Introduction
Hello ! Dans cet article, on se penche sur quatre questions classiques de probabilité que l’on retrouve majoritairement dans les sujets de maths EDHEC et EMLYON, mais aussi parfois dans des sujets de parisiennes. Ces questions sont des points à prendre facilement, il est important de savoir les repérer au premier coup d’œil.
I/ Prouver qu’une fonction est bien une densité de probabilité
Cette question est un incontournable des annales EDHEC/EMLYON. La majorité des candidats traite ce type de questions, il faut donc absolument être très rigoureux dans la rédaction. On doit répondre à cette question en trois étapes.
Considérons une fonction \( f \) définie sur un intervalle \( I \) de \( \mathbb{R} \).
1. Tout d’abord, il faut prouver la positivité de la fonction sur cet intervalle \( I \) ! Il faudra donner des arguments précis. Puis, on conclut en disant que la fonction est bien positive sur l’intervalle \( I \) en question.
2. Ensuite, il faut prouver la continuité de la fonction \( f \) sauf éventuellement en un nombre fini de points. En effet, \( f \) peut présenter des points de discontinuité.
3. Enfin, il faut vérifier que l’intégrale de \( – \infty \) à \( + \infty \) de la fonction \( f \) vaut bien 1. Pour cela, il peut être nécessaire de préciser la convergence de l’intégrale étudiée … Toutefois, la plupart du temps on émet un “sous réserve de convergence”, on passe par le calcul, puis on conclut quant à la convergence de l’intégrale grâce au résultat trouvé.
On n’oublie pas de conclure en disant que la fonction \( f \) est bien une densité de probabilité.
Remarques
– La fonction s’annule sur un intervalle : bien souvent la fonction sera nulle sur un intervalle. On peut alors conclure que sur cet intervalle l’intégrale vaut 0. Cependant, pour la partie où la fonction n’est pas nulle, il ne faut faire attention à la convergence de l’intégrale. Deux méthodes :
- On considère \( A > 0 \) afin de nous ramener à un intervalle fini sur lequel notre fonction \(f \) est continue. On calcule l’intégrale puis on passe à la limite.
- On commence par prouver la convergence d’intégrale grâce aux méthodes classiques (négligeabilité, équivalents, critère de Riemann …), puis on calcule.
– Quelques astuces : on peut utiliser la parité de la fonction (lorsque c’est le cas) pour se ramener à un intervalle plus facile à étudier. Aussi, certaines intégrales sont connues : densité d’une loi uniforme/exponentielle/normale…
Passons à la pratique !
Exemple issu de EDHEC 2019 – question 1 de la partie 1 :
Soient \( \theta \in ]0, \frac{1}{2}[ \) et \( \displaystyle f(x) = \begin{cases} \frac{1}{\theta x^{1 + \frac{1}{\theta}}}, x \ge 1 \\ 0 , x<1 \end{cases}\).
Montrer que \( f \) peut être considérée comme une densité.
Rédaction :
Soit un tel \( \theta \) et une telle fonction \( f\).
- \( f \) est nulle donc positive sur \( ]-\infty , 1 [ \), et positive sur \( [1, +\infty [ \) car \( \theta \) et \( x \) le sont.
- \( f \) est continue sur \( ]-\infty , 1 [ \) et \( f \) est continue sur \( [1, +\infty [ \) comme quotient de fonctions continues dont le dénominateur ne s’annule pas. Le seul point de discontinuité de \( f \) se situe donc en \( 1 \).
- Enfin, d’après le critère de Riemann : \( \displaystyle \int_{1}^{+\infty} \frac{1}{t^{1 + \frac{1}{\theta }}} \, \mathrm{d}t \) converge. Comme \( t \mapsto \frac{1}{\theta} \frac{t^{- \frac{1}{\theta}}}{- \frac{1}{\theta}} \) est une primitive de \( f \) sur \( [1, +\infty [ \) on a :
\( \displaystyle \int_{-\infty}^{+\infty} \frac{1}{t^{1 + \frac{1}{\theta }}} \, \mathrm{d}t = \frac{1}{\theta} \displaystyle \int_{1}^{+\infty} \frac{1}{t^{1 + \frac{1}{\theta }}} \, \mathrm{d}t = \lim \limits_{A \to +\infty } \frac{1}{\theta} ( – \theta A^{-\theta } + \theta ) = 1 \).
Ainsi, \( f \) peut bien être considérée comme une densité.
II/ Prouver qu’une fonction est bien une fonction de répartition, puis calculer sa densité
Cette question est elle aussi un grand classique des sujets de concours, surtout à l’EDHEC et à l’EMLYON. Souvent les étudiants confondent la méthode pour répondre à cette question avec celle de la question précédente.
