L’intégrale de Gauss est souvent tombée dans les sujets de concours ces dernières années. Mais pas de panique, en quelques minutes, tu découvriras tout ce qu’il faut savoir sur cette intégrale classique ! Dans cet article, tu trouveras donc les propriétés à connaître, mais également la réponse à quelques questions classiques.
Définition de l’intégrale de Gauss
L’intégrale de Gauss est le nom donné à l’intégrale suivante, où \(\alpha\) est un réel strictement positif :
\[\displaystyle \int_{-\infty}^{+\infty}\exp(-\alpha t^{2})\, \mathrm{d}t = \sqrt{\frac{\pi}{\alpha}} \]
Cas particulier quand \(\alpha=1\) :
\[\displaystyle \int_{-\infty}^{+\infty}\exp(-t^{2})\, \mathrm{d}t = \sqrt{\pi} \]
La particularité de l’intégrale de Gauss est que la fonction à intégrer n’admet aucune primitive s’exprimant à partir de fonctions usuelles.
Démonstration
Il existe plusieurs méthodes pour démontrer la valeur de l’intégrale de Gauss. Je t’en propose une ci-dessous.
Démonstration de l’existence de l’intégrale
On pose \(G=\displaystyle \int_{0}^{+\infty}\exp(-t^{2})\, \mathrm{d}t\).
La fonction \( x \mapsto \exp(-x^{2})\) est continue sur \(]0,+\infty[\) et négligeable devant \(\frac{1}{x^{2}}\) en \(+\infty\). Par comparaison avec une intégrale de Riemann convergente, on en déduit que l’intégrale \(G\) existe.
Utilisation d’une fonction annexe
Soit \(f\) la fonction définie par \(\displaystyle \forall x \in\mathbb{R}, f(x)= \displaystyle \int_{0}^{1} \frac{\exp(-x(1+t^{2})}{1+t^{2}} \, \mathrm{d}t\)
L’objectif est tout d’abord de démontrer que la dérivée de cette fonction \(f\) est \(f'(x)= -\displaystyle \int_{0}^{1} e^{-x(1+t^{2})} \, \mathrm{d}t \).
Cela revient à montrer que \(\displaystyle \lim \limits_{h \to 0} \left[\frac{f(x+h)-f(x)}{h}-\left(-\displaystyle \int_{0}^{1} e^{-x(1+t^{2})} \, \mathrm{d}t \right) \right] = 0\)
En utilisant l’inégalité de Taylor-Lagrange, montrons qu’il existe une constante \(M \ge 0\) telle que \(\displaystyle\forall (h,t) \in [-1,1] \times [0,1], |e^{-h(1+t^{2})}-1+h(1+t^{2})| \le Mh^{2}\)
Soit \(\displaystyle \forall (h,t) \in [-1,1] \times [0,1]\). En appliquant l’inégalité de Taylor-Lagrange à l’ordre 1 à la fonction exponentielle qui est de classe \(C^2 \)sur \([0,-h(1+t^{2})]\), on a :
\(\displaystyle |e^{-h(1+t^{2})}-\exp(0)-\exp'(0)-h(1+t^{2}-0)| \le M[\frac{|-h(1+t^{2})-0|^{2}}{2!}\) avec \(\displaystyle M=\max_{0 \le t \le 1} f^{\prime \prime}(t)=\max_{0 \le t \le 1} \frac{e^{1+t^{2}}(1+t^{2})^{2}}{2}\) (qui existe bien puisque \(f^{\prime \prime}\) est bien continue sur \([0,1]\)). Finalement, on conclut que \(\displaystyle\forall (h,t) \in [-1,1] \times [0,1], |e^{-h(1+t^{2})}-1+h(1+t^{2})| \le Mh^{2}\)
Soit \(\displaystyle x\in\mathbb{R}\) et \(h \ne 0\) :
