Aujourd’hui, nous allons étudier un thème au croisement de l’algèbre et de l’analyse : les suites extraites. Bien que cette notion soit officiellement hors programme, tu as déjà dû la rencontrer à plusieurs reprises, notamment avec les intégrales de Wallis ou encore dans l’application du théorème des suites adjacentes. Ces suites, également connues sous le nom de sous-suites, offrent une perspective intéressante pour analyser les suites en choisissant des sous-ensembles infinis d’éléments. Cette approche enrichit notre compréhension des suites en révélant des structures cachées au sein de leurs membres. Dans cet article, je te présente l’intérêt de cette notion et plusieurs de ses propriétés qui te seront utiles lors de ta préparation aux écrits et aux oraux.
La notion de suite extraite expliquée en français
Une suite extraite est une nouvelle suite qui est formée en sélectionnant un sous-ensemble infini de termes d’une suite d’origine, tout en maintenant l’ordre des termes.
Autrement dit, une suite extraite est une suite obtenue en choisissant certains termes d’une autre suite, mais sans changer leur ordre d’apparition.
Les suites extraites
Soient \( u \) une suite dans \( \mathbb{R}^{\mathbb{N}}\) et \( \varphi : \mathbb{N} \to \mathbb{N} \), une fonction bijective strictement croissante. Une suite extraite de \(u\) est la composée de \(u\) par \(\varphi\) qui se note : \( \fbox{ \((u_{\varphi(n)})_{n \in \mathbb{N}} \)} \)
Remarque : l’application \( \varphi \) est appelée extractrice.
Exemples de suites extraites
Soit \( u \in \mathbb{R}^{\mathbb{N}} \) telle que \( \forall n \in \mathbb{N}, u_n = \displaystyle \int_0^{\frac{\pi}2} \cos(t)^n \, \mathrm{d}t \) (on appelle cette intégrale : l’ intégrale de Wallis).
Soient \( \varphi_1 \) et \( \varphi_2 \), deux applications bijectives strictement croissantes telles que : \[
\begin{cases}
\varphi_1 : n \in \mathbb{N} \to 2n &\\
\varphi_2 : n \in \mathbb{N} \to 2n+1
\end{cases}
\]
\(
\begin{cases}
(u_{\varphi_1(n)})_{n \in \mathbb{N}} =(u_{2n})_{n \in \mathbb{N}}= \left ( \displaystyle \int_0^{\frac{\pi}2} \cos(t)^{2n} \, \mathrm{d}t \right)_{n \in \mathbb{N}} &\\
(u_{\varphi_2(n)})_{n \in \mathbb{N}} =(u_{2n+1})_{n \in \mathbb{N}}= \left ( \displaystyle \int_0^{\frac{\pi}2} \cos(t)^{2n+1} \, \mathrm{d}t \right )_{n \in \mathbb{N}}
\end{cases}
\) sont deux suites extraites de \( u \).
La décomposition de \(u\) en deux suites extraites est ici particulièrement intéressante. En effet, nous pouvons montrer d’un côté par récurrence que \( \forall n \in \mathbb{N}, u_{2n} = \displaystyle \frac{\pi}{2} \frac{(2n)!}{(2^nn!)^2}.\) Ensuite, en utilisant le fait que \( \forall n \in \mathbb{N}, (n+1)u_{n+1}u_n= \displaystyle\frac{\pi}{2},\) nous pouvons obtenir par calcul l’expression de la suite extraite \( (u_{2n+1})_{n \in \mathbb{N}}. \) En conclusion, l’utilisation de suites extraites permet de donner la valeur de \(u_n\) pour tout \(n\) dans \( \mathbb{N} \).
