Dans cet article, nous te proposons d’étudier quatre questions classiques d’analyse en maths ECG. Si tu as apprécié notre article sur les quatre questions classiques de probabilité en maths ECG, alors cet article est aussi fait pour toi ! Ces questions se retrouvent majoritairement dans les sujets EDHEC et emlyon. On peut également les retrouver dans les sujets des parisiennes et il est important de les repérer au premier coup d’oeil !
1) Prouver qu’une fonction est paire ou impaire
Soit \(f\) une fonction définie sur un intervalle \(I\)
Tout d’abord, un rappel de cours est nécessaire. Une fonction est paire si et seulement si \(\forall x \in I,
\begin{cases}
-x \in I \\
f(-x) = f(x)
\end{cases}
\).
De même, une fonction est impaire si \(\forall x \in I,
\begin{cases}
-x \in I \\
f(-x) = -f(x)
\end{cases}
\). Graphiquement, une fonction paire est symétrique par rapport à l’axe des ordonnées et une fonction impaire est symétrique par rapport à l’origine du repère. Connaître la parité d’une fonction peut grandement faciliter les calculs.
Comment vérifier la parité d’une fonction ? Il faut déjà s’assurer que l’ensemble de définition de la fonction est centré en 0 ! C’est une condition souvent oubliée dans les copies mais qu’il faut absolument préciser. Par exemple l’intervalle \([-a;a]\) est bien centré en 0 on pourrait alors étudier la parité de la fonction.
Pour le préciser, il suffit d’écrire : \(\forall x \in [-a,a], -x \in [-a,a]\)
Une fois cette condition vérifiée, il suffit de déterminer \(f(-x)\) pour un \(x\) appartenant à \(I\). Après calculs/simplifications il s’agira de retrouver soit l’expression de \(f\) auquel cas la fonction est paire; soit celle de \(-f\) auquel cas la fonction est impaire.
Quelques remarques
Il faut absolument connaître la parité de certaines fonctions. Par exemple les fonctions puissances sont paires si la puissance est paire et inversement. De même la fonction valeur absolue est paire.
Démonstration :
Soit \(f : x \mapsto |x|\)
On a d’une part : \(\forall x \in \mathbb R, -x \in \mathbb R\)
D’autre part, on a donc :
\(
\begin{align}
\forall x \in \mathbb R, f(-x)&=|-x| \\
&=|-1||x| \\
&=|x| \\
&=f(x)
\end{align}
\)
2) Le théorème de la bijection
Il s’agit ici plutôt d’un enchainement de questions classiques d’analyse relatives au théorème de la bijection. Souvent les sujets de concours vous inviteront à prouver que “l’équation \(f(x) = a\) (\(a \in \mathbb R\)) admet un nombre fini de solutions”. Bien souvent, il s’agira même d’une unique solution. Puis dans un second temps, il s’agira de prouver que \(x\) est compris dans un intervalle : par exemple : prouver que \(0 < x < 2\).
Première partie de la question
Elle se résout grâce au théorème de la bijection. Si ce dernier est très connu des étudiants de classe prépa, la rédaction rigoureuse associée à ce théorème est souvent négligée.
En effet les conditions pour utiliser le théorème de la bijection sur un intervalle \(I = [b,c]\) sont les suivantes :
1. \(f\) doit être continue sur \(I\).
2. \(f\) doit être strictement monotone sur \(I\) c’est à dire, soit strictement croissante, soit strictement décroissante.
3. Enfin pour vérifier que \(f(x)=a\) possède une solution sur l’intervalle \(I\), il faut vérifier que \(a \in [f(b);f(c)]\). Si c’est le cas; en effet \(f(x)=a\) possède bien une unique solution sur \(I\).
Remarques
– Il faut savoir que si \(I\) est un intervalle ouvert par exemple \([b; +\infty[ \) il faudra vérifier que \(a \in [f(b), lim f(x)]\) ou \(a \in [f(b); lim f(x)[\).
– Souvent cette question sera posée après avoir trouvé le tableau de variation de la fonction. Il faudra donc réopérer ce procédé sur chaque intervalle où la fonction change de variations.
