Quatre questions classiques de probabilité en maths ECE Quatre questions classiques de probabilité en maths ECE
Dans cet article, nous étudierons quatre questions classiques de probabilité que l’on retrouve majoritairement dans les sujets de maths EDHEC et maths emlyon, mais... Quatre questions classiques de probabilité en maths ECE

Dans cet article, nous étudierons quatre questions classiques de probabilité que l’on retrouve majoritairement dans les sujets de maths EDHEC et maths emlyon, mais aussi parfois dans des sujets de parisiennes. Ces questions sont des points à prendre facilement, il est important de savoir les repérer au premier coup d’œil. Pour pouvoir suivre cet article, nous te proposons ce document avec des exemples associés à chaque question que tu retrouveras ci-dessous.

 

1. Prouver qu’une fonction est bien une densité de probabilité

Cette question est un incontournable des annales EDHEC/emlyon. La majorité des candidats traite ce type de questions, il faut donc absolument être très rigoureux dans la rédaction. On doit répondre à cette question en trois étapes.

Considérons une fonction définie sur un intervalle I (il s’agit de la fonction dont on veut montrer qu’elle est une densité de probabilité).

1. Tout d’abord, il faut prouver la positivité de la fonction sur cet intervalle ! Il faudra citer un argument précis, par exemple, le fait que la fonction exponentielle est toujours strictement positive. Puis, on conclut en disant que la fonction est bien positive sur l’intervalle en question.

2. Ensuite, il faudra prouver la continuité de la fonction sauf en quelques points (s’il y a des points de discontinuité). La fonction doit être continue sur chaque intervalle, mais il n’est pas nécessaire de vérifier la continuité sur les points qui posent problème (là où la définition de la fonction change).

3. Enfin, la partie la plus complexe, il faudra vérifier que l’intégrale de -∞ à +∞ de la fonction vaut bien 1.

On conclut en disant que la fonction correspond bien à une densité de probabilité.

 

Remarques

La fonction s’annule sur un intervalle : bien souvent la fonction sera nulle sur un intervalle ; sur cet intervalle sans problèmes de convergence, on peut conclure que l’intégrale vaut 0. Cependant, pour la partie où la fonction n’est pas nulle, il ne faut surtout pas écrire une intégrale infinie avant d’avoir prouvé sa convergence. D’abord, on posera un réel A supérieur à 0 pour travailler sur une intégrale finie et ensuite, on montrera que cette intégrale est convergente/que la limite existe. On déterminera alors la valeur de l’intégrale quand A tend vers +∞ . Une fois cette limite trouvée, on pourra conclure que l’intégrale de la fonction en question est convergente.

Quelques astuces : d’autres techniques existent, comme parfois reconnaître la parité de la fonction. Enfin, on rassemble toutes les intégrales et on peut conclure que l’intégrale converge vers 1. De même, certaines intégrales sont connues. En effet, certaines intégrales du cours peuvent permettre de conclure (par exemple la densité d’une loi uniforme/exponentielle/normale…).

Maintenant que tu sais comment résoudre cette question, n’oublie pas de te référer à l’exemple du document joint plus haut (question n°1). Tu remarqueras qu’il s’agit d’un extrait du sujet de maths EDHEC 2019 dont tu peux retrouver le sujet ici.

 

2. Prouver qu’une fonction est bien une fonction de répartition, puis calculer sa densité

Cette question est elle aussi un grand classique des sujets de concours, surtout à l’EDHEC et à l’emlyon. Souvent les étudiants confondent la méthode pour répondre à cette question avec celle de la question précédente.

Il faut répondre à cette question en deux étapes :

1. Il faut d’abord vérifier que la fonction est continue en TOUT POINT, c’est très important. Comme la fonction sera très probablement définie sur plusieurs intervalles, il faut absolument vérifier sa continuité à droite et à gauche en un point où la définition de la fonction change. Pour les autres points, une phrase suffit avec un argument clair, par exemple : la fonction est continue sur R en tant que quotient de fonctions continues sur R (dont le dénominateur est non nul).

