Inverser une matrice, c’est facile ! Inverser une matrice, c’est facile !
On se retrouve aujourd’hui pour revoir l’inversion des matrices carrées. Savoir inverser une matrice est nécessaire lorsque l’on veut aborder la diagonalisation des matrices sereinement.... Inverser une matrice, c’est facile !

On se retrouve aujourd’hui pour revoir l’inversion des matrices carrées. Savoir inverser une matrice est nécessaire lorsque l’on veut aborder la diagonalisation des matrices sereinement. C’est un chapitre central du programme qui est présent dans une grande majorité des épreuves de concours. C’est pourquoi vous devez avoir les idées claires en ce qui concerne l’inversion des matrices.

Dans cet article nous vous montrerons les critères d’inversibilité d’une matrice, puis nous vous expliquerons les différentes méthodes pour inverser une matrice. Le tout accompagné d’exemples et d’exercices types.

 

Définition :

Une matrice M est dite inversible si il existe une matrice A telle que AM = MA = I . On dit alors que A est la matrice inverse de M et on note M^-1 = A .

Les critères d’inversibilité :

est inversible si et seulement si elle vérifie l’un de ces critères :

  • est triangulaire (que des 0 au dessus ou en dessous de la diagonale) avec des coefficients diagonaux non nuls.
  • X = 0 est l’unique solution de l’équation MX = 0 .
  • 0 n’est pas valeur propre de .
  • M est de rang n où n est la taille de la matrice. C’est à dire que les colonnes de M sont linéairement indépendantes.

Méthode pour les matrices 2×2

Lorsque vous devez inverser une matrice 2×2, il faut calculer son déterminant, il se note Det(M) .

Si  {\displaystyle M={\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}}\in \mathrm {GL} _{2}\left(K\right)} alors Det(M) = ad-bc . Si Det(M) est non nul alors M est inversible et sa matrice inverse s’écrit  {\displaystyle M^{-1}={\frac {1}{ad-bc}}{\begin{pmatrix}d&-b\\-c&a\end{pmatrix}}}.

Si vous ne savez plus si on doit échanger a et d et mettre un moins à b et c ou le contraire, rappelez vous que I^-1 = I . Appliquez la formule que vous pensez être juste à I et si vous trouvez I , c’est que vous avez la bonne, sinon c’est l’autre.

 

Exemples :

{\displaystyle {\begin{pmatrix}1&2\\3&4\end{pmatrix}}^{-1}=-{\frac {1}{2}}{\begin{pmatrix}4&-2\\-3&1\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}-2&1\\{\frac {3}{2}}&-{\frac {1}{2}}\end{pmatrix}}}

Ici Det(M) = 1 x 4 – 3 x 2 = -2.

 

Méthodes pour les matrices 3×3 et plus

La méthode du système :

Cette méthode consiste à résoudre le système d’équations MX = B d’inconnue X avec B une matrice colonne quelconque. Notez que si est inversible alors le système n’admet qu’une seule solution car une matrice inverse est unique. Une fois que vous avez exprimé les coefficients de la solution de l’équation en fonction des coefficients de vous en déduisez l’inverse de M. L’exemple ci-dessous vous montre clairement la méthode à suivre :

Question :

Inverser la matrice suivante :

Réponse :

On pose puis on résout le système MX = B d’inconnue X en exprimant x, y et z en fonction de a,et:

Attention a bien mettre les coordonnées de x puis celles de y et enfin celles de z dans les 3 matrices colonnes à la fin. Il ne reste plus qu’a coller les 3 matrices colonnes que nous avons à la fin pour obtenir M^-1 .

Conclusion :

Vérifiez toujours à la fin que MM^-1 = I .

Apprenez cette méthode et cette rédaction par cœur et vous n’aurez plus de soucis pour inverser des matrices.

 

La méthode du polynôme annulateur :

Si vous trouvez une polynôme annulateur de A dont le terme constant est non nul, alors est inversible et vous en déduisez son inverse.

Démonstration :

Supposons que admette un polynôme annulateur P dont le terme constant est non nul.

P(X)=\sum_{k=0}^ma_kX^k\text{ tel que }a_0\ne0\text{ et }P(A)=0,

Dans l’égalité P(A) = 0 on sort le premier terme de la somme qui est a0I puis on fait passer tout le reste de la somme de l’autre côté, on factorise par A et enfin on divise par a0 qui est non nul donc on peut et ça nous donne :

A^{-1}=-\frac1{a_0}\sum_{k=1}^ma_kA^{k-1}.

Application :

Considérons la matrice suivante :

Question :

  1. Montrer que A^2 = 5A + 2I .
  2. En déduire A^-1 .

Réponse :

Le calcule montre que :

Cette égalité s’écrit aussi A( 1/2( A – 5I )) = I donc A^-1 = 1/2( A – 5I ) . Il ne vous reste plus qu’a remplacer pour trouver la réponse. Vous pouvez toujours vérifier le résultat avec la méthode du déterminant vue plus haut.

 

Conclusion :

Vous connaissez maintenant toutes les techniques pour montrer l’inversibilité d’une matrices et pour calculer son inverse. Il ne vous reste plus qu’a vous entraîner en faisant des exercices pour devenir un pro de l’inversion de matrice. On se retrouve très bientôt pour toujours plus d’astuces mathématiques !

 

 

 

 

 

 

Yann Merlaud

Étudiant à l'EDHEC après une prépa ECS au Lycée Camille Vernet. Ma spécialité sont les mathématiques.