La série harmonique est un objet mathématique très célèbre que les candidats en filière ECG ont l’habitude de retrouver aux concours. Cette série et ses propriétés se situent au carrefour de l’analyse et d’autres concepts mathématiques, comme les suites et les développements asymptotiques. Elle est également étroitement liée à d’autres problèmes mathématiques renommés, notamment ceux associés à la fonction zêta. Dans cet article, on se concentrera sur les propriétés de cette série incluses au programme. On explorera des résultats et notions hors programme : fonction zêta, preuves de divergence, série harmonique lacunaire, etc. Maîtriser ces notions te permettra de te préparer de manière plus approfondie aux épreuves parisiennes de Maths I et II.
La série harmonique
La série harmonique expliquée en français
C’est une série de nombres réels. En effet, c’est la série des inverses des entiers naturels non nuls.
Elle fait partie des séries de Riemann qui sont au programme. Ces dernières te servent de séries de référence pour prouver la convergence d’une certaine série.
La série harmonique en mathématiques
Le terme général de la série harmonique est défini par \( (u_n)_{n \in \mathbb{N}} \; \text{tel que} \; \forall n \in \mathbb{N}, \; u_n = \displaystyle \frac{1}{n}\)
Autrement dit, la n-ième somme partielle de la série harmonique (qui se note habituellement \(H_n\)) est égale à : \( \displaystyle \sum_{k=1}^{n}\frac{1}{k}\)
La fonction zêta de Riemann
C’est une fonction officiellement hors programme que tu as déjà dû rencontrer sous diverses formes. Elle s’exprime à l’aide d’une série et peut être définie par la fonction \( \zeta \; \text{telle que} \; \forall s \in \mathbb{R}, \; \zeta(s)= \displaystyle \sum_{k=1}^{+\infty}\frac{1}{k^s}.\)
D’après ton cours, tu sais que cette série converge si et seulement si \( s > 1\)
Nous pouvons affiner ce résultat en affirmant que \( \forall k \in \mathbb{N}^*, \; \zeta(2k) = \displaystyle \frac{|B_{2k}| (2\pi)^{2k}}{2(2k)!} \), où les \(B_{2k}\) sont les nombres de Bernoulli.
D’où \( \zeta(2) = \frac{\pi^2}{6} \; \text{et} \; \zeta(4)=\frac{\pi^4}{90} \)
Cette fonction est liée à notre objet d’étude. En effet, tu as pu remarquer que la série harmonique est une valeur particulière de la fonction zêta, plus précisément \( \zeta(1).\)
Les différentes preuves de divergence
D’après les propriétés du cours, nous savons que la série harmonique diverge. Cependant, il est bien de savoir démontrer ce résultat. En effet, cela peut t’être demandé aux concours écrits et aux oraux.
La première démonstration de la divergence de la série harmonique a été réalisée par Nicole Oresme en 1360 dans Quaestiones super geometriam Euclidis. Elle consiste à remarquer que :
- \(H_4 = \displaystyle 1 + \frac12 + \frac13 + \frac14 \ge 1 + \frac12 + \frac14 + \frac14 = 1 + \left( \frac12 + \frac12 \right) \)
- \(H_8 = \displaystyle 1 + \left( \frac12 + \frac13 \right) + \left(\frac14 + \frac15 + \frac16 + \frac17 + \frac18 \right) \ge 1 + \frac12 + \frac24 + \frac48 = 1 + \frac12 +\frac12 +\frac12\)
- En itérant le processus, on prouve que \(H_n \) diverge vers \( +\infty. \)
Dans la plupart des sujets, tu seras amené(e) à montrer la divergence de la série harmonique en trouvant son équivalent. C’est ce que nous allons maintenant étudier.
Un équivalent de la série
Cherchons un équivalent à la série harmonique en encadrant la n-ième somme partielle de la série harmonique avec \( n \in \mathbb{N}^*. \)
Soient \(k \in [\![1,n]\!] \; \text{et} \; t \in [k;k+1] \).
