Trois questions classiques sur les fonctions de deux variables

Dans cet article, nous te proposons d’étudier trois questions classiques d’analyse – sur les fonctions à deux variables – en maths ECE. Si tu as apprécié notre article sur les quatre questions classiques de probabilité en maths ECE, alors cet article est aussi fait pour toi !

1) Calculer les dérivés partielles premières et secondes d’une fonction de deux variables

Montrer que la fonction est de classe C²

Avant de commencer il est très important de s’assurer que la fonction étudiée est de classe C². Parfois, cela sera demandé au préalable dans une question précédente. Parfois, le candidat devra prendre l’initiative de lui même avant de dériver. Pour cela il y a plusieurs cas : 

Cas 1 : La fonction est polynomiale est dans ce cas elle est C².

Cas 2 : Sinon, il faut décomposer chaque composante de la fonction et prouver la classe C² des composantes faisant intervenir x et de celles faisant intervenir y (par produit/somme/différence… de fonctions continues sur un intervalle). On conclut enfin en disant que la fonction entière est bien C².

Déterminer les dérivées partielles d’ordre 1 et 2

Ensuite pour trouver les dérivées partielles d’ordre 1 il s’agit de dériver de manière classique à un détail près. Lorsque l’on dérive en fonction de la variable x ; la variable y devient une constante ! Et inversement lorsque l’on dérive en fonction de la variable y.

On répète ce processus à chaque dérivée partielle d’ordre 1 afin d’obtenir les dérivées partielles d’ordre 2.

Remarque importante : Attention : très souvent (sujet emlyon notamment) l’énoncé vous fera d’abord étudier une fonction classique avant de passer à une fonction de deux variables. Il faut absolument faire le rapport entre la fonction simple et celle à deux variables !

 2) Trouver les points critiques d’une fonction f à deux variables puis déterminer s’il la fonction admet un extremum local voire global

Il s’agit ici d’un enchaînement classique. Après avoir trouvé les dérivées partielles d’ordre 1, l’énonce demande souvent de trouver les points critiques de f.

Pourquoi ces points sont-ils très important ?

Car s’il la fonction admet des extremums, ils sont atteints en ces points critiques.

Mais alors comment les trouver ?

– Il faut d’abord s’assurer que l’on travaille sur un intervalle dit « ouvert » afin que les propriétés sur les extrema s’appliquent.

– Il faut trouver les valeurs pour lesquels le gradient est nul. C’est à dire les valeurs qui annulent les deux dérivées partielles d’ordre 1.

– Il faut ainsi résoudre un système de deux équations à deux inconnus de manière assez classique.

Remarque : À noter qu’il peut y avoir parfois une multitude de points critiques.

Une fois ces points critiques trouvés, il faut étudier la matrice hessienne en ces points. La matrice hessienne est une matrice carré 2*2 qui contient les dérivées partielles d’ordre 2. Il s’agit alors de trouver les valeurs propres de cette matrice hessienne.

Si les valeurs propres sont toutes les deux positives alors la fonction f admet un minimum local, si elles sont toutes les deux négatives alors la fonction f admet un maximum local. Attention, si les valeurs propres sont de signes opposés, il n’y a pas d’extremum mais si l’une des valeurs propres est 0, on ne peut juste pas conclure !

Ensuite, souvent l’énoncé proposera de développer une quantité qui permettra de se rendre compte que l’extremum est finalement global puisqu’en tout point f(x) sera bien supérieur ou inférieur à l’extremum en question.

3) Représenter graphiquement un ensemble

Souvent, les sujets de concours proposent au début d’un exercice de fonctions à deux variables de représenter l’ensemble de définition de la fonction. Cette question est assez différenciante puisque peu de candidats s’essayent au tracé graphique. Pourtant elle ne prend que quelques minutes à traiter.

Il faut tout d’abord tracer deux axes : abscisse et ordonné (ne pas oublier les flèches en bout d’axes). Ensuite il faut trouver les points qui appartiennent aux deux ensembles formant le couple.

Par exemple si l’ensemble à tracer est : [0;+∞ ] * R , les points qui répondent à cette condition sont tous les points de [0;+∞ ].
Représenter. Cet ensemble c’est donc hachurer proprement tous les points de [0;+∞].