Cet article a pour but de te présenter deux notions HP que sont le lemme de Hadamard et le théorème de Gerschgorin. Même si tu n’as techniquement pas le droit d’utiliser ces deux propriétés, les connaître est utile pour vérifier tes résultats et t’assurer que tu ne fonces pas droit dans le mur !
Lemme de Hadamard
Introduction aux matrices à diagonales (strictement) dominantes
Le lemme de Hadamard nécessite l’introduction des matrices à diagonales dominantes. On va pour cela ne considérer que les matrices carrées à coefficients réels, afin de coller aux nouvelles exigences des programmes.
Ainsi, une matrice \(A\) est dite à diagonale dominante si et seulement si la valeur absolue de chaque terme diagonal est supérieure ou égale à la somme des valeurs absolues des autres termes de la ligne. Mathématiquement, et en notant \(a_{i,j}\) le coefficient à la \(i\)ième ligne et à la \(j\)ième colonne de la matrice \(A\), on a :
\[\forall i \in [\! [1,n]\!], |a_{i,i}|\ge\displaystyle \sum_{\scriptstyle i=1 \atop\scriptstyle j\ne i}^{n} |a_{i,j}| \]
De même, la matrice est dite à diagonale strictement dominante si l’inégalité est stricte.
Remarque : ce théorème est aussi valable pour les matrices à coefficients complexes. Dans ce cas-là, on ne parlera plus de valeur absolue, mais de module. Si cette partie du théorème venait à être utilisée, le sujet ferait un rappel sur les nombres complexes, qui ne sont officiellement plus au programme.
Exemple de matrice à diagonale dominante
Énoncé du lemme de Hadamard à proprement parler
Si \(A\) est une matrice à diagonale strictement dominante, alors \(A\) est inversible.
Un théorème évidemment très utile, lorsque l’on peine à montrer l’inversibilité d’une matrice, mais qui ne doit être utilisé qu’en dernier recours. Il est en effet évident que les concepteurs du sujet attendent une autre démonstration.
Ce théorème dit qu’une valeur propre de \(A\) en valeur absolue sera toujours inférieure ou égale à la valeur absolue du maximum de la somme de toutes les lignes de la matrice \(A\).
Théorème de Gerschgorin
Ce théorème permet de borner les valeurs propres d’une matrice. Il n’est pas utilisable en l’état, puisqu’il implique des complexes. Une nouvelle fois, si le sujet venait à le mentionner, il y aurait un rappel sur les nombres complexes.
Définition des disques de Gerschgorin
Soit \(A\) une matrice complexe de taille \(n\). On appelle disques de Gerschgorin associés à \(A\) les \(n\) disques de \(\mathbb{C}\) définis par :
\[ D_i = \left\{z\in\mathbb C: |z-a_{i,i}|\leq \sum_{j\neq i}|a_{i,j}|\right\}, i \in [\! [1,n]\!] \]
Théorème de Gerschgorin
Si \(\lambda\) est valeur propre de \(A\), alors elle appartient au moins à l’un des disques de Gerschgorin de \(A\).
Mathématiquement, et en notant \(D_i\) le \(i\)ième disque de Gerschgorin, cela signifie :
\[
\lambda \ \text{est une valeur propre de} \ A \Rightarrow \lambda \in \displaystyle
\bigcup_{i=1}^{n} D_{i}
\]
C’est un résultat très intéressant, car il donne des indices précieux sur la localisation des valeurs propres d’une matrice. Une telle démonstration ou utilisation du théorème de Gerschgorin ferait sans doute l’objet d’une partie (au minimum) d’un sujet de Parisienne.
Exemple graphique
Petits rappels sur les cercles et les disques (bonus – facultatif pour comprendre parfaitement l’exemple)
Comme tu as pu le constater, le lemme de Hadamard est bien plus facilement utilisable que le théorème de Gerschgorin. Les deux sont néanmoins très liés. On s’appuie généralement sur le premier pour démontrer le deuxième, et vice versa.
Cependant, le théorème de Gerschgorin, s’il est bien utilisé, permet de vérifier facilement si une potentielle valeur propre en est effectivement une !
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