Il faut répondre à cette question en deux étapes :
1. Il faut d’abord vérifier que la fonction est continue en TOUT POINT, c’est très important. Comme la fonction sera très probablement définie sur plusieurs intervalles, il faut absolument vérifier sa continuité à droite et à gauche en un point où la définition de la fonction change. Pour les autres points, une phrase suffit avec un argument clair, par exemple : la fonction est continue sur R en tant que quotient de fonctions continues sur \( \mathbb{R} \) (dont le dénominateur est non nul).
2. Ensuite, il faut s’assurer que la fonction est dérivable, sauf éventuellement en un nombre fini de points (il s’agit des points où la fonction change de définition). Pour cela, il faut à nouveau citer un argument classique (produit, somme, quotient dont le dénominateur est non nul, différence) de fonctions dérivables…
Après avoir conclu qu’il s’agit bien d’une fonction de répartition, il faut maintenant dériver la fonction pour obtenir une densité. On dérive donc en tout point (sauf ceux qui ont précédemment posé problème), puis on posera une valeur arbitraire pour les points qui posent problème (en général on choisit la valeur nulle).
Passons à la pratique !
Exemple issu de EDHEC 2015 – exercice 2 :
Soit \( X \hookrightarrow \mathcal{N}(0,1), \Phi \) sa fonction de répartition.
On pose \( Y = |X| \) et on admet que c’est une variable aléatoire. On note \( F_Y \) sa fonction de répartition.
Exprimer, pour tout réel \( x \) positif, \( F_Y(x) \) à l’aide de \( \Phi (x) \). En déduire que \( Y \) est une variable aléatoire à densité et donner une densité \( f_Y \) de \( Y \).
Rédaction :
Premièrement, on remarque que : \( Y( \Omega ) = [0, +\infty [ \).
Soit \( x \ge 0 \).
\( \begin{align} F_Y(x) &= P(|X| \le x) \\ &= P(-x \le X \le x) \\ &= P(-x < X \le x) \\ &= P(X \le x) – P(X \le -x) \\ &= \Phi(x) – \Phi(-x) \\ &= 2 \Phi(x) – 1 \end{align} \).
Comme \( Y \) prend des valeurs positives, \( \forall x<0, F_Y(x) = 0 \).
\[ \fbox{ \( F_Y(x) = \begin{cases} 0 , x < 0 \\ 2 \Phi(x) – 1 , x \ge 0 \end{cases}\) } \]
\( F_Y \) est bien \( \mathcal{C}^1 \) sur \( \mathbb{R}_{-}^{*} \cup \mathbb{R}_{+}^{*} \) (car \( \Phi \) l’est et \( x \mapsto 0 \) aussi).
\( \lim \limits_{x \to 0^{-}} F_Y(x) = 0 , \; \lim \limits_{x \to 0^{-}} F_Y(x) = 2 \Phi(0) – 1 = 0 = F_Y(0) \)
Donc \( F_Y \) est continue en \( 0 \), et donc sur \( \mathbb{R} \). De plus, \( F_Y \) est \( \mathcal{C}^1 \) sur \( \mathbb{R} \) sauf éventuellement en \( 0 \).
C’est bien une fonction de répartition d’une variable aléatoire.
III/ Trouver une fonction de répartition à partir d’une densité de probabilité
Après avoir prouvé que la fonction étudiée est bien une densité de probabilité, on cherche à trouver la fonction de répartition d’une variable aléatoire donnée.
Une fois cela fait, pour trouver une fonction de répartition il faut savoir que la fonction de répartition est définie sur autant d’intervalles que celle à densité.
Ensuite, il faudra alors intégrer pour retrouver la fonction de répartition en posant un x dans chaque intervalle où la fonction f à densité est définie (l’exemple est plus parlant). Enfin, on rassemble pour conclure et noter proprement la fonction de répartition.
Passons à la pratique !
Exemple issu de EDHEC 2018 :
Soient \( a \in \mathbb{R}_{+}^{*} \) et \( f \) ainsi définie : \( f(x) = \begin{cases} \frac{x}{a} e^{- \frac{x^2}{2a}}, x \ge 0 \\ 0 , x<0 \end{cases}\).
1) Montrer que \( f \) est une densité.
2) Déterminer la fonction de répartition \( F_X \) de \( X \).
Rédaction :
1) Entraînement à partir de l’exemple 1.
2) La fonction de répartition \( F_X \) de \( X \) est définie par : \( \forall x \in \mathbb{R}, F_X (x) = \displaystyle \int_{-\infty}^{x} f(t) \, \mathrm{d}t \).
- \( \forall x < 0, f(x) = 0 \) donc \( F_X(x) = 0 \).
