Cette épreuve de maths ECRICOME ECE 2022 est comme chaque année celle qui inquiète le plus les élèves, du fait de son coefficient : tu pourras retrouver ici l’analyse de Major-Prépa peu après la fin de l’épreuve.

Pour retrouver le sujet, c’est juste ici.

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Le corrigé complet et détaillé des maths ECRICOME ECE 2022 est également disponible.

L’analyse

Commentaires généraux :

L’épreuve de Mathématiques Ecricome qui ouvre traditionnellement le bal des écrits, est toujours un rendez-vous important au début d’une nouvelle session de concours : par son format classique en trois exercices qui cherchent à balayer la plus large partie possible du programme tout en restant accessible au plus grand nombre, elle est souvent le premier gros test dans cette matière pour tous les candidats, quelle que soit l’école qu’ils visent, dans la banque Ecricome ou dans la BCE .
Revers de la médaille qui accompagne toujours cette plus grande accessibilité du sujet : la longueur de l’énoncé, qui peut piéger beaucoup de candidats soucieux de bien tout rédiger et peuvent se retrouver rattrapés par le temps.

Avec 66 questions sur trois exercices, le cru 2022 ne fait pas exception et rentre dans toutes ces caractéristiques, puisqu’il aurait fallu passer moins de 4 minutes en moyenne sur chaque question pour traiter l’intégralité du sujet dans les 4 heures imparties!
Il s’agissait donc une fois de plus, comme on l’explique souvent, d’en faire le plus possible, et le plus correctement possible, sans bâcler mais sans traîner non plus, sachant que le barême final tiendra compte évidemment des performances du plus grand nombre pour assurer une moyenne correcte sur cette épreuve, et que la note maximale sera obtenue bien avant les 100%.

Passons maintenant à l’analyse détaillée des trois exercices qui composent ce sujet.

Exercice 1

Un exercice sur l’algèbre linéaire pour aborder le calcul matriciel vu dès la première année, ainsi que le thème central de deuxième année : la réduction des endomorphismes.
La famille de matrices étudiée est un grand classique, déjà tombé à Ecricome en ECE en 2002 d’ailleurs.
Comme souvent, c’est l’angle d’attaque qui change et qui peut rendre le sujet intéressant, sinon inédit.

Partie 1

Il est intéressant que les deux premières questions sur la notion de sous-espace vectoriel soient posées de façon ouverte : cela rend la question plus difficile, mais permet de mieux vérifier les acquis sur les fondamentaux.
L’ensemble \(F\) est bien un sous-espace vectoriel de \(\mathcal{M}_3(\mathbb{R})\), on démontrera d’ailleurs en même temps que c’en est un et on obtiendra une famille génératrice, qui sera aussi une base de \(F\) en décomposant la forme générale de ces matrices sous la forme \(a\cdot M + b \cdot N\) avec \(M\) et \(N\) des matrices faciles à trouver, et surtout à coefficients constants.
L’ensemble \(G\) n’est par contre pas un sous-espace vectoriel, et pour le prouver on cherchera un contre-exemple à la stabilité par somme, par exemple.

La question 3 est plus détaillée, donc plus guidée. On y trouve  le lien classique à bien rédiger entre polynôme annulateur et valeurs propres, jusqu’à la question d) à laquelle on peut répondre sans calcul supplémentaire si on a bien compris les conséquences des résultats précédents.

Partie 2

On développe dans cette partie, une trame de questions qui doivent aboutir à obtenir une expression générale simple des puissances de la matrice générale \(M\) étudiée dans l’exercice.

La question 4.a) se résoudra en calculant \(M^2\) et  en procédant par identification des coefficients, ce qui donnera un système d’équations non-linéaire pour appartenir à \(G\) qui permettra en le résolvant via une utilisation intensive de la règle du produit-nul, de déterminer \(F \cap G\).

La question 5 permettra de trouver une nouvelle base de \(F\), et confirmera au passage que ce sous-espace est de dimension 2.

La question 6.a) aura certainement posé problème à de nombreux candidats, puisque les valeurs de \(\alpha\) et \(\beta\) proposées sont fausses!
En tant que professeur qui conçoit régulièrement mes propres sujets de devoir, je connais bien le problème de l’idée finalement fausse qu’on ne repère parfois que trop tard… mais pour un sujet normalement cobayé bien à l’avance, et vu les enjeux, j’ai du mal à concevoir qu’une erreur aussi grossière ait complètement échappé aux relectures…
On vérifiera sans trop de peine que les valeurs \( \alpha = a-b \) et \(\beta = a+2b\) conviennent beaucoup mieux (et ce sont les seules valeurs correctes possibles!) pour résoudre cette question.
Il est ainsi probable que des candidats normalement confiants dans l’exactitude du sujet, aient perdu pied et surtout un temps précieux à chercher à faire correspondre ces valeurs fausses avec leurs calculs.
On ne peut donc ici que réitérer les conseils habituels : en cas de doute, admettre le résultat et passer à la suite, en l’occurrence on pouvait traiter toute la suite en gardant les notations \(\alpha\) et \(\beta\) sans avoir besoin de leurs expressions en fonction de \(a\) et \(b\).
La question 6.b) demande deux petits calculs matriciels qui permettent ensuite de rédiger une récurrence facile, mais à faire soigneusement, à la question 6.c).

La question 7.a) est plus difficile, mais une question qui demande de l’initiative est toujours fortement valorisée!
Elle n’était pas absolument nécessaire cela dit, pour résoudre 7.b) qu’on pouvait traiter par le calcul direct du produit de \(M^n\) obtenu en 6.c), avec l’expression proposée pour \(M^{-n}\) : trouver \(I\) comme valeur finale, fournit en soi directement, l’inverse \(M^{-n}\).

