2Know # Les Polynômes 2Know # Les Polynômes
Aujourd’hui sur Major-Prépa parlons d’un beau sujet, les polynômes. En effet, si vous avez déjà (ou pas encore) compris que les polynômes composent une... 2Know # Les Polynômes

Aujourd’hui sur Major-Prépa parlons d’un beau sujet, les polynômes. En effet, si vous avez déjà (ou pas encore) compris que les polynômes composent une partie majeure du programme des prépas cet article est là pour vous.

 

I) Définitions

 

Polynôme

On peut définir les polynômes comme étant des sommes s’écrivant de la sorte

avec les (ai)(i appartenant à [|1,n|]) étant des scalaires (que l’on appelle coefficients).

Degré d’un polynôme

On définit selon l’expression précédente le degré du polynôme comme étant au maximum égale à n.

Schématiquement cela fait que si :

P(X)= on dit que degré de P est inférieur ou égal à n selon si an est nul ou non ( J ) et à ce moment on dit que le coefficient dominant est le coefficient associé à la plus grande puissance.

II) Théorèmes

 

Pour être pragmatique parlons directement des théorèmes les plus utiles (le but n’étant pas de refaire un cours mais de souligner les points les plus utiles).

Tout d’abord, parlons des racines d’un polynôme. Si l’on prend un polynôme de degrés n (avec n un entier dans IN) alors on peut dire par théorème que ce polynôme admet au plus n racines dans IC.

N’oubliez pas que si un polynôme P de degré n admet plus que n racines alors P est le polynôme nul.

A partir de là il semble possible de dire que si le polynôme P admet α comme racine, on peut alors dire que (X-α)^m (avec m la multiplicité de α) divise le polynôme P et donc on peut écrire P(X)=(X- α)^m x Q(X) avec Q un polynôme de degré n-m qui ‘admet pas α comme racine.

Un théorème fort utile est aussi celui qui dit que si α est une racine de multiplicité m alors on peut dire que α reste racine de P’ , P’’ , …, jusque la dérivée m-1 de P. Néanmoins α n’est plus racine de la dérivée m de P. Pour illustrer cela soit P(X)=(X- α) x Q(X) tel que Q n’admet pas α comme racine , on trouve en dérivant P le résultat suivant P’(X)=Q(X)+(X- α)xQ’(X) et donc P’(α)=Q(α) qui est différent de 0. Ainsi, on voit que pour une racine de multiplicité 1 la dérivée de ce polynôme ne s’annule plus en ce point J.

III) Les petits plus de Major-Prépa

 

Polynôme scindé

Un polynôme est scindé si on peut le décomposer comme le produit de deux polynômes. Ainsi, si un polynôme est scindé sur IC il n’est pas toujours scindé sur IR.

Les polynômes spéciaux à connaitre

(qui sont -la majorité du temps- au cœur des sujets) :

a) Polynôme de Lagrange 

On peut l’écrire comme suit   .

En fait , le polynôme de Lagrange est celui qui vérifie Pour tout i dans une partie de IN Li(ai)=1 sinon Li(aj)=0

 

b) Le polynôme de Tchebychev

Le polynôme de Tchebychev est le polynôme qui vérifie la relation de récurrence  et .

Ce polynôme est utile car il permet de travailler sur le cosinus et le sinus en donnant plusieurs résultats intéressants.

 

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Hicham Belmahi

Hicham Belmahi , 19 ans ,précédemment au lycée Descartes à Rabat et actuellement en première année à l'Emlyon <3.