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Probabilités  :

Bon alors là, vous allez pouvoir vous faire plaisir et ressortir toutes les formules de probabilité, d’espérance et de variance que vous avez appris et même celle du biais et du risque quadratique d’un estimateur. Mais avant de recracher tout votre cours, il vous faut justifier CORRECTEMENT pourquoi la situation que l’on vous décrit suit telle ou telle loi et c’est justement cette rédaction que nous allons voir.

1] Cas d’une loi binomiale :

On procède à une expérience qui suit un schéma de Bernoulli consistant à effectuer un tirage parmi un échantillon de x objets et on considère comme succès de l’expérience l’évènement « l’objet tiré fonctionne » de probabilité 0.3 et comme échec l’évènement « l’objet tiré ne fonctionne pas » de probabilité 0.7. On répète n fois cette expérience de Bernoulli, chaque tirage étant effectué de manière IDENTIQUE ET INDEPENDANTE. Soit X la variable aléatoire comptant le nombre de fois où l’évènement « l’objet tiré fonctionne » se réalise, X suit donc une loi BINOMIALE de paramètres p = 0.3 et n = n

2] Cas d’une loi géométrique :

On procède à une expérience qui suit un schéma de Bernoulli consistant à effectuer un tirage parmi un échantillon de x objets et on considère comme succès de l’expérience l’évènement « l’objet tiré fonctionne » de probabilité 0.3 et comme échec l’évènement « l’objet tiré ne fonctionne pas » de probabilité 0.7. On répète cette expérience de Bernoulli, chaque tirage étant effectué de manière IDENTIQUE ET INDEPENDANTE, jusqu’à ce que pour LA PREMIERE FOIS l’évènement « l’objet tiré fonctionne » se réalise. Soit X la variable aléatoire comptant le nombre de tirage nécessaire avant que cet évènement ne se réalise pour la première fois, X suit donc une loi géométrique de paramètres p = 0.3 et 1-p = 0.7.

3] Cas d’une loi de Poisson :

Cette fois, aucune rédaction puisque vous n’avez pas à identifier la loi de Poisson. Ce sera l’énoncé qui vous dira que l’on peut approcher la loi par la loi de Poisson. Vous devrez alors simplement lire la table en prenant le bon paramètre. Par exemple, si votre loi que vous cherchez à estimer par la loi de Poisson avait pour espérance 3, le paramètre à utiliser pour lire la table sera 3. Pour le reste des questions, vous connaissez vos formules.

4] Cas d’une loi normale :

Là-aussi, pas de rédaction puisque c’est l’énoncé qui vous dit qu’on approche la loi par la loi Normale. Pour autant, s’il n’y a pas vraiment de formule à connaître, il faut savoir la démarche à suivre pour les 3 types de questions que l’on peut vous posez dans le cadre d’une loi normale, car ce sera toujours la même. Pour mieux comprendre les explications, cherchez la table des z de la loi normale sur internet.

Supposez que les visites sur le site internet de votre entreprise, entre midi et 13h en semaine, suit (approximativement) une loi normale avec une moyenne de 190 et un écart-type de 24. Pour les questions qui suivent, utilisez la table des Z :

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3] Définition d’une nouvelle variable aléatoire à partir de la première variable aléatoire :

Le but sera d’abord de trouver la fonction de répartition de cette variable aléatoire afin, ensuite, de donner la densité de cette nouvelle variable aléatoire en dérivant cette fonction de répartition, en sachant que, bien souvent, on remarquera que la fonction de répartition de la nouvelle variable aléatoire correspond à celle d’une loi exponentielle ou uniforme et qu’on aura plus qu’à appliquer le cours pour donner la densité, l’espérance et la variance de cette nouvelle loi (on fait donc le chemin inverse).

U = X² et Y = U/4

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Et l’énoncé terminera sûrement par vous demander de donner la densité de Zn (rappelez-vous : il n’y a qu’à dériver la fonction de répartition) et de donner son espérance.

 

Et voilà, désormais, vous avez toutes les armes en main pour rouler sur n’importe quel sujet de maths. Vous avez toutes les formules, vous savez comment rédiger les questions qui tomberont à coup sûr, il n’y a plus qu’à attendre votre heure de gloire. Alors mettons les choses au clair, je ne vous dis pas qu’avec tout cela, vous serez en mesure de répondre à absolument toutes les questions sans réfléchir, loin de là. Et là, je vous entends déjà crier au putaclique en gueulant « T’avais promis le 20/20 en maths » sauf que dans les faits, même sans répondre à toutes les questions, les deux articles permettent quand même de s’en rapprocher énormément. Déjà, je rappelle que l’ESCP accorde le 20 aux alentours de 75%-80% du sujet traité correctement et avec tout ce que je vous ai donné, vous pouvez facilement faire 50% à 60% du sujet sans faute donc vous serez bien capable de faire 10% par vous-même j’espère. Ensuite, n’oubliez pas une chose : c’est un concours ! Et en répondant à toutes ces questions, vous sortirez facilement de l’énorme lot de candidats qui auront abandonné les maths en prépa et qui seront sortis de la salle au bout de 2h. Vous serez donc considérez au minimum comme une bonne copie qui a pris soin de bien rédiger et justifier chaque réponse que vous avez été capable d’apporter et votre copie sera donc valorisée. Donc, si avec tous ces facteurs, vous ne décrochez une super note au concours, c’est (presque) que vous l’aurez fait exprès. Pour finir, je tiens juste à préciser que je n’ai pas abordé scilab tout simplement parce que c’est nouveau et les questions possibles sont beaucoup trop vastes par rapport aux estimateurs ou à la recherche de valeur propre et de vecteur propre par exemple donc je ne préfère pas vous dire de bêtise. Surtout, je n’ai cessé de dire que les sujets étaient presque identiques d’année en année et se simplifier à chaque fois. Seulement voilà, après des années à désespérer devant un niveau beaucoup trop inégal en mathématique dans notre filière, les correcteurs des sujets 2016 ont déclaré, pour une fois, dans leur rapport avoir été agréablement surpris par le bon niveau des candidats n’ayant alors pas hésité à monter la barre à 80% du sujet traité pour décrocher le 20. C’est pourquoi une complexification des sujets est peut-être à attendre pour les sujets 2017 (ou pas ?).

 

 

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Jean-Loup Osella

étudiant en prépa ECT à La Martinière Duchère à Lyon.