Les notions hors programme se destinent surtout aux candidats qui visent les trois Parisiennes. Cet article te propose de décortiquer la propriété du roi, assez utile pour résoudre certaines questions sur les intégrales aux concours. Il t’aidera à mieux comprendre avec des démonstrations et des exemples.
Tu retrouveras également une liste des propriétés intéressantes de cette notion afin d’être sensibilisé(e) et ne pas être pris(e) au dépourvu le jour J. Cela te simplifiera aussi la tâche pour ficher.
La propriété du roi expliquée en français
La propriété du roi est une technique d’intégration qui permet de calculer certaines intégrales impossibles à primitiver et qui demanderaient de nombreux changements de variables. Plus concrètement, la propriété du roi met en avant le fait que l’intégration étant une mesure d’aire, il revient au même de mesurer cette aire en avançant sur le segment où elle est définie de gauche à droite ou de droite à gauche.
Remarque : L’utilisation de la propriété du roi se fait majoritairement sur des intégrales qui contiennent des fonctions trigonométriques (que celles-ci soient apparentes ou non). Elle peut toutefois être utilisée sur des intégrales avec des fonctions non trigonométriques, mais ne se montrera alors pas aussi cruciale.
Définition mathématique et démonstration de la propriété du roi
Soit \(f\) une fonction continue sur \([a ;b]\).
La propriété du roi stipule que :
\( \fbox{\( \displaystyle \int_{a}^{b} f(t) \,\mathrm{d}t =\displaystyle \int_{a}^{b} f(a+b-t) \,\mathrm{d}t \text{ }\)}\)
Démonstration 1
On procède à un changement de variable : \(t=a+b-\theta\) et donc \(\mathrm{d}t = -\mathrm{d}\theta\)
\(
\begin{align}
\displaystyle \int_{a}^{b} f(t) \,\mathrm{d}t &=\displaystyle \int_{a+b-a}^{a+b-b} f(a+b-\theta) \,(-\mathrm{d}\theta) \\
&= \displaystyle \int_{b}^{a} f(a+b-\theta) \,(-\mathrm{d}\theta) \\
&=-\displaystyle \int_{a}^{b} f(a+b-\theta) \,(-\mathrm{d}\theta)\\
&= \displaystyle \int_{a}^{b} f(a+b-\theta) \,\mathrm{d}\theta
\end{align}
\)
Au final, on a bien \(\displaystyle \int_{a}^{b} f(t) \,\mathrm{d}t= \displaystyle \int_{a}^{b} f(a+b-t) \,\mathrm{d}t\) car \(\theta\) est une variable muette que l’on peut remplacer par \(t\). \(\\\)
Démonstration 2
Soit \(F\) une primitive de \(f\) sur le segment \([a;b]\).
\(\displaystyle \int_{a}^{b} f(t) \,\mathrm{d}t = F(b) – F(a)\)
\(
\begin{align}
\displaystyle \int_{a}^{b} f(a+b-t) \,\mathrm{d}t &= -F(a+b-b)-(-F(a+b-a)) \\
&= -F(a)+F(b)\\
&=F(a)-F(b)\\
&= \displaystyle \int_{a}^{b} f(t) \,\mathrm{d}t
\end{align}
\)
Au final, on a bien \(\displaystyle \int_{a}^{b} f(t) \,\mathrm{d}t= \displaystyle \int_{a}^{b} f(a+b-t) \,\mathrm{d}t\).
Remarque
Il existe un résultat analogue pour les sommes, et on a alors \( \displaystyle \sum_{\scriptstyle k=a}^{b} f(t) = \displaystyle \sum_{\scriptstyle k=a}^{b} f(a+b-k)\).
La démonstration est similaire et l’explication également, puisque sommer les termes du premier au dernier ou du dernier au premier revient au même (et c’est d’ailleurs sur cette logique que s’appuie Gauss pour calculer la somme des \(n\) premiers entiers naturels).
Exemples d’utilisation de la propriété du roi
Soit \(I\) l’intégrale de Serret : \(I=\displaystyle \int_{0}^{1} \frac{\ln(1+t)}{1+t^2} \,\mathrm{d}t \).
- On commence par un changement de variable : \( t=\tan (\theta)\) et donc \(\mathrm{d}t =(1+\tan^2(\theta))\mathrm{d}\theta\).