Quelques propriétés des suites extraites
Réflexivité et transitivité
La relation « être une suite extraite de » est réflexive (c’est-à-dire \(u \in \mathbb{R}^{\mathbb{N}}\) est une suite extraite de \(u\)). En effet, en considérant l’extractrice \( \varphi : n \to n\) nous avons que \( (u_n)_{n \in \mathbb{N}}=(u_{\varphi(n)})_{n \in \mathbb{N}} \) est une sous-suite de \((u_n)_{n \in \mathbb{N}}. \)
La relation « être une suite extraite de » est transitive (c’est-à-dire si \(u\) est une sous-suite de \(v\) et si \(v\) est une sous-suite de \(w\), alors \(u\) est une sous-suite de \(w\)). En effet, nous pouvons considérer les extractrices \( \varphi_1 \) et \( \varphi_2 \) telles que \( (v_n)_{n \in \mathbb{N}}=(w_{\varphi_1(n)})_{n \in \mathbb{N}} \) et \( (u_n)_{n \in \mathbb{N}}=(v_{\varphi_2(n)})_{n \in \mathbb{N}}. \) Nous pouvons remarquer que \( \varphi_1 \circ\varphi_2 \) est une extractrice, car la composée de fonctions bijectives strictement croissantes est bijective strictement croissante et que \( (u_n)_{n \in \mathbb{N}}=(w_{\varphi_1 \circ\varphi_2(n)})_{n \in \mathbb{N}}. \) Donc, \(u\) est bien une sous-suite \( w\).
Toute suite admet une suite extraite monotone
\( \forall u \in \mathbb{R}^{\mathbb{N}}, \) il existe une suite extraite monotone de \(u\). Pour démontrer cette propriété, il faut utiliser la notion de pic : l’indice \( n_0\) est un pic si et seulement si \( \forall n > n_0, u_n < u_{n_0}\)
Cas 1 : il existe une infinité de pics de \(u\). Alors, les \( u_n \) tels que \(n\) est un pic forment une suite extraite (strictement) décroissante de \(u\).
Cas 2 : il y a un nombre fini de pics de \(u\). Soit \( n_0 \), un indice strictement supérieur à tous les pics de \(u\), nous pouvons maintenant considérer un indice \(n_1 > n_0\) tel que \( u_{n_1} \ge u_{n_0}\), cet indice existe bien car il n’existe pas de pics de \(u\) supérieurs à \(n_0\). En itérant ce processus une infinité de fois, nous pouvons construire une suite extraite de \(u\) croissante.
Ainsi, dans les deux cas, nous venons de montrer que \(u\) admet une suite extraite monotone, ce qui est équivalent au prédicat ci-dessus.
Propriété de convergence
Soit \(u \in \mathbb{R}^{\mathbb{N}}, \) une suite qui converge vers \( \ell \). Alors, toute suite extraite de \(u\) converge vers \( \ell \).
Cette propriété peut être démontrée en utilisant la définition d’une suite qui converge vers \( \ell \) avec des epsilon.
Le théorème de Bolzano-Weierstrass
Le théorème de Bolzano-Weierstrass est hors programme. Cependant, il est d’une importance cruciale, car il permet d’obtenir de nombreuses propriétés, notamment sur la notion d’intervalle.
De plus, sa démonstration est un très bon exercice pour ceux qui préparent les oraux de mathématiques ou encore ceux qui souhaitent s’exercer sur la notion de suites extraites.
Voici l’énoncé du théorème :
\[ \text{Soit} \; u \in \mathbb{R}^{\mathbb{N}}. \text{Si} \; u \ \text{est bornée, alors} \; u \; \text{admet une suite extraite convergente.} \]
Conclusion
En résumé, les suites extraites sont des outils mathématiques particulièrement utiles en algèbre et en analyse, permettant une exploration approfondie des propriétés d’une suite donnée. Bien que cette notion puisse parfois dépasser le cadre du programme, il est important de souligner que les concepts sous-jacents aux suites extraites sont étroitement liés à plusieurs thèmes du programme mathématique. Ainsi, son étude approfondie enrichira ta préparation à toutes les épreuves de mathématiques !
Pour maîtriser cette notion, tu peux t’entraîner sur des sujets (mathématiques approfondies anciennement ECS) abordant les suites extraites et leurs propriétés :
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