- \( \forall x \ge 0, F_X(x) = \displaystyle \int_{-\infty}^{0} 0 \, \mathrm{d}t + \displaystyle \int_{0}^{x} \frac{t}{a} e^{- \frac{t^2}{2a}} \, \mathrm{d}t = 1 – e^{- \frac{x^2}{2a}} \).
\[ \fbox{ \( \forall x \in \mathbb{R}, F_X(x) = \begin{cases} 0 , x \le 0 \\ 1 – e^{- \frac{x^2}{2a}} , x > 0 \end{cases}\)} \]
IV/ Minimum et maximum
Souvent les énoncés des sujets EDHEC et EMLYON considèrent une suite de variables aléatoires indépendantes qui suivent toutes la même loi. Puis, l’énoncé nous invite à calculer la fonction de répartition d’une autre variable aléatoire qui correspond au minimum ou bien au maximum de cette suite de variables. Il faut savoir le faire les yeux fermés car c’est un grand classique du concours.
N’hésite pas à consulter nos 10 astuces sur min et max – Tous niveaux.
a) Le maximum
Pour le maximum, c’est assez simple :
- On note \( (T_n)_{n \in \mathbb{N}^*} \) cette suite de variables aléatoires indépendantes.
- On remarque que : Si \( \underset{1 \le k \le n}{\max} T_k \le x \), alors on a nécessairement \( T_1 \le x, T_2 \le x …, T_n \le x \).
Ensuite, on calcule : \( P(\underset{1 \le k \le n}{\max} T_k \le x) \), ce qui se fait normalement relativement bien puisque la plupart du temps, les variables aléatoires seront supposées indépendantes et on aura donc : \( P(\underset{1 \le k \le n}{\max} T_k \le x) = \displaystyle \prod_{k=1}^{n} P(T_k \le x) \).
b) Le minimum
Pour le minimum, il faut absolument connaître une astuce : il faut passer par ce qu’on appelle “l’antirépartition” :
- On cherche : \( \underset{1 \le k \le n}{\min} T_n > x \)
- On remarque que : Si \( \underset{1 \le k \le n}{\min} T_k > x \), on a nécessairement \( T_1 > x, T_2>x …, T_n > x \)
- Comme précédemment, on calcule l’intersection de tous ces événements et on trouve : \( P(\underset{1 \le k \le n}{\min} T_k > x) = \displaystyle \prod_{k=1}^{n} P(T_k > x) \).
- Puis, grâce à la propriété \( P(\underset{1 \le k \le n}{\min} T_k > x) = 1 – P(\underset{1 \le k \le n}{\min} T_k \le x) \), on peut retrouver la fonction de répartition associée à la variable aléatoire \( \underset{1 \le k \le n}{\min} T_k \).
Passons à la pratique !
Exemple issu de EMLYON 2019 – Partie B :
Soit \( \lambda \in \mathbb{R}_{+}^{*} \). On considère une suite \( (T_n)_{n \in \mathbb{N}} \) de variables aléatoires indépendantes, suivant toutes la loi exponentielle de paramètre \( \lambda \).
Soit \( n \in \mathbb{N}^* \). On définit la variable aléatoire \( M_n = \min (T_1, …, T_n) \).
1) Calculer, pour tout \( t \in \mathbb{R}_+, P(M_n > T) \).
2) En déduire la fonction de répartition \( M_n \) sur \( \mathbb{R} \).
Rédaction :
1) Soit \( t \in \mathbb{R}_+ \).
\( \begin{align} P(M_n > t) &= P(\min (T_1, …, T_n)>t) \\ &= P( [T_1 >t] \cap … \cap [T_n >t]) \\ &= P( [T_1 >t]) \cap … \cap P([T_n >t]) \quad (1) \\ &= (P(T_1 > t)^n \quad (2) \\ &= (1 – F_{T_1}(t))^n \end{align} \)
(1) : par indépendance des variables aléatoires \( T_1 , …, T_n \)
(2) : car les \( T_i \) suivent toutes la même loi
\[ \fbox{ \( P(M_n > t ) = \begin{cases} 1^n , t < 0 \\ (e^{- \lambda t})^n , t \ge 0 \end{cases} \) } \]
2) \( \forall t \in \mathbb{R}, F_{M_n}(t) = 1 – P(M_n > t) = \begin{cases} 0 , t < 0 \\ 1 – e^{- \lambda n t} , t \ge 0 \end{cases}\).
Conclusion
Tu as pu le voir, il est important de repérer les questions incontournables, qui tombent régulièrement dans les sujets de concours. Savoir les résoudre, c’est s’assurer des points le jour J et gagner du temps pour pouvoir traiter les autres questions comme il le faut !
Voilà, cet article portant sur quatre méthodes incontournables touche à sa fin, j’espère qu’il t’aura été utile. À bientôt !
N’hésite pas à consulter toutes nos ressources de mathématiques !
