Propriété hors programme, mais relativement récurrente au concours, l’inégalité de Boole est un résultat important en probabilités, tombant plus ou moins régulièrement à l’écrit comme à l’oral. Évidemment, il n’est pas nécessaire d’apprendre par cœur l’inégalité ainsi que sa preuve, mais connaître le résultat et avoir une idée de sa démonstration peut faire gagner beaucoup de temps le jour du concours.
Aussi, la méthode générale de la démonstration de l’inégalité de Boole peut donner des idées pour de nombreux exercices théoriques en probabilité discrète, notamment pour les sujets de HEC, et aux oraux. Dans cet article, nous verrons ce résultat, puis sa démonstration, dans les cas finis et infinis.
Le résultat de l’inégalité de Boole
Proposition : Soit \(\left(A_n\right)_{n \geq 1}\) une suite d’événements.
Le cas fini : Pour tout entier naturel \(n\) non nul, \(
P\left(\displaystyle\bigcup_{k=1}^n A_k\right) \leq \displaystyle\sum_{k=1}^n P\left(A_k\right) \)
Le cas infini : si la série \(\displaystyle \sum_{k \geq 1} P\left(A_k\right)\) est convergente, alors : \(
P\left(\displaystyle \bigcup_{k=1}^{+\infty} A_k\right) \leq\displaystyle \sum_{k=1}^{+\infty} P\left(A_k\right)
\)
Preuve de l’inégalité de Boole dans le cas fini
Cette propriété se prouve par récurrence.
Initialisation
On doit montrer que \(P(A_1) \leq P(A_1)\), ce qui est évidemment vrai.
Hérédité
Supposons qu’il existe un entier naturel \(n\) non nul, fixé, tel que \(
P\left(\displaystyle\bigcup_{k=1}^n A_k\right) \leq \displaystyle\sum_{k=1}^n P\left(A_k\right) \)
Montrons alors que \(
P\left(\displaystyle\bigcup_{k=1}^{n+1} A_k\right) \leq \displaystyle\sum_{k=1}^{n+1} P\left(A_k\right) \)
D’abord, on a \(
\begin{aligned}
P\left(\bigcup_{k=1}^{n+1} A_k\right) &=P\left(\left(\bigcup_{k=1}^n A_k\right) \bigcup A_{n+1}\right) \\ \end{aligned}
\)
Or, on sait que si \(B\) et \(C\) sont deux événements, alors on a : \( P(B \cup C) \leq P(B)+P(C)-P(B\cap C)\)
En utilisant ici cette propriété, avec \(B=\displaystyle \bigcup_{k=1}^n A_k\) et \(C= A_{n+1}\), on a :
\[
\begin{aligned}
P\left(\bigcup_{k=1}^{n+1} A_k\right) &=P\left(\left(\bigcup_{k=1}^n A_k\right) \bigcup A_{n+1}\right) \\
&=P\left(\bigcup_{k=1}^n A_k\right)+P\left(A_{n+1}\right)-P\left(\left(\bigcup_{k=1}^n A_k\right) \cap A_{n+1}\right)
\end{aligned}
\]
Une probabilité étant toujours positive, on peut écrire que \(P\left(\left(\displaystyle \bigcup_{k=1}^n A_k\right) \cap A_{n+1}\right) \geq 0\)
Alors, on a :
\[
\begin{aligned}
P\left(\bigcup_{k=1}^{n+1} A_k\right)& \leq P\left(\bigcup_{k=1}^n A_k\right)+P\left(A_{n+1}\right) \\
& \leq \sum_{k=1}^n P\left(A_k\right)+P\left(A_{n+1}\right) \\
& \leq \sum_{k=1}^{n+1} P\left(A_k\right)
\end{aligned}
\]
en utilisant l’hypothèse de récurrence lors du passage de la première à la deuxième inégalité.
Ce qui achève la récurrence.
Finalement, le cas fini est prouvé.
Preuve de l’inégalité de Boole dans le cas infini
Grâce à la démonstration précédente, on peut désormais affirmer que pour tout entier naturel \(n\) non nul, \(
P\left(\displaystyle\bigcup_{k=1}^n A_k\right) \leq \displaystyle\sum_{k=1}^n P\left(A_k\right) \)
Comme d’habitude, on ne peut pas passer à l’infini sans rien prouver. Il faut faire particulièrement attention lors des passages à l’infini. D’abord, on suppose pour cela que la série \(\displaystyle \sum_{k \geq 1} P\left(A_k\right)\) est convergente.
Alors, on utilise le théorème de la limite monotone : \[
P\left(\bigcup_{k=1}^{+\infty} A_k\right)=\lim _{n \rightarrow+\infty} P\left(\bigcup_{k=1}^{n } A_k\right)
\]
L’inégalité dans le cas fini prouvée précédemment nous permet d’écrire que pour tout entier naturel \(n\) non nul, \(
P\left(\displaystyle\bigcup_{k=1}^n A_k\right) \leq \displaystyle\sum_{k=1}^n P\left(A_k\right) \)
Comme la série \(\displaystyle \sum_{k \geq 1} P\left(A_k\right)\) est convergente, alors la suite \( \left( \displaystyle \sum_{k=1}^n P(A_k) \right) \) est convergente.
Donc, par prolongement des inégalités, on a : \(\displaystyle \lim _{n \rightarrow+\infty} P\left(\bigcup_{k=1}^{n } A_k\right) \leq\displaystyle \lim _{n \rightarrow+\infty} \sum_{k=1}^n P\left(A_k\right) = \sum_{k=1}^{+\infty} P\left(A_k\right) \)
Finalement, on a bien montré que si la série \(\displaystyle \sum_{k \geq 1} P\left(A_k\right)\) est convergente, alors : \[P\left(\displaystyle \bigcup_{k=1}^{+\infty} A_k\right) \leq\displaystyle \sum_{k=1}^{+\infty} P\left(A_k\right)
\]
Conclusion
La preuve de l’inégalité de Boole constitue un joli exercice plus ou moins classique. La méthode et les outils employés peuvent servir dans de nombreux exercices, d’où l’intérêt de travailler régulièrement cette démonstration !
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