Partie 3

On termine ce premier long exercice par l’étude d’une suite matricielle qui prend une forme arithmético-géométrique, mais avec des matrices donc (déjà vu à Ecricome 2012 par exemple).
Ici les questions s’enchaînent et sont bien guidées, reposant essentiellement sur du calcul matriciel littéral et faisant de façon intéressante, le lien avec ce qui précède.
Il y avait pas mal de points faciles à prendre dans cette partie, quitte à admettre des résultats de la partie 2 justement présents dans l’énoncé.

Conclusion

Un premier exercice abordable donc, qui fait le tour de notions importantes du programme d’algèbre linéaire tout en restant très axé sur les calculs matriciels.
La grosse erreur à la question 6.a) reste un gros point noir pour autant.

Exercice 2

Un exercice d’analyse pour balayer ici les trois grands thèmes du programme de ECE sur les deux années : les études de fonctions d’une variable, thème labouré dès la première année de prépa, l’étude d’une suite récurrente utilisant la fonction précédente, donnant le prétexte à une question d’informatique, et les fonctions de deux variables abordées en ECE2.
La difficulté résidera bien ici dans la longueur de l’énoncé, plus que dans la difficulté de chaque question prise individuellement.

Partie 1

Il s’agit d’une étude de fonction assez classique, sans piège particulier, avec une fonction auxiliaire pour étudier le signe de la dérivée, une application standard du théorème de la bijection : les questions 1. et 2. sont abordables dès la première année de prépa.

Partie 2

On enchaîne avec l’étude d’une suite récurrente du type \(u_{n+1} = g(u_n)\), utilisant la fonction précédente.
Là encore les questions s’enchaînent logiquement et devraient correspondre à des schémas d’exercices longuement pratiqués pendant deux ans, y compris la question d’informatique (dans laquelle on notera tout de même que le but n’est pas seulement de calculer le \(n\)-ième terme, mais de créer la liste de tous les termes du rang 0 au rang \(n\)).
On termine par trois comportements possibles de la suite suivant la valeur de son premier terme : cela permet de faire le tour de toutes les situations possibles.

Partie 3

Dernière partie avec l’étude d’une fonction de deux variables :
La question 11. est uniquement rédactionnelle, mais les bons arguments sont rarement présents de façon complète dans les copies… tout a toujours été scrupuleusement rédigé dans les corrigés disponibles sur Major-Prépa!
Pas de grosses difficultés ensuite, le schéma est classique et termine tout de même par une belle question plus ouverte (16.) qui demandait de l’initiative.

Conclusion

Un exercice de belle facture, sans piège particulier et demandant une bonne maîtrise des thématiques concernées, qui valorisera le travail d’entraînement sur ces sujets.

Exercice 3

Le troisième thème attendu : les probabilités. On reste ici sur des probabilités discrètes, comme l’an dernier (ce qui fait que ce sujet ne comporte en fait rien sur les intégrales).

Si ce thème est amplement abordé dès la première année, il reste malgré tout, souvent, un sujet mal maîtrisé par les candidats comme le signalent régulièrement les rapports de jury, notamment à cause des problèmes de formalisme (confusions dans les notations).
La compréhension des notations d’événements – très présentes dans cet exercice – et la capacité à les traduire dans le langage courant auront été les deux qualités principalement évaluées dans cet énoncé.

Partie 1

La question 1. est assez guidée mais pas forcément évidente pour autant. Il faut bien donner les mots-clés pour justifier la loi binomiale en a), connaître les coefficients binomiaux simples en b); on trouve la formule du crible en d) – !- pour obtenir la formule de e).
La question 2. fera intervenir une intersection infinie d’événements et la propriété de limite monotone associée : une question rarement bien rédigée qui sera sans doute beaucoup valorisée.
La question 3. permet de tester les candidats sur les questions de simulation en Scilab avec les deux grandes parties classiques : simulation d’une expérience, puis calcul d’une valeur moyenne sur un grand nombre d’expériences pour approcher l’espérance de la variable aléatoire étudiée \(T\).
Les questions 4., 5., 6. sont liées et permettent de calculer la valeur exacte de cette espérance : on retrouvera des séries classiques (géométriques et dérivées), il y avait moyen de bien mettre en valeur ces connaissances sur ces questions.

Partie 2

Une partie bien plus technique en fin de sujet : pour trouver la loi du couple \((X_2,W_2)\) il faudra d’abord soigneusement déterminer son univers-image pour éviter les erreurs d’interprétation.
Les formules demandées sont souvent connues théoriquement (covariance notamment) mais il est parfois plus difficile de les appliquer dans des cas concrets.

Les notations se compliquent ensuite à partie de la question 9., une fois de plus il faut garder le plus possible un lien avec le contexte de l’énoncé, ce que représentent concrètement les variables aléatoires et les événements cités pour réussir à avancer.

Les dernières questions du sujet auront sans doute été parmi les moins abordées car très techniques et généralement regardées alors que le temps commence à vraiment manquer, sauf si vous êtes aficionado des probabilités discrètes et avez commencé par cet exercice : il ne reste alors plus qu’à espérer que le barême rendra justice au temps certainement passé pour rédiger correctement toutes ces questions!

Conclusion

Un exercice peu évident car technique sur un thème qui pose souvent problème : on aura pu perdre un temps précieux à triturer les notations dans tous les sens, ou au contraire réussi à très bien avancer suivant son niveau de maîtrise des probabilités discrètes.

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