Les notions hors programme se destinent principalement aux candidats visant les trois Parisiennes. Cet article te propose de découvrir le critère des séries alternées, une notion plutôt fréquente, dont la démonstration et les applications sont particulièrement intéressantes. Tu retrouveras des explications, des exemples et également une liste des propriétés intéressantes de la notion afin d’y être pleinement sensibilisé(e) et de ne pas être pris(e) au dépourvu le jour des concours.
Le critère des séries alternées expliqué simplement
Introduction
Les séries alternées sont des séries telles que chaque terme successif est de signe opposé. Le critère des séries alternées est un critère très pratique de convergence pour ce type de séries.
Définition formelle
Soit \( (a_{n}) \) une suite de réels positifs, décroissante, et admettant pour limite 0. Alors, la série de terme général \( (-1)^{n}a_{n} \) converge.
Exemple d’application
Prouvons que la série \( \displaystyle\sum_{n=0}^{+\infty}\displaystyle\frac{(-1)^{n}}{n+1} \) converge.
Soit la suite \( (u_{n})_{n \in \mathbb{N}} \) définie comme suit : \( \forall n \in \mathbb{N}, u_{n}=\displaystyle\frac{1}{n+1} \).
\( (u_{n})_{n \in \mathbb{N}} \) est positive.
\( \forall n \in \mathbb{N}, u_{n+1}-u_{n}=\displaystyle\frac{1}{n+2}-\displaystyle\frac{1}{n+1}=\displaystyle\frac{-1}{(n+2)(n+1)} \le 0 \). Donc, \( (u_{n})_{n \in \mathbb{N}} \) est décroissante.
\( \lim_{n \to +\infty}(u_{n+1}-u_{n})=0 \).
Ainsi, d’après le critère des séries alternées, la série \( \displaystyle\sum{n=0}{+\infty}\displaystyle\frac{(-1)^{n}}{n+1} \) converge.
Démonstration
La démonstration du critère des séries alternées repose sur le théorème des suites adjacentes.
Soit \( (a_{n}) \) une suite de réels positifs, décroissante, et admettant pour limite 0. On note \( (S_{p}) \) la suite des sommes partielles de la série de terme général \( (-1)^{n}(a_{n}) \).
Soit \( p \) un entier. \( S_{2p+2} – S_{2p}=a_{2p+2}-a_{2p+1} \le 0 \text{ et } S_{2p+3} – S_{2p+1}=a_{2p+2}-a_{2p+3} \ge 0 \) par décroissance de \( (a_{n}) \). Ainsi, la suite \( (S_{2p}) \) est décroissante et la suite \( (S_{2p+1}) \) est croissante.
De plus, pour tout entier \( p \), \( S_{2p+1}-S_{2p}=-a_{2p+1} \le 0 \). On en déduit donc que \( S_{2p+1} \le S_{2p} \).
On en déduit également que \( \lim_{p \to \infty}(S_{2p+1}-S{2p}=0) \).
Ainsi, les suites \( S_{2p} \) et \( S_{2p+1} \) sont adjacentes. Elles sont donc convergentes et de même limite, et la suite \( S_{n} \) est également convergente.
Ainsi, la série de terme général \( (-1)^{n}(a_{n}) \) est convergente.
Propriétés résultantes
Si on note \( S \) la somme de la série de terme général \( (-1)^{n}a_{n} \), \( (S_{n}) \) la suite des sommes partielles d’ordre \( n \) et \( (R_{n}) \) la suite des restes d’ordre \( n \). Pour tout entier \( n \), il vient que :
- \( S_{2n+1} \le S \le S_{2n} \) (i) ;
- \( \bigg| R_{n} \bigg| \le a_{n+1} \) (ii) ;
- \( R_{n} \) est du signe de \( (-1)^{n+1}\) (iii).
La première propriété est directement déduite du théorème des suites adjacentes que nous avons appliqué précédemment.
On déduit de (i) que : pour tout entier \( n \), \( R_{2n}=S-S_{2n} \le 0\). Le premier terme de \( R_{2n} \) étant \( (-1)^{2n+1}a_{2n+1}=-a_{2n+1} \le 0 \), \( R_{2n} \) est bien du signe de son premier terme. Ainsi, (iii) est vraie.
De plus, on a alors : \( \bigg| R_{2n} \bigg| = \bigg| S-S_{2n} \bigg| = S_{2n}-S \le S_{2n}-S_{2n+1}=a_{2n+1} \) par la propriété (i) ainsi que positivité de \( (a_{n}) \). Donc \( \bigg| R_{2n} \bigg| \le a_{2n+1} \).
En procédant de même pour \( R_{2n+1} \), on prouve que \( R_{2n1} \) est du signe de son premier terme et que \( \bigg| R_{2n+1} \bigg| \le a_{2n+2} \).
Ainsi, (ii) et (iii) sont vraies.
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