Seconde partie de la question
Pour la seconde partie de cet enchainement type de questions, souvent il faudra prouver que le \(x\) vérifiant \(f(x)=a\) est compris dans un intervalle. Par exemple : prouver que \(0 < x < 2\).
Pour résoudre cette question il faudra calculer \(f(2)\), puis \(f(0)\) et enfin réaliser un encadrement encadrement de \(f\). Puis ensuite, \(f\) sera normalement bijective sur \([0,2]\) ce qui permet par propriété d’assurer que \(f^{-1}\) possède bien les mêmes variations que \(f\). En composant par \(f^{-1}\) on obtient bien finalement dans tous les cas : \(0 < x <2\) .
3) Prouver qu’une suite est supérieure à une constante : par exemple prouver que \(v_n \ge b\)
Très souvent ce type de question doit être résolu grâce à un raisonnement par récurrence. C’est un incontournable des concours. Un indice qui amène vers la récurrence est bien souvent la définition par récurrence de \(u_n\), c’est-à- dire de \(u_{n+1}\) en fonction de Un. Par exemple : \(v_{n+1}=v_{n + 4}\)
La récurrence suit trois étapes :
1) L’initialisation : il s’agira de démontrer que la propriété est bien vraie pour le premier terme. C’est l’étape la plus simple; souvent le premier terme sera même donné.
2) L’hérédité : on suppose vraie la propriété au rang \(n\) et on démontre la propriété au rang \((n+1)\). Votre hérédité devra forcément commencer par une phrase de ce type. Ainsi avec l’exemple précédent on a par exemple :
\(
\begin{align}
v_n > b
v_n+4>b+4
v_{n+1} > b
\end{align}
\)
(La première ligne s’obtient par hypothèse de récurrence et la dernière en élargissant l’inégalité).
3) La conclusion : enfin, il faudra conclure avec une phrase qui récapitule les étapes précédentes et qui précise pour quelles valeurs de n la propriété est vraie. Un exemple type : La propriété est initialisée et héréditaire. Elle est donc vraie pour tout \(n \in \mathbb N\).
Remarque : Parfois cette question classique d’analyse est un peu plus complexe car la suite est définie par une fonction du type \(u_{n+1} = f(u_n)\). Le procédé reste le même mais il faudra alors composer l’inégalité par \(f\) dans l’hérédité afin d’obtenir \(u_{n+1}\). On fera alors attention aux variations de \(f\) pour en déduire les inégalités demandées dans l’énoncé.
4) Montrer que \((u_n)\) est une suite croissante/décroissante
Pour résoudre ce type de questions classiques d’analyse, il y a plusieurs méthodes. Avant de les énumérer, voici un petit rappel de cours :
Si on a \(u_{n+1}>u_n\), la suite \((u_n)\) est croissante,
A l’inverse si \(u_n>u_{n+1}\), la suite \((u_n)\) est décroissante.
A) La plus classique, il s’agit de faire l’opération \(u_{n+1}-u_n\) et d’en étudier le signe. Cette méthode est particulièrement bien adaptée quand \(u_{n+1}\) est exprimé en fonction de \(u_n\). Cela permet souvent de factoriser et d’étudier le signe facilement.
B) Une méthode plus rare, mais qui peut servir en sujet de parisienne et qui peut amener un gain de temps considérable. Il s’agit d’étudier le quotient de \(\frac{u_{n+1}}{u_n}\). En effet, si le quotient est supérieur à 1 on a bien \(U_{n+1}>U_n\) et si le quotient est inférieur à 1 on a \(U_n>U_{n+1}\). Cette méthode est très adaptée pour les suites qui font intervenir des puissances ou des factorielles ! Car cela entraine des simplifications évidentes.
C) Enfin cela se fait parfois par récurrence. Il suffit d’étudier le signe de u1-u0 pour l’initialisation. Puis ensuite je vous renvoie à la question 3) pour savoir comment réaliser une bonne hérédité et conclure.
Comme pour les probabilités, il est aussi important de repérer les questions classiques d’analyse ! N’hésite pas à refaire ces exercices pour bien assimiler les méthodes que tu pourras appliquer le jour J !
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