Commandement n° 1 : des annales sans changement de variable, jamais tu ne trouveras. Autant te dire que tu as plutôt intérêt à maîtriser ce point. Dans cet article, je vais donc te rappeler tout ce que tu dois savoir dessus.
Rappel de cours
Commençons par revoir l’énoncé du théorème.
Soit \(\phi \in C^1(]a,b[)\) avec \(-\infty \le a\le b \le +\infty\). Soit \(f \in C^0(\phi(]a,b[))\). On note \(\alpha = \lim \limits_{t \to a^+} \phi(t)\) et \(\beta = \lim \limits_{t \to b^-} \phi(t)\). Alors les intégrales \(\displaystyle \int_{a}^{b} f(\phi(t))\phi'(t) \,\mathrm{d}t\) et \(\displaystyle \int_{\alpha}^{\beta} f(u) \,\mathrm{d}u\) sont de même nature et, en cas de convergence, sont égales.
Ce qu’il faut vérifier
Ton premier réflexe face à des intégrales (et en mathématiques, plus généralement) doit être de vérifier que les objets que tu manipules existent bien. Il faut donc chercher l’intervalle sur lequel l’intégrande (la fonction dans l’intégrale) est continue.
Dans certains cas, l’intégrale sera impropre. Il te faut alors vérifier qu’elle est bien convergente. Pour cela, déroule les méthodes classiques : recherche d’équivalent, comparaison avec une intégrale de Riemann, etc.
Maintenant, on se concentre sur la fonction \(\phi\) que l’on explicite clairement. Un « Notons \(\phi \) la fonction… » ne te fera perdre que quelques dixièmes de seconde de rédaction et te permettra de t’y retrouver plus facilement. Pense aussi à ton correcteur qui aime les copies claires !
C’est à toi de décider si tu préfères définir la nouvelle variable en fonction de l’ancienne ou l’ancienne en fonction de la nouvelle. Selon la situation, l’une des méthodes sera plus avantageuse que l’autre. Si tu as l’impression d’être bloqué·e, n’hésite donc pas à essayer l’inverse. Vérifie que \(\phi\) est bien de classe \(C^1\).
Tu peux maintenant effectuer ton changement de variable. Je te propose de voir des exemples pour savoir comment rédiger !
Exemples
Situation 1 : nouvelle variable en fonction de l’ancienne
On s’intéresse à \(\displaystyle \int_{0}^{1} \frac{1}{1+e^t} \,\mathrm{d}t\). On sait que la fonction \(t \mapsto \frac{1}{1+e^t} \) est continue sur \([0,1]\), l’intégrale est donc bien définie et on peut appliquer un changement de variable.
Pour trouver la valeur de cette intégrale, on va poser \(x=e^t\). On définit donc \(\phi(t)=e^t\).
La fonction \(\phi\) est de classe \(C^1\) sur \([0,1]\) et à valeurs dans \([1,e]\). On sait que \(\phi(0)=1\) et \(\phi(1)=e\). On a \(\phi'(t)=e^t\).
Le but est donc de faire apparaître \(\phi'(t)\) dans notre intégrale de départ.
On a \(\displaystyle \int_{0}^{1} \frac{1}{1+e^t} \,\mathrm{d}t=\displaystyle \int_{0}^{1} \frac{e^t}{e^t(1+e^t)} \,\mathrm{d}t\).
On peut maintenant remplacer : \(\displaystyle \int_{0}^{1} \frac{e^t}{e^t(1+e^t)} \,\mathrm{d}t=\displaystyle \int_{1}^{e} \frac{1}{x(1+x)} \,\mathrm{d}x\).
Tu peux finir le calcul en t’appuyant sur le fait que \(\forall x \in [0,1], \frac{1}{x(x+1)} =\frac{1}{x}-\frac{1}{x+1}\).
Situation 2 : ancienne variable en fonction de la nouvelle
On reprend l’exemple précédent, mais cette fois, on pose \(ln(u)=t\). On définit donc \(\phi(u)=ln(u)\). La fonction \(\phi\) est de classe \(C^1\) sur \([1,e]\) et à valeurs dans \([0,1]\). On sait que \(\phi(1)=0\) et \(\phi(e)=1\). On a \(\phi'(u)=\frac{1}{u}\).
On applique le changement de variable directement :
\(\displaystyle \int_{0}^{1} \frac{1}{1+e^t} \,\mathrm{d}t=\displaystyle \int_{1}^{e} \frac{\phi'(u)}{(1+e^{\phi(u)})} \,\mathrm{d}u\displaystyle \int_{1}^{e} \frac{1}{u(1+u)} \,\mathrm{d}u\).
On arrive bien au résultat précédent. C’est donc à toi de décider avec quelle technique tu te sens le plus à l’aise.
Autre exemple : avec une intégrale impropre
On s’intéresse à \(\displaystyle \int_{0}^{+\infty} \sqrt{t}e^{-t} \,\mathrm{d}t\). C’est une intégrale classique, essaie de te souvenir de cette méthode. Cette intégrale est impropre en \(+\infty\).
\(\forall t > 1, \sqrt{t}e^{-t}=o(\frac{1}{t^2})\). Donc, par comparaison avec l’intégrale de Riemann (les intégrales sont bien positives) \(\displaystyle \int_{1}^{+\infty} \frac{1}{t^2} \,\mathrm{d}t\) convergente, on obtient la convergence de \(\displaystyle \int_{1}^{+\infty} \sqrt{t}e^{-t} \,\mathrm{d}t\).
\(\forall t \in [0,1], f:t\mapsto 2te^{-t^2}\) est bien continue sur \([0,1]\). Donc, l’intégrale \(\displaystyle \int_{0}^{1} \sqrt{t}e^{-t} \,\mathrm{d}t\) est bien définie.
Finalement, c’est bien toute l’intégrale \(\displaystyle \int_{0}^{+\infty} \sqrt{t}e^{-t} \,\mathrm{d}t\) qui converge.
On peut maintenant procéder au changement de variable. On va poser \(u^2=t\). On pose donc \(\phi(u)=u^2\). \(\phi\) est bien de classe \(C^1\). On a \(\phi(0)=0\) et \(\lim \limits_{t \to +\infty} \phi(t)=+\infty\). Et comme \(\phi'(u)=2u\), on a 2udu = dt. En remplaçant, il vient alors :
\(\displaystyle \int_{0}^{+\infty} \sqrt{t}e^{-t} \,\mathrm{d}t\) =\(\displaystyle \int_{0}^{+\infty} 2u^2e^{-u^2} \,\mathrm{d}u\).
Une intégration par parties simple te permet finalement de conclure !
À toi de jouer !
Voilà plusieurs intégrales avec lesquelles tu peux t’exercer :
- \(I=\displaystyle \int_{1}^{3} \frac{\sqrt{t}}{1+\sqrt{t}} \,\mathrm{d}t\)
- \(J=\displaystyle \int_{ln(3)}^{3ln(2)} \frac{1}{\sqrt{1+e^t}} \,\mathrm{d}t\)
- \(L=\displaystyle \int_{0}^{1} e^{\sqrt{x}} \,\mathrm{d}t\)
Et voilà, j’espère que cet article t’aura aidé·e. Surtout, entraîne-toi bien. Faire et refaire des changements de variables te permettra d’acquérir parfaitement la technique et d’être au top niveau rédaction.
N’hésite pas à consulter toutes nos autres ressources en mathématiques !
