Les mathématiques regorgent de concepts puissants et souvent méconnus tels que les fonctions génératrices. Bien que cette notion soit hors programme, ces fonctions jouent un rôle crucial dans la résolution de problèmes complexes touchant à la combinatoire, à l’analyse des séries et à la théorie des probabilités. Dans cet article, nous allons explorer le concept des fonctions génératrices, en mettant en lumière leur pertinence et leurs liens avec les lois discrètes au programme d’ECG. Cela te sera particulièrement utile pour les épreuves d’EML, d’EDHEC, d’ECRICOME et des Parisiennes.
La notion de fonction génératrice expliquée en français
La fonction génératrice est une fonction mathématique qui se rapproche d’une fonction polynomiale. Elle tisse un lien entre les probabilités et l’analyse, car les coefficients de cette fonction sont des probabilités liées à une variable aléatoire discrète.
Cette fonction est utilisée pour résoudre des problèmes de dénombrement, de probabilités et d’autres défis mathématiques, en fournissant une approche pratique pour les analyser.
La fonction génératrice d’une variable aléatoire discrète
Soit \(X\) une variable aléatoire discrète, on appelle fonction génératrice de \(X\), la somme (ou série) suivante :
\[ \forall t \in D_{G_X}, \; G_X(t) = \displaystyle\sum_{k \in X(\Omega) }P(X=k)t^k \]
L’ensemble de définition de notre fonction génératrice, \( D_{G_X} \), n’est volontairement pas explicité, car cet ensemble dépend de la variable aléatoire \( X \). En effet, si le support de \( X \) est fini, alors \( G_X \) est définie sur \( \mathbb{R} \). Cependant, si le support de \( X \) n’est pas fini, les choses se compliquent, car \( \displaystyle\sum_{k \in X(\Omega) }P(X=k)t^k \) ne converge pas nécessairement.
En utilisant le théorème de transfert, nous pouvons aussi remarquer que :
\[ \forall t \in D_{G_X}, \; G_X(t) = \mathbb{E}(t^X) \]
Quelques propriétés clés des fonctions génératrices
La fonction génératrice caractérise la loi d’une variable aléatoire discrète
Si \( X \) et \( Y \) sont deux variables aléatoires avec \( X(\Omega) = Y(\Omega) \; \text{telles que} \; \forall t \in [-1,1]\) \(G_X(t)=G_Y(t)\) alors \( X \) et \( Y \) ont la même loi.
Les liens entre les moments d’ordre de \( X \) et sa fonction génératrice
Soit \( X \) une variable aléatoire discrète qui admet une espérance et une variance. Nous pouvons remarquer que pour tout \( t \) tel que \( G_X \) et \( G_X’ \) sont dérivables en \(t\), on a :
\[ G_X’(t) = \displaystyle \sum_{k \in X(\Omega)}kP(X=k)t^{k-1} \; \; et \; \; G_X^{\prime\prime}(t)=\sum_{k \in X(\Omega)}k(k-1)P(X=k)t^{k-2} \]
D’où : \( \fbox{ \(\mathbb{E}(X) = G_X'(1)\)} \; \text{ et} \; \fbox{\(V(X) = G_X^{\prime\prime}(1) + G_X'(1) – (G_X'(1))^2\)} \)
La fonction génératrice d’une somme de variables aléatoires discrètes
Soient \( X \) et \( Y \) deux variables aléatoires discrètes et indépendantes, alors \( \forall t \in [-1,1] \) \(G_{X+Y}(t)= G_X(t)G_Y(t). \)
Cela se montre en utilisant l’indépendance de \( t^X \) et \( t^Y \) et le fait que \( \forall t \in [-1, 1], G_{X+Y}(t)=\mathbb{E}(t^{X+Y}). \)
Ce résultat peut se généraliser à l’aide d’une récurrence : soient \( X_1, …, X_n, n\) variables aléatoires discrètes mutuellement indépendantes, alors \( G_{\displaystyle \sum_{i=1}^nX_i}(t)= \displaystyle \prod_{i=1}^nG_{X_i}(t). \)
Les fonctions génératrices des lois à valeurs dans \( [\![0,n]\!] \)
La loi de Bernoulli
Soit \( X \), une variable aléatoire suivant une loi de Bernoulli de paramètre \( p \in [0, 1]. \)
Alors : \( D_{G_X} = \mathbb{R} \) et \( \forall t \in \mathbb{R}, \; G_X(t) = 1-p +pt = p(t-1) + 1 \)
La loi binomiale
Soit \(X \), une variable aléatoire suivant une loi binomiale de paramètres \( (n,p) \in \mathbb{N} \times [0,1]. \)
Alors : \(D_{G_X} = \mathbb{R} \) et \( \forall t \in \mathbb{R}, \; G_X(t) = (pt + 1 – p)^n = (p(t-1) + 1)^n \)
Les fonctions génératrices des lois à valeurs dans \( \mathbb{N} \)
La loi géométrique
Soit \(X \), une variable aléatoire suivant une loi géométrique de paramètre \( p \in ]0,1[. \)
Alors : \( \forall t \in [-1,1], \; G_X(t) = \displaystyle \frac{pt}{1-(1-p)t}\)
La loi de Poisson
Soit \(X \), une variable aléatoire suivant une loi de Poisson de paramètre \( \lambda \in \mathbb{R}_{+}^{*}.\)
Alors : \( D_{G_X} = \mathbb{R} \) et \( \forall t \in \mathbb{R}, \; G_X(t) = e^{\lambda(t-1)} \)
La loi binomiale négative
Bien que la loi binomiale négative soit hors programme, il est assez courant de la rencontrer sur certains sujets, tu peux en retrouver une étude complète ici.
Soit \( X \), une variable aléatoire suivant une loi binomiale négative de paramètres \( (n,p) \in \mathbb{N} \times ]0,1]. \) Alors, \( \forall t \in [-1,1], \; G_X(t) = \displaystyle \left ( \frac{p}{1-(1-p)t} \right )^n.\)
Conclusion
La fonction génératrice est un outil mathématique précieux avec des applications diverses. Bien que hors programme, sa compréhension approfondie enrichira ta préparation aux écrits.
Tu peux d’ailleurs t’entraîner sur des sujets (mathématiques approfondies) de concours abordant le thème des fonctions génératrices :
Tu peux retrouver ici toutes nos autres ressources mathématiques !