2. Ensuite, il faut s’assurer que la fonction est dérivable, sauf éventuellement en un nombre fini de points (il s’agit des points où la fonction change de définition). Pour cela, il faut à nouveau citer un argument classique (produit, somme, quotient dont le dénominateur est non nul, différence) de fonctions dérivables…

Après avoir conclu qu’il s’agit bien d’une fonction de répartition, il faut maintenant dériver la fonction pour obtenir une densité. On dérive donc en tout point (sauf ceux qui ont précédemment posé problème), puis on posera une valeur arbitraire pour les points qui posent problème (en général on choisit la valeur nulle).

À nouveau, tu peux te référer au document plus haut pour un exemple. Il s’agit d’un extrait du sujet EDHEC 2015.

 

3. Trouver une fonction de répartition à partir d’une densité de probabilité

Il s’agit de l’inverse de la question précédente. Elle est aussi souvent posée au concours. Souvent ce sera déjà fait, mais si ce n’est pas le cas, il faudra tout d’abord prouver que la fonction étudiée est bien une fonction à densité.

Une fois cela fait, pour trouver une fonction de répartition il faut savoir que la fonction de répartition est définie sur autant d’intervalles que celle à densité.

Ensuite, il faudra alors intégrer pour retrouver la fonction de répartition en posant un x dans chaque intervalle où la fonction f à densité est définie (l’exemple est plus parlant). Enfin, on rassemble pour conclure et noter proprement la fonction de répartition.

Le sujet de l’EDHEC 2018 illustre ces questions (voir la question 3 du document).

 

4. Minimum et maximum

Souvent les énoncés des sujets EDHEC et emlyon posent une suite de variables aléatoires indépendantes qui suivent toutes la même loi. Puis, l’énoncé nous invite à calculer la fonction de répartition d’une autre variable qui correspond au minimum ou bien au maximum de cette suite de variables. Comment faire ? Il faut savoir le faire les yeux fermés car c’est un grand classique du concours.

a) Le maximum

Pour le maximum, c’est assez simple : en fait, en notant (Tn) cette suite de variables aléatoires indépendantes, si max(Tn)≤x, alors on a T1≤ x, T2≤ x … jusqu’à Tn≤ x (car le maximum est inférieur ou égal à x). C’est une phrase comme cela qu’il faudra écrire sur ta copie : si le maximum est inférieur ou égal à x, alors toutes les variables aléatoires prennent bien des valeurs inférieures ou égales à x.

Ensuite, on calculera l’intersection de tous ces événements (Tn≤ x), ce qui s’arrange bien car normalement les variables seront indépendantes et de même loi, ce qui arrangera les calculs lorsqu’on passera aux probabilités (l’intersection devient un produit par indépendance).

b) Le minimum

Pour le minimum, il faut absolument connaître une astuce : il faut passer par ce qu’on appelle l’antirépartition ! On cherche donc (minTn)>x, car, si (minTn)>x, on a forcément T1>x, T2>x … jusqu’à Tn>x (car le minimum est supérieur à x). Comme précédemment, on calculera alors l’intersection de tous ces événements pour au final trouver P(minTn>x).

Puis, grâce à la propriété P(minTn>x) = 1 – P(MinTn≤ x), on peut retrouver la fonction de répartition associée à la variable aléatoire MinTn.

Le sujet de l’emlyon 2019 illustre parfaitement ce type de question (voir le document).

 

Tu as pu le voir, il est important de repérer les questions incontournables, qui tombent régulièrement dans les sujets de concours. Savoir les résoudre, c’est s’assurer des points le jour J et gagner du temps pour pouvoir traiter les autres questions comme il le faut !

Hugo Botella

Après. deux ans de classes préparatoires à Saint Jean de Douai j'ai intégré l'ESSEC. Je suis désormais rédacteur en mathématiques.