On a : \(\displaystyle \frac{1}{k+1} \le \frac1t \le \frac1k \)
Donc : \( \displaystyle \frac1{k+1} \le \displaystyle \int_k^{k+1} \frac1t \mathrm{d}t \le \frac1k \)
Donc : \( \displaystyle \sum_{k=1}^{n-1} \frac1{k+1} \le \int_1^{n} \frac1t \mathrm{d}t \le \sum_{k=1}^{n-1} \frac1k \)
Et donc : \( H_n – 1 \le \ln(n) \le H_n – \frac1n \)
Finalement : \( \displaystyle 1+ \frac1{n\ln(n)} \le \frac{H_n}{\ln(n)} \le 1 + \frac{1}{\ln(n)} \). Donc : \( \lim \limits_{n \to +\infty}\frac{H_n}{\ln(n)} = 1\; \text{c’est-à-dire} \; H_n \underset{+\infty}{\sim}\ln(n)\)
Développement asymptotique et constante d’Euler
Nous venons de montrer qu’au voisinage de \( + \infty, \; H_n \) est équivalent à \( \ln(n). \)
Nous pouvons maintenant étudier le comportement de \( u \; \text{tel que} \; \forall n \in \mathbb{N}^*, \; u_n = H_n – \ln(n) \) pour obtenir le développement asymptotique de la série harmonique.
Premièrement, posons \( \forall n \in \mathbb{N}^*, \; v_n = u_{n+1} – u_n. \)
On a : \( v_n = H_{n+1} – \ln(n+1) – H_n + \ln(n) = \displaystyle \frac1{n+1}+\ln(1-\frac1{n+1}) \)
Donc, au voisinage de \( + \infty \), on a : \( v_n = \frac1{n+1} – \frac1{n+1} – \frac1{2(n+1)^2} + o \left( \frac1{(n+1)^2}\right) = – \frac1{2(n+1)^2} + o \left( \frac1{(n+1)^2}\right) \)
Finalement : \( v_n \underset{+\infty}{\sim} – \frac1{2(n+1)^2} \). Par comparaison de séries (critère de Riemann), on peut affirmer que la série de terme général \(v_n\) est convergente.
De plus, en s’appuyant sur la définition de \(v_n\), on a \( \displaystyle \sum_{k=1}^n v_k = u_{n+1} – u_1 .\) Donc \( (u_n)_{n \in \mathbb{N}^*} \) converge vers un réel qui se note \( \gamma \) et qui s’intitule la constante d’Euler : \( \gamma \approx 0,5772. \)
Nous pouvons donc conclure qu’au voisinage de \( +\infty \), on a \( H_n = \ln(n) + \gamma + o(1). \)
La série harmonique alternée
Le terme général de la série harmonique alternée est défini par : \( \forall k \in \mathbb{N}^*, \; u_k = \displaystyle \frac{(-1)^k}{k}. \)
Contrairement à la série harmonique, cette série converge, et ce, vers le réel \( – \ln(2). \)
Critère des séries alternées
Il existe un critère de convergence pour les séries alternées. C’est-à-dire les séries dont le signe de \(u_{n+1}\) est opposé à celui de \(u_n\).
En effet, si les termes généraux sont décroissants en valeur absolue et si le terme général tend vers 0, alors la série alternée converge. Il est facile de vérifier que c’est le cas pour la série harmonique alternée, nous pouvons donc en déduire sa convergence.
Les séries harmoniques lacunaires
On appelle « série harmonique lacunaire », toute série de la forme \( \displaystyle \sum_{k=1}^{+\infty} \frac{\mathbb{1}_G(k)}{k} \) avec \(G\) une partie de \(\mathbb{N} \) et \( \mathbb{1} \) est la fonction indicatrice.
Par exemple, si nous posions \(G = \{n^2 | n \in \mathbb{N}^* \}\), la série lacunaire vaudrait \( \displaystyle \sum_{k=1}^{+\infty} \frac1{k^2} \; \text{c’est-à-dire} \; \zeta(2) = \frac{\pi}6. \)
Conclusion
L’étude approfondie de la série harmonique a dévoilé des liens significatifs avec des concepts mathématiques avancés comme la fonction zêta de Riemann, les équivalents asymptotiques et les séries lacunaires. Cette exploration approfondie t’offre des outils essentiels pour aborder les épreuves parisiennes de Maths I et II avec une préparation plus solide et une compréhension étendue des ramifications de la série harmonique dans le domaine de l’analyse mathématique.
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