cette méthode on ne s’embête pas avec des critères de comparaison et on fait d’une pierre deux coups !

Exemple élémentaire :

Montrer que pour tout lambda>0, $\int _{0}^{+\infty }{\rm {e}}^{-\lambda t}\,\mathrm {d} t$ converge et calculer sa valeur.

Raisonnement :

On commence évidement par dire que la fonction intégrée est continue sur R donc la seule borne qui pose problème est + l’infini. On remarque que nous connaissons une primitive de la fonction intégrée, donc on remplace + l’infini par A ( A>0 ), on calcule l’intégrale puis on fait tendre A vers + l’infini. Voici la rédaction du calcul la plus efficace :

Donc $\int _{0}^{+\infty }{\rm {e}}^{-\lambda t}\,\mathrm {d} t$ converge et vaut 1/lambda.

Ici la limite est facile à calculer donc pas besoin de détailler mais ce n’est pas toujours le cas.

Exemple avec une IPP :

Soit n un entier naturel, montrer que converge et calculer sa valeur.

Raisonnement :

Tout d’abord la fonction intégrée est continue sur ]0, 1] car ln n’est pas continue en 0, donc nous avons une intégrale impropre en 0. Ensuite sachant que ln'(x)=1/x on devine qu’une IPP pourra nous donner le résultat. Donc on remplace 0 par A ( 0<A<1 ), on calcule l’intégrale puis on fait tendre A vers 0.

Pour l’IPP il faut donc dériver u(x)=ln (x) et primitiver v'(x)=x^n ce qui nous donne respectivement u'(x)=1/x et v(x)=x^(n+1)/(n+1). On n’oublie pas de dire que u et v sont dérivables sur [A, 1] pour valider les hypothèses d’une IPP puis on procède au calcul comme suit :

Ici la limite n’est pas évidente. Pour avoir tous les points il faut justifier que ln (A)*A^(n+1) tend vers 0 lorsque A tend vers 0 par croissance comparée.

Donc In converge et vaut -1/(n+1)^2.

III) Astuce n°2 : Se référer à la loi Normale

Il s’agit de se référer à la densité, à l’espérance ou à la variance d’une loi Normale pour calculer des intégrales impropres. Petit rappel de cours :

Soit X une variable aléatoire suivant une loi Normale ${\mathcal {N}}(\mu ,\sigma ^{2})$ . Une densité f de X est définie sur R par :

$f(x)={\frac {1}{\sigma {\sqrt {2\pi }}}}\mathrm {e} ^{-{\frac {1}{2}}\left({\frac {x-\mu }{\sigma }}\right)^{2}}$

$\mathbb {E} (X)=\mu$

$\mathrm {V} (X)=\sigma ^{2},\quad \sigma (X)=\sigma$

C’est un classique des épreuves de concours, parfois l’énoncé vous guide en vous disant “À l’aide d’une loi Normale bien choisie, calculer la valeur de…” mais pas tout le temps donc vous devez savoir faire cela tout seul. Voici un exemple de question type :

Montrer que pour tout réel x > 0 l’intégrale converge et donner sa valeur.

Raisonnement :

Ici on remarque que il y a du exp(-xt^2) donc on doit directement penser à une loi Normale d’espérance nulle. Il nous faut donc trouver une variance qui fera en sorte que la densité fasse apparaître exp(-xt^2). En cherchant un peu on remarque que si la variance vaut 1/2x alors la densité fait bien apparaître ce que nous voulons. Nous savons maintenant que nous devons nous référer à la loi Normale N (0 , 1/2x).

Si l’on considère une variable aléatoire X suivant une telle loi alors on remarque que l’intégrale demandée ressemble à E(X^2) donc nous devons nous intéresser à la variance de X car on le rappelle, V(X)=E(X^2)-E(X)^2, et on connait grâce au cours la valeur de V(X) et de E(X) !

Un dernier point; dans le calcul de la variance l’intégrale va de – l’infini à + l’infini alors qu’ici elle va de 0 à + l’infini. Mais la fonction intégrée étant paire on peut dire qu’elle vaut la moitié de l’intégrale de – l’infini à + l’infini donc on s’y retrouve ! Passons à la rédaction de la réponse sur votre copie :

VI) Astuce n°3 : La fonction Gamma

On le rappelle, la fonction Gamma est définie (càd que l’intégrale converge) pour tout réel x>0 par :

$\Gamma (x):=\int _{0}^{+\infty }t^{x-1}\operatorname {e} ^{-t}\,\mathrm {d} t$

Et on a le résultat suivant qui est à l’origine de nombreux calculs, pour tout entier naturel n on a :

$\Gamma (n+1)=n!$

Elle est utile pour calculer grâce à un changement de variable simple les intégrales du type :

avec x>0.

En procédant au changement de variable u=xt on obtient :

Conclusion :

Vous avez maintenant tout ce dont vous avez besoin pour calculer la plupart des intégrales impropres. Revoyons ensemble le raisonnement que vous devez faire quand vous avez à faire à une intégrale impropre que vous devez calculer :

1- Regardez si vous pouvez vous référer à la loi Normale ou à la fonction Gamma, si c’est le cas foncez avec la même méthode que l’on vous à appris.

2- Sinon, regardez si vous pouvez la calculer directement ou avec une IPP, dans ce cas, pensez à dire le domaine de continuité ainsi que les bornes qui posent problème puis appliquez la méthode n°1.

3- Sinon c’est que vous ne pouvez pas la calculer directement, dans ce cas l’énoncé vous guidera mais vous devrez d’abord montrer la convergence. Utilisez les critères de convergence qui sont dans votre cours pour vous en sortir. Attention ces critères ne marchent que pour les intégrales de fonctions positives. Si vous avez à faire à une fonction négative c’est qu’il faut passer par l’absolue convergence.

Ne reste plus qu’a vous entraîner, faites et refaites des exercices très souvent pour assimiler toutes ces méthodes.

J’espère que cet article vous aura aidés et on se retrouve très bientôt !

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