Ta première année de prépa a été riche en informations, particulièrement en mathématiques, et il peut parfois s’avérer difficile de s’y retrouver tant les résultats à connaître sont nombreux. Pour cela, je te propose de revenir sur cinq notions incontournables d’algèbre linéaire, qui te permettront de briller en maths en deuxième année.
Le théorème du rang
Soit \(E\) un espace vectoriel de dimension finie, \(F\) un espace vectoriel quelconque et \(f\) une application linéaire de \(E\) dans \(F\), alors \(\dim(E)=\textrm{rg}(f)+\dim(\ker( f))\).
Ce théorème fondamental se paye le luxe de n’exiger qu’une seule hypothèse : que \(E\) soit de dimension finie. C’est ce qui en fait sa force. Peu contraignant, il est donc très utile pour démontrer tout un tas de résultats classiques, voire de cours, mais qui peuvent être demandés aux concours.
On peut par exemple l’utiliser pour démontrer que le noyau d’une forme linéaire non nulle sur \(E\) est un hyperplan de \(E\).
Le théorème de la base incomplète (seulement maths approfondies)
Soit \(E\) un espace vectoriel de dimension \(n\) et \((e_1,\dots,e_p)\) une famille libre dans \(E\), alors il existe \((e_{p+1},\dots,e_n)\) des vecteurs de \(E\) tels que \((e_1, \dots, e_p, e_{p+1},\dots,e_n)\) forme une base de \(E\).
Ce théorème est un pilier de l’algèbre linéaire. Encore une fois, c’est un théorème qui n’a qu’une hypothèse : la liberté de la famille engagée. Cela en fait un résultat très puissant, qui peut être invoqué pour démontrer des résultats très abstraits.
Utiliser ce théorème est par exemple un moyen très efficace de prouver que si \(H\) est un hyperplan de \(E\), il existe une forme linéaire non nulle dont \(H\) est le noyau.
En résumé : si tu es perdu.e et que tu dois montrer un résultat qui te semble très abstrait, penser au théorème de la base incomplète peut parfois te sauver !
Les polynômes annulateurs
Soit \(E\) un espace vectoriel et \(u\) un endomorphisme de \(E\), on appelle polynôme annulateur de \(u\) tout polynôme \(P\) vérifiant \(P(u)=0\), c’est-à-dire \(\forall x \in E, P(u)(x)=0\).
Si cette notion est si fondamentale, c’est parce que trouver un polynôme annulateur d’un endomorphisme permet de faciliter la recherche de ses valeurs propres. En effet, un autre résultat du cours affirme que les valeurs propres d’un endomorphisme sont à chercher parmi les racines de l’un de ses polynômes annulateurs.
Tu pourrais alors tomber sur une question très classique qui te demanderait de trouver les valeurs propres potentielles d’un endomorphisme. Dans ce cas, pas de panique ! Tu as probablement déjà trouvé un polynôme annulateur de cet endomorphisme dans les questions précédentes. Il te suffit alors d’en chercher les racines.
La supplémentarité de deux sous-espaces vectoriels
Soit \(E\) un espace vectoriel et \(F_1\) et \(F_2\) deux sous-espaces vectoriels de \(E\), on dit que \(F_1\) et \(F_2\) sont supplémentaires dans \(E\) lorsque \(\forall x\) \(\in E\), \(\exists! (x_1,x_2\)) \(\in F_1\times F_2 \) | \(x\)=\(x_1\)+\(x_2\). On écrit alors \(E\)= \(F_1\) \(\oplus\) \(F_2\).
On peut démontrer la supplémentarité en utilisant le raisonnement par analyse-synthèse, ce qui a l’avantage de fournir la décomposition dans \(F_1\) et \(F_2\) (les fameux \(x_1\) et \(x_2\)).
La supplémentarité est au cœur du programme de mathématiques, car elle ouvre la voie à la notion de projecteur, qui fait l’objet de nombreux exercices et sujets. Si tu veux voir à quoi ressemble un exercice à l’EDHEC sur les projecteurs, regarde l’exercice 3 sur ce lien.
La diagonalisabilité de matrices
On dit qu’une matrice \(M\) de \(\mathcal{M}_{n}\) \(\mathbb{R})\) est diagonalisable lorsqu’il existe une matrice \(P\) inversible et une matrice \(D\) diagonale telles que \(M\)=\(P\)\(D\)\(P^{-1}\).
Derrière ce nom barbare se cache peut-être la notion la plus centrale du programme d’algèbre linéaire. Diagonaliser une matrice \(M\) permet en effet de la faire apparaître sous une forme plus agréable et facilite considérablement les calculs des puissances. On peut montrer par récurrence que \(\forall n\) \(\in\mathbb{N}\), \(M^{n}\)= \(P\)\(D^{n}\)\(P^{-1}\).
Dans les faits, si l’on souhaite diagonaliser une matrice (après s’être assuré qu’elle est bien diagonalisable), il suffit de chercher ses valeurs propres et ses sous-espaces propres.
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