Nous allons étudier un théorème particulièrement important en analyse : le théorème de la moyenne. Bien que cette notion soit officiellement hors programme, le théorème de la moyenne joue un rôle essentiel dans de nombreux domaines mathématiques. Dans cet article, nous allons analyser les différentes propriétés et démonstrations de ce théorème, tout en étudiant des résultats qui y sont intimement liés. Ces notions te seront particulièrement utiles pour les oraux de l’ESCP et de HEC, ainsi que pour les épreuves parisiennes.
Le théorème de la moyenne expliquée en français
Le théorème de la moyenne, dans le contexte de l’intégration des fonctions continues d’une variable réelle, affirme que si une fonction est continue sur un intervalle donné, alors il existe au moins un point à l’intérieur de cet intervalle où la valeur de la fonction est égale à la moyenne de la fonction sur tout l’intervalle.
Le théorème de la moyenne
Soit \(f\) une fonction définie et continue sur \( [a,b] \) avec \((a,b) \in \mathbb{R}^2 \; \text{tel que} \; a < b \).
Alors : \( \fbox{ \(\displaystyle \exists c \in ]a,b[ \; \text{tel que} \; f(c)=\frac{1}{b-a}\int_a^b f(x) \mathrm{d}t \)} \)
Remarque : en considérant le théorème fondamental de l’analyse et une primitive \(F \; \text{de} \; f\), nous pouvons nous ramener au théorème des accroissements finis.
Démonstration
La démonstration de ce théorème est à mémoriser, car le résultat n’est pas au programme et il est fort possible qu’on te demande de démontrer cette propriété à l’oral ou à l’écrit. D’après la remarque précédente, nous pouvons donc démontrer ce théorème avec le théorème des accroissements finis.
Soient \(f\) une fonction définie et continue sur un intervalle \( [a,b] \), \(F\) une primitive de \(f\) définie sur \( [a,b] \). D’après le théorème des accroissements finis (TAF) : \(\exists c \in ]a,b[ \) tel que \( \displaystyle F^{\prime}(c)=f(c)=\frac{F(b)-F(a)}{b-a}. \)
Or, d’après le théorème fondamental de l’analyse : \(\displaystyle F(b)-F(a)=\int_a^b f(x)\mathrm{d}t\)
Donc : \( f(c)= \displaystyle \frac{1}{b-a}F(b)-F(a)=\frac{1}{b-a}\int_a^b f(x)\mathrm{d}t \)
Utilisation du théorème de la moyenne
Montrons qu’il existe \(c \in ]0,\pi[ \; \text{tel que} \; \pi\sin(c) = \displaystyle \int_0^{\pi} \sin(x) \mathrm{d}t \)
La fonction \( \sin \) est continue sur \( [0,\pi] \), donc d’après le théorème de la moyenne : \( \exists c \in ]0,\pi[ \; \text{tel que} \; \displaystyle \sin(c) = \frac{1}{\pi – 0} \int_0^{\pi} \sin(x) \mathrm{d}t \)
D’où : \( \pi\sin(c) = \displaystyle \int_0^{\pi} \sin(x) \mathrm{d}t \)
L’inégalité de la moyenne
Soit \(f\) une fonction définie et continue sur un intervalle \( [a,b] \). Supposons que \(\forall x \in [a,b], m \le f(x) \le M. \)
Alors : \( \fbox{ \(\displaystyle m(b-a) \le \int_a^b f(x) \mathrm{d}t \le M(b-a)\)} \)
Démonstration
D’après le théorème de la moyenne \( \exists c \in ]a,b[ \; \text{tel que} \; \displaystyle f(c)=\frac{1}{b-a}\int_a^b f(x) \mathrm{d}t. \)
De plus, \( m \le f(c) \le M \), donc \(m \le \displaystyle \frac{1}{b-a}\int_a^b f(x) \mathrm{d}t \le M\). Ainsi \(\displaystyle m(b-a) \le \int_a^b f(x) \mathrm{d}t \le M(b-a).\)
Généralisation du théorème de la moyenne
Nous avons vu que le théorème de la moyenne peut s’interpréter comme une « version intégrale » du théorème des accroissements finis. Cette analogie peut également se faire entre le théorème des accroissements finis généralisé et la généralisation du théorème de la moyenne qui s’exprime comme ceci :
Soient \( f \; \text{et} \; g, \) deux fonctions continues sur le segment \( [a,b] \) avec \(g\) qui ne change pas de signe sur cet intervalle. Alors : \( \fbox{\( \exists c \in ]a,b[ \; \text{tel que} \; \displaystyle \int_a^b f(x)g(x) \mathrm{d}t =f(c) \int_a^b g(x) \mathrm{d}t \)} \)
Nous pouvons également considérer \(n+1\) fonctions continues sur \( [a,b], (f_1, …, f_{n+1}) \) qui ne changent pas de signe sur cet intervalle. Alors \( \exists (c_1, …, c_n) \in ]a,b[^n \; \text{tel que} \; \displaystyle \int_a^b \prod_{i=1}^{n+1} f_i(x) \mathrm{d}t = \prod_{i=1}^{n} f_i(c_i) \int_a^b f_{n+1}(x) \mathrm{d}t. \)
Ce résultat se formalise par récurrence en utilisant la généralisation du théorème de la moyenne avec deux fonctions.
Conclusion
En résumé, le théorème de la moyenne est un outil crucial en mathématiques. Il offre des résultats précieux en analyse sur le comportement des fonctions continues sur des intervalles. De sa démonstration à ses applications, ce théorème révèle de nombreux liens entre les valeurs d’une fonction et les moyennes d’une fonction. Sa généralisation ouvre la voie à une exploration plus approfondie des interactions entre plusieurs fonctions continues sur un même intervalle.
En somme, maîtriser ce théorème hors programme est essentiel pour aborder des problèmes mathématiques avancés que tu seras amené(e) à rencontrer aux épreuves parisiennes et aux oraux de mathématiques.
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