Si tu es ici pour mieux comprendre le fonctionnement et les exigences du concours par rapport aux suites et séries, tu es au bon endroit.
I) Définitions
Pour commencer cet article, rappelons les définitions importantes concernant les suites (on attaquera plus tard dans l’article les séries) :
Tout d’abord, une suite est une fonction qui a comme ensemble de départ IN et ensemble d’arrivé IR (ou IC). Lorsqu’on parle de suite dans les concours, c’est très souvent (quasi toujours) associé à la convergence et donc aux limites. Ainsi, pour être pragmatique attaquons-nous à cette partie dans la partie théorème.
Pour les séries, on peut les définir comme étant la limite (si ça converge)de la somme des n premiers termes d’une suite (Un), schématiquement : on peut écrire la série U comme suit : U= lim (U1+U2+U3+U4+…..+Un)
II) Théorèmes
Les théorèmes à connaître :
1) Pour les suites
Les cas usuels de convergence : la suite (Un) converge si elle est majorée et croissance strictement respectivement minorée et décroissante strictement.
(Petit point : Si vous connaissez le terme numérique de la suite, il vous suffit de calculer la limite de cette forme numérique en utilisant des équivalents par exemple , et il devient donc inutile de montrer la convergence par ce qui précède) .
On rappelle aussi que la limite d’une suite est unique(ne pas oublier cette partie).
Ne pas oublier les définitions des limites qui sont très utiles pour montrer la convergence d’une suite vers un point.
Un cas d’école qui doit devenir quasiment un théorème, le fameux Un+1=f(Un) :
Si (Un) est une suite convergente vers un scalaire l et que f est continue en l alors on peu trouver la valeur de cette limite en utilisant les points fixes.
Mais alors qu’est qu’un point fixe ? Et pourquoi est-ce qu’on peut trouver l ?
Un point fixe est la solution à l’équation f(x)=x ; et donc si f(Un)=Un+1 et que limUn=lim Un+1 , alors lim f(Un)=lim Un+1 et donc f(l)=l .
Ainsi, trouver les points fixes permet de trouver des solutions possibles pour la limite de Un, il reste à vérifier ses solutions à travers plusieurs méthodes pour trouver laquelle est vraiment limite de Un (n’oubliez pas que la limite est unique , donc le l est unique aussi J).
Un petit plus, parlons des suites adjacentes :
On peut définir les suites adjacentes, comme étant deux suites (An) et (Bn) l’une croissante et l’autre décroissante, et que la limite de la différence est nulle, alors selon le théorème des suites adjacentes (An) et (Bn) convergent vers la même limite.
2) Pour les séries :
Ce qui va nous intéresser ici c’est la convergence que l’on prouve majoritairement avec les théorèmes de comparaison :
Tout d’abord, un moyen utile pour savoir si la série diverge, c’est de voir si le terme général ne tend pas vers 0 en + l’infini.
Les théorèmes de comparaison se décomposent en 3 parties, les équivalents, la négligabilité , et par majoration.
ATTENTION, LES THEOREMES DE COMPARAISON S’APPLIQUENT SUR DES SERIES à TERMES POSITIVES OU POSITIVES à PARTIR D’UN CERTAIN RANG!!!!
Alors pour les équivalents et la négligabilité on cherche souvent à comparer le terme général à des fonctions de Riemann de type 1/n^a avec a plus grand strictement à 1 car on sait que ces séries convergent.
Par contre pour la majoration, il suffit de majorer une série par une autre qui converge.
Si la série n’est pas à termes positifs, on parle de série absolument convergente, et on introduit la valeur absolue avant d’utiliser les théorèmes de comparaison (On rappelle ici que la convergence absolue implique la convergence)
III) Pour finir les erreurs à ne pas faire
1) Sommer des équivalents de suites.
2) Ne pas connaître les Développement limités des fonctions usuelles.
3) Pour le terme général d’une série ne pas vérifier qu’il tend vers 0 avant même de commencer.
4) Appliquer les théorèmes de comparaison à des séries que ne sont pas forcément à termes positifs.
5) Ne pas lire Major-prépa J.
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