Soit \((i,j) \in [\![1,n]\!]^2 \).
ATTENTION : Dans cet article, toutes les matrices considérées sont des matrices carrées.
Au cours de ton cursus, tu seras certainement amené·e à calculer le produit de matrices type
\(E_{i,j}\).
Il est bien entendu possible de le faire à la main si les matrices sont de taille raisonnable (en gros, pas au-delà de \(n\) = 4). En revanche, cela devient impossible si \(n\) est trop grand ou non précisé.
Dans cet article, je te détaille une méthode rapide et efficace pour calculer ce type de produit !
Rappel de la définition des matrices \(E_{i,j}\)
Les matrices \(E_{i,j}\) sont définies de la façon suivante : pour \(n\) fixé, la matrice \(E_{i,j}\) est la matrice dont le coefficient sur la \(i\)-ième ligne et \(j\)-ième colonne vaut 1, et dont tous les autres coefficients sont nuls.
Par exemple, pour \(n\) = 2, la matrice \(E_{1,2}\) est la matrice :
\[\begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 0\end{pmatrix}\].
Introduction au symbole de Kronecker
En mathématiques, le symbole de Kronecker est une fonction de deux variables qui vaut 1 si les deux variables sont égales, et 0 sinon.
Mathématiquement, le symbole de Kronecker se définit comme suit :
\[
\delta _{{ij}}={\begin{cases}1&{\mbox{si }}i=j\\0&{\mbox{si }}i\neq j\end{cases}}
\]
Il s’agit d’un symbole extrêmement utilisé pour la notation de matrices, mais également lors de sommations et de calculs de produits scalaires, dans le cas où ceux-ci impliquent la présence de bases orthonormées.
Comment calculer le produit de matrices \(E_{i,j}\) en utilisant le symbole de Kronecker ?
La méthode que l’on utilise est simple. Prenons les matrices \(E_{i,j}\) et \(E_{k,l}\), avec \(i,j,k,l\) des entiers dans \([\![1,n]\!] \).
Alors, \[ \fbox{\(\forall (i,j,k,l) \in [\![1,n]\!]^4, E_{i,j}E_{k,l} = \delta _{{jk}}E_{i,l}\)}\]
On voit donc que la méthode consiste à prendre les deux indices « du milieu » pour former le Kronecker, et prendre les deux indices extérieurs pour former une nouvelle matrice type \(E_{i,j}\).
ATTENTION : on garde bien l’ordre des indices observé du côté gauche de l’égalité dans la nouvelle matrice obtenue du côté droit de l’inégalité (on a bien \(E_{i,l}\) et non pas \(E_{l,i}\). Sans quoi, le résultat sera bien évidement faux).
Un petit exemple
\(E_{1,2}E_{2,1} = \delta _{{22}}E_{1,1} = E_{1,1}\).
Si on effectue les calculs « à la main », on obtient bien que :
\[\begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 0\end{pmatrix} \times \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 1 & 0\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 0\end{pmatrix}\]
On retrouve donc le même résultat !
Un autre exemple
\(E_{1,2}E_{1,2} = \delta _{{21}}E_{1,2} = 0_{\mathcal{M}_{2}
(\mathbb{R})}\).
Le résultat de ce calcul se retrouve rapidement à la main. En appliquant la méthode, le résultat obtenu s’explique simplement par le fait que \(\delta _{{21}}\) = 0 !
Remarque
Il est évidemment possible d’appliquer cette méthode pour des produits de plus de deux facteurs. On utilise alors le même raisonnement en étudiant les termes deux à deux.
Ainsi, par exemple, en prenant un produit de trois facteurs, nous obtenons :
\( \forall (i,j,k,l,m,n) \in [\![1,n]\!]^6, E_{i,j}E_{k,l}E_{m,n} = \delta _{{jk}}E_{i,l}E_{m,n} = \delta _{{jk}}\delta _{{lm}}E_{i,n}\).
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