Voilà l’analyse de l’épreuve de maths 2 approfondies HEC ESCP 2023 est une épreuve phare du concours de la BCE pour les maths approfondies. Souvent centrée autour des probabilités, cette épreuve compte pour de nombreuses écoles ! Si les maths 2 appro HEC ESCP peuvent être une épreuve qui fait peur, pas d’inquiétude : nul besoin de finir le sujet pour avoir une très bonne note ! (Encore heureux !!)
On t’invite tout d’abord à découvrir le sujet de Maths II approfondies HEC ESCP 2023.
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Analyse des maths 2 approfondies HEC ESCP 2023 :
Commentaires généraux
Voilà un très beau sujet de probabilité, aussi bien discrètes que continues, qui se centre sur un thème classique, vu et revu : la marche aléatoire sur une droite. La construction du sujet est très logique car la partie préliminaire est conçue pour la partie I. Cette première partie se concentre sur la loi arc sinus qui a un lien très étroit avec les marches aléatoires linéaires (elle constitue un résultat de ce processus). C’est pourquoi on retrouve en partie II une marche aléatoire sur une droite (plus précisément sur \(\mathbb Z\). Le lien entre la partie II qui met en jeu des variables discrètes et la partie I qui met en jeu des variables à densité est tout simplement une convergence en loi, c’est l’objet de la partie III.
Ce problème peut faire penser au célèbre EDHEC 2006 ECS, sauf qu’au lieu d’être une marche aléatoire sur \(\mathbb N\), les maths I 2023 font bouger le mobile sur \(\mathbb Z\).
Préliminaires
- La question 1) se montre par le théorème de l’encadrement. On utilise d’abord les propriétés de la partie entière : \( \forall x \in \mathbb R, \forall n \in \mathbb N, \lfloor nx \rfloor \le xn < \lfloor nx \rfloor +1\), puis on recentre cette inégalité autour de \(\lfloor nx \rfloor\), ce qui donne :
\( \forall x \in \mathbb R, \forall n, xn-1 < \lfloor nx \rfloor \le xn \), on conclut en divisant par n puis, en faisant tendre \(n\) vers l’infini, le théorème d’encadrement montre que la suite \((\frac{\lfloor nx \rfloor}{n})\) tend vers \(x\) - Dans la question 2) on utiliser de même les propriétés de la partie entière \( \lfloor \frac{n}{2} \rfloor\)et on modifie l’inégalité jusqu’à obtenir \(\forall n \in \mathbb N, \frac{n}{2} \le n – \lfloor \frac{n}{2} \rfloor\), on conclut par un théorème de prolongement des inégalité (passage à la limite pour des inégalités)
Partie I
- La question 3)a) est une fameuse question classique de trigonométrie. L’astuce réside d’abord dans le fait d’utiliser la relation \(\cos^2(x)+\sin^2(x)=1\), puis remplacer \(x\) par \(\arcsin(x)\) après avoir bien justifié que c’était possible, remarquer que \(sin\) et \(arcsin\) sont bijections réciproques sur l’intervalle adéquat et enfin composer par la fonction racine.
- La question 3)b) et 4) sont des analyses de fonctions…
- La question 5) est une vérification classique de densité de probabilité (en utilisant les 4 points du cours…) avec espérance (attention à la justification de l’existence de l’espérance, il faut être très rigoureux dessus
- La question 6) est la fameuse méthode d’inversion… Toujours fidèlement suivie d’une question de Python qui simule la variable inversée. Il faut passer par les fonctions de répartition.
- La question 7) est un encadrement d’analyse où il faut partir des bornes et construire son encadrement petit à petit…
Partie II
- Pour la question 9), on peut jouer avec le support de la variable aléatoire pour finalement se rendre compte qu’il vaut \(\{0,1\}\), et on se rend compte qu’il s’agit de la loi de Bernoulli de paramètre \(\theta\), la déduction se comprend aisément comme la somme de \(n\) variables aléatoires de Bernoulli indépendantes donc c’est une loi binomiale de paramètres \(n\) et (\theta\)
- La question 12)a) se répond lorsque l’on a compris le protocole opératoire de déplacement du mobile : il est impossible que sur un temps impair, le mobile passe par l’origine
- La suite se corse en notation, les candidats réussissant ces questions pourront faire la différence !
Partie III
- La question 21 est la mise en place d’une méthode de MonteCarlo appliquée à la variable aléatoire \(\frac{L_{100}}{100}\) avec 10000 réalisations. On conjecture que la suite de variables aléatoires \((\frac{L_n}{n})\) converge en loi vers la loi arcsinus (ça ressemble étrangement à la représentation graphique de \(g\) de la question 4)
- La question 22)a) est l’étude de convergence d’une série, donc plutôt calculatoire
- la question 22)b) est également calculatoire mais concerne la suite \((C_n)\)
- La question 23) est sûrement la plus technique et la plus complexe du sujet. Idéale pour que les meilleurs candidats puissent se démarquer. C’est de l’analyse très poussée.
- Enfin, la question 25) demande de prouver classiquement la convergence en loi conjecturée en question 21).
Bonne courage pour cette épreuve de Maths 2 approfondies HEC ESCP 2023 ! Tu pourras retrouver toute l’actualité du concours BCE 2023 sur notre rubrique Inside Concours BCE 2023.