Pour les bornes, on a bien sûr \(1\) qui devient \(\arctan (1)=\frac{\pi}{4}\) et \(0\) qui devient \(\arctan (0)=0\).\(\\\)
\(\begin{align}
I&= \displaystyle \int_{0}^{\frac{\pi}{4}} \frac{\ln(1+\tan (\theta))}{1+\tan^2 (\theta)}(1+\tan^2(\theta)) \,\mathrm{d}\theta \\
&=\displaystyle \int_{0}^{\frac{\pi}{4}} \ln(1+\tan(\theta)) \,\mathrm{d}\theta\\
&= \displaystyle \int_{0}^{\frac{\pi}{4}} \ln(1+\displaystyle \tan \left(\frac{\pi}{4} – \theta \right)) \,\mathrm{d}\theta \text{ }\text{ }\text{ }\text{ }\text{ }\text{ }\text{ }\text{ }\text{ }\text{ }\text{ }\text{ }\text{ }\text{ }\text{ }\text{ }\text{ }\text{ }\text{ }\text{ }\text{ }\text{ }\text{ }\text{ }\text{ }\text{ }\text{ }\text{ }\text{ }\color{red}{\text{ (propriété du roi)}}\\
&= \displaystyle \int_{0}^{\frac{\pi}{4}} \ln\left(1+\frac{\tan (\frac{\pi}{4}) – \tan (\theta)}{1+\tan(\frac{\pi}{4})\tan(\theta)}\right) \,\mathrm{d}\theta \text{ }\text{ }\text{ }\text{ }\text{ }\text{ }\text{ }\text{ }\text{ }\text{ }\text{ }\text{ }\text{ }\text{ }\text{ } \displaystyle \left(\tan(a-b)=\frac{\tan(a)-\tan(b)}{1+\tan(a)\tan(b)}\right)\\
&=\displaystyle \int_{0}^{\frac{\pi}{4}} \ln\left(1+\frac{1 – \tan(\theta)}{1+\tan(\theta)}\right) \,\mathrm{d}\theta \text{ }\text{ }\text{ }\text{ }\text{ }\text{ }\text{ }\text{ }\text{ }\text{ }\text{ }\text{ }\text{ }\text{ }\text{ }\text{ }\text{ }\text{ }\text{ }\text{ }\text{ }\text{ }\text{ }\text{ }\text{ }\text{ }\text{ }\left(\tan\left(\frac{\pi}{4}\right) = 1\right)\\
&=\displaystyle \int_{0}^{\frac{\pi}{4}} \ln\left(\frac{2}{1+\tan(\theta)}\right) \,\mathrm{d}\theta \\
&= \displaystyle \int_{0}^{\frac{\pi}{4}} \ln(2) \,\mathrm{d}\theta \text{ }- \displaystyle \int_{0}^{\frac{\pi}{4}} \ln(1+\tan(\theta)) \,\mathrm{d}\theta \text{ }\text{ }\text{ }\text{ }\text{ }\text{ }\text{ }\text{ }\text{ }\text{ }\text{ }\left(\ln\left(\frac{a}{b}\right)=\ln(a)-\ln(b)\text{ et linéarité}\right)
\end{align}
\)\(\\\) - Or, on voit dans ces différentes égalités que :
\((1)\) \(I=\displaystyle \int_{0}^{\frac{\pi}{4}} \ln(1+\tan(\theta)) \,\mathrm{d}\theta\text{ }\text{ }\) (deuxième ligne)
\((2)\) \(I=\displaystyle \int_{0}^{\frac{\pi}{4}} \ln(2) \,\mathrm{d}\theta \text{ }- \displaystyle \int_{0}^{\frac{\pi}{4}} \ln(1+\tan(\theta)) \,\mathrm{d}\theta\text{ }\text{ }\) (dernière ligne)\(\\\) - Ainsi, en sommant ces deux lignes, on a \(2I = \displaystyle \int_{0}^{\frac{\pi}{4}} \ln(2) \,\mathrm{d}\theta \text{ }=\frac{\ln(2)\pi}{4}\)\(\\\)
- Au final, on en déduit que \(I=\frac{\ln(2)\pi}{8}\)
Remarque : On utilise ici qu’une seule fois la propriété du roi et on ne se rend pas forcément compte des calculs qu’elle nous économise. N’hésite pas à jeter un coup d’œil à la solution bien plus longue que le mathématicien Joseph Bertrand proposait en l’absence de cette astuce.
Soit \(J\) l’intégrale suivante : \(\displaystyle \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \frac{1}{1+\tan^{\pi}(t)} \,\mathrm{d}t\)
- On débute cette fois directement avec la propriété du roi :
\(\begin{align}\displaystyle \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \frac{1}{1+\tan^{\pi}(t)} \,\mathrm{d}t &= \displaystyle \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \frac{1}{1+(\tan\left(0+\frac{\pi}{2}- t\right))^{\pi}} \,\mathrm{d}t \text{ }\text{ }\text{ }\text{ }\color{red}{\text{ (propriété du roi)}}\\
&=\displaystyle \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \frac{1}{1+\left(\frac{1}{tan(t)}\right)^{\pi}} \,\mathrm{d}t \text{ }\text{ }\text{ }\text{ }\text{ }\text{ }\left(\tan\left(\frac{\pi}{2}-t\right) = \cot(t) = \frac{1}{\tan(t)}\right) \\
&=\displaystyle \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \frac{\tan^{\pi}(t)}{1+\tan^{\pi}(t)} \,\mathrm{d}t\\
&= \displaystyle \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \frac{\tan^{\pi}(t)+1-1}{1+\tan^{\pi} (t)} \,\mathrm{d}t \\
&= \displaystyle \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} 1 \,\mathrm{d}t – J
\end{align}
\) - Grâce à cette dernière égalité, on peut écrire que : \(\\\)\(
\begin{align}
J = \displaystyle \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} 1 \,\mathrm{d}t – J & \Rightarrow 2J= \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} 1 \,\mathrm{d}t \\
& \Rightarrow J = \frac{1}{2} \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} 1 \,\mathrm{d}t \\
&\Rightarrow J = \frac{\pi}{4}
\end{align}
\)
N’hésite pas à consulter tous nos articles de mathématiques.
