Les indispensables en maths ECT – La suite Les indispensables en maths ECT – La suite
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Matrices :

Avant de commencer, ce qu’il faut bien comprendre pour pouvoir réussir la partie sur les matrices, c’est que TOUS les calculs, tous les résultats, toutes les informations de l’énoncé serviront pour plus tard, et notamment pour les récurrences. Si on vous demande de calculer 4A-6B ou de faire P*Q, ce n’est pas juste pour vous donner des points et éviter qu’un trop grand nombre de candidats aient 1/20 (enfin si un peu mais bon, il ne faut pas le dire). Cela a pour but de vous faire remarquer une relation qui vous servira forcément dans une des questions suivantes, en vérifiant une relation de récurrence faisant intervenir des suites par exemple. D’ailleurs, je vous précise que pour rédiger la partie matrice, je me suis surtout basé sur les sujets ESCP 2015 et 2016 où les parties matrices ne pouvaient être plus classiques que dans ces deux sujets (et ce sont les deux derniers sujets qui sont tombés donc on peut légitimement penser que la tendance de proposer un exercice de matrice très abordables se poursuivra), et la première question consiste simplement à faire des opérations basiques dans l’un, et de lire l’énoncé dans l’autre. Quand je vous dis que tout sert pour plus tard !

 1] Justifier que Xn+1 = AXn pour tout n entier

Toujours suivie de la question : Montrer que Xn = A^n*X0

Alors ces deux questions, vous n’y couperez pas, c’est certain. Et c’est une aubaine, puisque la réponse est toujours la même. Prenons le sujet 2015 ESCP comme support : dans l’énoncé, on donne la définition de un+3 ainsi que la matrice A et Xn. Dès lors, vous n’avez plus qu’à multiplier A et Xn et vous obtiendrez Xn+1 car vous obtiendrez la suite un+3 tout en haut, un+2 au milieu et un+1 en bas.

a

a1

Le raisonnement sera toujours le même. Dans la première partie de la question, vous prenez votre matrice et vous la multiplier par Xn pour obtenir Xn+1 et dans la deuxième, vous citez votre hypothèse de récurrence ainsi que la relation que vous venez de justifier et le tour est jouer.

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a4

Ensuite, il faut reconduire le même raisonnement mais dans l’éventualité où il a choisi le dessert B puis le C (c’est pour cela qu’on additionne). Lorsque vous avez écrit votre grosse formule, vous n’avez plus qu’à remplacer par les données de l’énoncé et faire de même pour P(Bn+1) et P(Cn+1).

5] Questions très probables sur la recherche de valeurs propres et de vecteurs propres :

Faisant partie des nouveautés du programme depuis 2016, on ne peut pas se baser sur les anciens sujets pour pouvoir affirmer que telle ou telle question tombera. Mais rien qu’avec les sujets 2016, on peut déjà dresser un tableau de toutes les éventualités.

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Vous n’avez alors plus qu’à résoudre : par exemple, pour la première ligne, on voit très bien que pour que cela fasse 0, on doit prendre un chiffre et faire moins ce même chiffre donc 1 et -1. Puisqu’on a décidé que z=0, pour vérifier l’équation de la deuxième ligne on prend y=1 et on vérifie bien que la dernière ligne soit vraie. On a bien 1+1+2*(-1)=0

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6] Rappel sur les suites :

De nombreuses fois, l’exercice sur les matrices fera appel à des suites. Il est alors essentiel de connaître les bases :

Suite arithmétique : un = u0 +n*r (exemple : u0 = 200 et de raison -3 alors un = 200 + n*(-3))

Attention si le premier terme est u1 alors on a un = 200 + (n-1)*(-3)

 

Suite géométrique : un = u0*q^n (exemple : u0 = 500 et de raison 1/5 alors un = 500*(1/5)^n

Même chose si le premier terme est u1 un = 500*(1/5)^n-1

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Jean-Loup Osella

étudiant en prépa ECT à La Martinière Duchère à Lyon.