Le nom de Vandermonde n’est généralement pas étranger aux candidats ! Si une célèbre formule impliquant des sommes porte le nom du mathématicien, il ne faut pas oublier que Vandermonde a aussi donné son nom à des matrices, dont les concepteurs de sujets de Parisiennes raffolent.
Sauf mention contraire, les matrices de Vandermonde sont de taille quelconque. Le nombre de colonnes n’est pas forcément égal au nombre de lignes.
Soit \( p \in \mathbb N^*\) et \( n \in \mathbb N^*\)
Définition des matrices de Vandermonde
En algèbre linéaire, une matrice de Vandermonde est une matrice avec une progression géométrique dans chaque ligne. Elle se présente comme suit :
\[\begin{pmatrix} 1 & \alpha_{1} &\alpha_{1}^2 & \ldots & \alpha_{1}^{p-1} \\ 1 & \alpha_{2} & \alpha_{2}^2 & \ldots & \alpha_{2}^{p-1}\\ \vdots & & & \vdots \\ 1 & \alpha_{n} &\alpha_{n}^2 & \ldots & \alpha_{n}^{p-1}\end{pmatrix}\]
Autrement dit, pour tous \(i\) et \(j\), le coefficient à la \(i\)ième ligne et à la \(j\)ième colonne est \(V_{i,j} = \alpha_i^{j-1}\)
On notera \(V(\alpha_0, \alpha_1, \ldots, \alpha_{n})\) une telle matrice dans le reste de l’article.
Utilités principales
Une matrice de Vandermonde et son déterminant sont souvent utilisés lorsque l’on souhaite faire une interpolation polynomiale.
En effet, la matrice de la décomposition de la base formée par les polynômes de Lagrange dans la base canonique de \(\mathbb{R}_n[X]\) est une matrice de Vandermonde.
ATTENTION : À partir de maintenant, on ne considère que les matrices carrées de Vandermonde.
Déterminant d’une matrice de Vandermonde
Ce résultat est archi hors programme ! Cependant, je te le présente quand même, car il s’agit d’un résultat propre aux matrices de Vandermonde, dont la démonstration ferait l’objet d’un sujet entier de Parisiennes.
Le déterminant d’une matrice carrée de Vandermonde s’exprime de la façon suivante :
\(det(V) = \displaystyle \prod_{1\le i <j \le n} (\alpha_j – \alpha_i)\)
Inversibilité d’une matrice de Vandermonde
Une matrice de Vandermonde est inversible si et seulement si les coefficients \(\alpha_{i}\) sont 2 à 2 distincts.
Démonstration
Je te propose ici une façon de démontrer l’inversibilité d’une matrice de Vandermonde. Bien évidemment, il en existe d’autres, mais celle-ci est la plus classique.
Implication : on suppose que les coefficients \(\alpha_{i}\) sont 2 à 2 distincts.
Soit \( X= \begin{pmatrix} C_0 \\ C_1 \\ \vdots\\C_n \end{pmatrix} \in Ker \ V(\alpha_0, \alpha_1, \ldots, \alpha_n)\)
On va chercher à montrer que le noyau de la matrice est réduit au vecteur nul pour prouver l’inversibilité de la matrice.
\[
(S) \Leftrightarrow VX = 0 \Leftrightarrow
\begin{cases}
C_0+C_1\alpha_0 + \ldots + C_n\alpha_0^{n-1} = 0
\\ C_0+C_1\alpha_1 + \ldots + C_n\alpha_1^{n-1}= 0
\\ \vdots
\\C_0+C_1\alpha_n + \ldots + C_n\alpha_n^{n-1}= 0
\end{cases}
\]
En posant \(P(X)= \displaystyle \sum_{j=0}^{n-1}c_jX^j\), le système précédent équivaut à : \[ (S)\Leftrightarrow
\begin{cases}
P(\alpha_0) = 0
\\ P(\alpha_1) = 0
\\ \vdots
\\P(\alpha_n) = 0
\end{cases}
\]
Or, \(deg(P)\le n\) et \(P\) admet déjà \(n+1\) racines. Donc, P est le polynôme nul.
Donc, \(\forall j \in [\! [0,n]\!]\), \(C_j = 0\), d’où \( X= \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ \vdots\\ 0 \end{pmatrix} \)
On obtient alors que \(Ker \ V(\alpha_0, \alpha_1, \ldots, \alpha_n) = 0\), d’où le fait que \(V(\alpha_0, \alpha_1, \ldots, \alpha_n)\) est inversible.
Réciproque : On suppose qu’il y a au moins deux \(\alpha_i\) égaux. On prendra par exemple \(\alpha_{i-1} = \alpha_{i+1} \)
On a donc \[V(\alpha_0, \alpha_1, \ldots, \alpha_n) = \begin{pmatrix} 1 & \alpha_{1} &\alpha_{1}^2 & \ldots & \alpha_{1}^{n-1}\\ \vdots & & & \vdots
\\1 & \alpha_{i-1} & \alpha_{i-1}^2 & \ldots & \alpha_{i-1}^{n-1}
\\1 & \alpha_{i} & \alpha_{i}^2 & \ldots & \alpha_{i}^{n-1}
\\1 & \alpha_{i+1} & \alpha_{i+1}^2 & \ldots & \alpha_{i+1}^{n-1}
\\ \vdots & & & \vdots \\1 & \alpha_{n} &\alpha_{n}^2 & \ldots & \alpha_{n}^{n-1} \end{pmatrix}\]
Or, la \(i-1^{\text{ième}}\) et la \(i+1^{\text{ième}}\) ligne sont égales, car \(\alpha_{i+1} = \alpha_{i-1}\)
On a donc \(rg \ V(\alpha_0, \alpha_1, \ldots, \alpha_n) \ne n\), ce qui prouve que la matrice initiale n’est pas inversible.
Donc, par contraposée, une matrice de Vandermonde est inversible si les réels \(\alpha_{i}\) sont 2 à 2 distincts.
Je te conseille fortement de refaire cette démonstration, qui fait intervenir tout un tas de techniques intéressantes ! Et n’hésite pas à aller consulter nos autres ressources mathématiques, et particulièrement les autres notions hors programme en cliquant ici !
