Les notions hors programme se destinent principalement aux candidats visant les trois Parisiennes. Cet article te propose de découvrir la matrice Attila. Tu retrouveras les propriétés les plus intéressantes autour de cette notion afin d’y être pleinement sensibilisé(e) et de ne pas être pris(e) au dépourvu le jour des concours.
La matrice Attila expliquée simplement
La matrice Attila, ou matrice de 1, est une matrice carrée dont tous les coefficients sont égaux à 1.
Soit \( n \), un entier naturel. On notera de façon usuelle la matrice Attila d’ordre \( n \) “\(J_{n}\)”.
On a alors :
\( J_{n}= \begin{pmatrix} 1 & 1 & \ldots & 1 \\ 1 & 1 & \ldots & 1 \\ \vdots & & & \vdots \\ 1 & 1 & \ldots & 1 \end{pmatrix} \).
Propriétés
\( J_{n}\) est de rang 1
En notant \( (C_{k})_{k} \in [\![1;n]\!]\) les colonnes de \( J_{n}\) et en effectuant les opérations suivantes : \( \forall k \in [\![0;n]\!], C_{k} \leftarrow C_{k}-C_{1}\), on trouve alors que :
\( rg(J_{n})=rg \Biggl( \begin{pmatrix} 1 & 0 & \ldots & 0 \ 1 & 0 & \ldots & 0 \ \vdots & & & \vdots \ 1 & 0 & \ldots & 0 \end{pmatrix} \Biggl)=1\).
On peut aussi noter \( f \), l’application linéaire dont la matrice représentative dans la base canonique \( (e_{1},…,e_{n}) \) de \( \mathbb{R}^{n} \) est \( J_{n} \). On sait alors que \( Im(f)=Vect(f(e_{1}),…,f(e_{n})=Vect(1,…,1) \) et donc que \( rg(f)=1 \) et donc, \( rg(J_{n})=1 \).
\( \forall k \in \mathbb{n}, J_{n}^{k}=n^{k-1}J\)
Par définition du produit matriciel, \( J_{n}^{2}=\bigg( \displaystyle\sum_{i=0}^{n} \bigg)_{(l,k) \in \mathbb{n} \times \mathbb{n}}=n\). On prouve ensuite aisément par récurrence que \( \forall k \in \mathbb{n}, J^{k}=n^{k-1}J\).
\( J_{n}\) admet pour seules valeurs propres \(n\) et \(0\)
En reprenant les résultats et notations de la première propriété : comme \(J_{n}\) est de rang 1, par le théorème du rang, \(dim(Ker(f))=n-1\). Ainsi, \(0\) est valeur propre de \(J_{n}\) et l’espace propre associé est de dimension \(n-1\).
On remarque que \(J_{n} \times \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ \vdots \\ 1\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \displaystyle\sum_{k=0}^{n} \\ \displaystyle\sum_{k=0}^{n} \\ \vdots \\ \displaystyle\sum_{k=0}^{n}\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} n \\ n \\ \vdots \\ n \end{pmatrix} = n\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ \vdots \\ 1\end{pmatrix}\).
Ainsi, \(n\) est valeur propre de \(J_{n}\), d’espace propre associé de dimension au moins \(1\) et maximum \(1\) puisque l’espace propre associé à la valeur propre \(0\) est de dimension \(n-1\). Ainsi, Ainsi, \(n\) est valeur propre de \(J_{n}\), d’espace propre associé de dimension \(1\).
On a ainsi montré que \( J_{n} \) admet pour seules valeurs propres \( n \) et \( 0 \).
Le polynôme caractéristique de \(J_{n}\) est \(P : x \mapsto (x-n)x^{n-1}\)
On vérifie facilement, d’après la deuxième propriété, que : \( (J_{n}-nI_{n})J_{n}^{n-1}=J_{n}^{n}-nJ_{n}=nJ_{n}-nJ_{n}=0\). Ainsi, \(P\) annule \(J_{n}\), et, de plus, on remarque que les racines de P sont précisément les valeurs propres de \(J_{n}\).
Le polynôme minimal de \(J_{n}\) est\(P : x \mapsto x^{2}-nx\)
\(P\) annule bien \(J_{n}\) d’après la deuxième propriété, et il n’existe pas de polynôme de plus faible degré annulant \(J_{n}\) parce que \(J_{n}\) n’est pas un multiple de la matrice identité.
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