Dans cet article, je te détaille la méthode et les prérequis nécessaires pour affirmer que dans certains cas, la limite de l’intégrale est égale à l’intégrale de la limite ! Tu verras donc que ce n’est pas aussi simple que tu le voudrais.
Attention, cette notion est hors programme dans le cas des intégrales avec le symbole infini. En effet, lorsqu’une intégrale est finie, le passage à la limite classique est « légal ». En revanche, dès que l’on met en jeu une intégrale infinie, ce passage à la limite classique n’est plus « légal », car il est seulement réalisable sous certaines conditions, d’où cet article.
La convergence simple et uniforme de suites de fonctions
On note \(E\) l’ensemble des applications définies sur un intervalle \(I\) de \(\mathbb{R}\) non vide et non réduit à un point, et à valeurs dans \( \mathbb{R}\)
Soit \((f_n)_{n \in\mathbb{N}}\) une suite d’éléments de \(E\) et \(f\) un élément de \(E\). On note \(\|f\|_{\infty} = sup |f|\) sur \(I\)
On dit que la suite \((f_n)_{n \in\mathbb{N}}\) converge \(\color{red}{simplement}\) vers \(f\) sur \(I\) si et seulement si :
\[\forall x \in I, \lim \limits_{n \to +\infty} (f_n)_{n \in\mathbb{N}}\ (x) = f(x)\]
On dit que la suite \((f_n)_{n \in\mathbb{N}}\) converge \(\color{red}{uniformément}\) vers \(f\) sur \(I\) si et seulement si :
à partir d’un certain rang, \[\lim \limits_{n \to +\infty} \|f_n \ – f\|_{\infty} = 0\]
Remarque : la convergence uniforme implique la convergence simple, alors que la réciproque est fausse.
Limite de l’intégrale d’une suite de fonctions sur segment
Si \(I = [a,b]\) où \(a\) et \(b\) sont deux réels tels que \( a < b\) et \((f_n)_{n \in\mathbb{N}}\) une suite d’éléments de \(E\) continus sur \([a,b]\), et si \((f_n)_{n \in\mathbb{N}}\) converge \(\color{red}{uniformément}\), alors
\[\lim \limits_{n \to +\infty}\displaystyle \int_{a}^{b} f_n(t) \,\mathrm{d}t = \displaystyle \int_{a}^{b}\lim \limits_{n \to +\infty} f_n(t) \, \mathrm{d}t\]
Limite de l’intégrale d’une suite de fonctions sur un intervalle quelconque
Le théorème de la convergence dominée
Soit \((f_n)\) une suite d’applications continues par morceaux sur \(I\) qui converge \(\color{red}{simplement}\) vers une fonction \(f\) continue par morceaux sur \(I\). On suppose qu’il existe une fonction \(g\), continue par morceaux, positive et intégrable sur \(I\) et telle que :
\[\forall n \in \mathbb{N}, |f_n|\le g \ sur \ I\]
Alors, \(\forall n \in \mathbb{N}, f_n\) et \(f\) sont intégrables sur \(I\) et
\[\lim \limits_{n \to +\infty}\displaystyle \int_{I} f_n(t) \,\mathrm{d}t = \displaystyle \int_{I} \lim \limits_{n \to +\infty} f_n(t) \, \mathrm{d}t\]
Tout ceci doit sembler un peu obscur. Rien de mieux qu’un exercice pour t’éclairer ! Essaie de ne pas regarder la correction du premier coup, cela te sera bien plus utile !
Exercice
Énoncé
Soit \(n \in \mathbb N\)
Calculer \( \lim \limits_{n \to +\infty}\displaystyle \int_{0}^{\frac{\pi}{4}} tan^n t\,\mathrm{d}t\)
Corrigé
Posons \(\forall n \in\mathbb{N}, \forall x \in [0,\frac{\pi}{4}], f_n(x) = tan^n x\). Les fonctions \(f_n\) sont toutes continues sur \([0,\frac{\pi}{4}]\)
\(f_n\) converge simplement vers la fonction \(f\) définie par : \(\forall x \in [0,\frac{\pi}{4}], f(x) = \begin{cases} 0 &\text{si} \; x \in [0,\frac{\pi}{4}[\\
0 &\text{si} \; x = \frac{\pi}{4}
\end{cases}\)
\(\forall n \in\mathbb{N}, \forall x \in [0,\frac{\pi}{4}], |f_n(x)| \le \left (tan \frac{\pi}{4}\right)^n = 1\)
Or, la fonction \(x \mapsto 1\) est intégrable sur \([0,\frac{\pi}{4}]\) et indépendante de \(x\)
Conclusion
D’après le théorème de convergence dominée, \(\lim \limits_{n \to +\infty}\displaystyle \int_{0}^{\frac{\pi}{4}} tan^n t\,\mathrm{d}t = \displaystyle \int_{0}^{\frac{\pi}{4}} \lim \limits_{n \to +\infty} tan^ {n} t\,\mathrm{d}t = \displaystyle \int_{0}^{\frac{\pi}{4}} f(t) \,\mathrm{d}t = 0\)
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