\(\displaystyle \left|\frac{f(x+h)-f(x)}{h}-\left(-\displaystyle \int_{0}^{1} e^{-x(1+t^{2})} \, \mathrm{d}t \right) \right| = \left|\displaystyle \int_{0}^{1}\left(\frac{e^{-(x+h)(1+t^{2})}-e^{-x(1+t^{2})}}{h(1+t^{2})}+e^{-x(1+t^{2})}\right), \mathrm{d}t ) \right|\) (par linéarisation de l’intégrale)
\(\displaystyle \le \left|\displaystyle \int_{0}^{1} (\frac{e^{-x(1+t^{2})}}{h(1+t^{2})})(e^{-h(1+t^{2})}-1+h(1+t^{2}))\,\mathrm{d}t \right|
\le \left( \displaystyle \int_{0}^{1} (\frac{e^{-x(1+t^{2})}}{|h|(1+t^{2})})|e^{-h(1+t^{2})}-1+h(1+t^{2})|\,\mathrm{d}t \right)\) (d’après l’inégalité triangulaire)
\(\displaystyle\le \displaystyle \int_{0}^{1} \frac{e^{-x(1+t^{2})}}{|h|(1+t^{2})}Mh^{2}\,\mathrm{d}t\) (d’après la question précédente)
\(\displaystyle\le |h|M\displaystyle \int_{0}^{1} \frac{e^{-x(1+t^{2})}}{(1+t^{2})}\,\mathrm{d}t\)
Or, ce dernier majorant tend vers 0 quand \(h\) tend vers 0, donc d’après le théorème des gendarmes, on a \(\displaystyle \lim \limits_{h \to 0} \frac{f(x+h)-f(x)}{h}=-\displaystyle \int_{0}^{1} e^{-x(1+t^{2})} \, \mathrm{d}t \)
Autrement dit, \(f\) est dérivable en \(x\) et \(\displaystyle f'(x)=-\displaystyle \int_{0}^{1} e^{-x(1+t^{2})} \, \mathrm{d}t \)
Utilisation d’une deuxième fonction annexe
Montrons que la fonction \(g : x \mapsto f(x^{2})+ \left(\displaystyle \int_{0}^{x} e^{-t^{2}} \, \mathrm{d}t \right)^{2}\) est constante sur \(\mathbb{R}\)
Méthode : pour montrer qu’une fonction est constante, on vérifie que sa dérivée est nulle.
Ici, \(g\) est de classe \(C^1\) sur \(\mathbb{R}\)
\(
\begin{align}g'(x)&=2xf'(x^{2})+2e^{-x^{2}}\displaystyle \int_{0}^{x} e^{-t^{2}} \, \mathrm{d}t
\\&=-2x\displaystyle \int_{0}^{1} e^{-x^{2}}e^{-(xt)^{2}} \, \mathrm{d}t + 2e^{-x^{2}}\displaystyle \int_{0}^{x} e^{-t^{2}} \, \mathrm{d}t
\\&=2xe^{-x^{2}} \left [- \displaystyle \int_{0}^{1} e^{-(xt)^{2}} \, \mathrm{d}t + \displaystyle \int_{0}^{x} e^{-t^{2}} \, \mathrm{d}t \right]
\end {align}\)
Après changement de variable affine dans la première intégrale, on obtient \(g'(x)=0\)
On en conclut que \(g\) est constante sur \(\mathbb{R}\)
Résolution du problème
- Montrons que \(\displaystyle \forall x \ge 0, 0 \le f(x) \le \frac{\pi}{4}\) et déduisons la limite de \(f\) en \(+\infty\)
Tout d’abord, \(\forall x \in \mathbb{R}\), par linéarité de l’intégration, on a :
\(f(x)= \displaystyle \int_{0}^{1} \frac{e^{-x}e^{-xt^{2}}}{1+t^{2}} \,\mathrm{d}t = e^{-x}\displaystyle \int_{0}^{1} \frac{e^{-xt^{2}}}{1+t^{2}} \,\mathrm{d}t\)
En outre, pour \(x \ge 0\) et pour \(t \in [0,1]\) :
\(
\begin{align}
\displaystyle -xt^{2} \le 0 &\Rightarrow 0 \le e^{-xt^{2}} \le 1 \\
& \displaystyle \Rightarrow 0 \le \frac{e^{-xt^{2}}}{1+t^{2}} \le 1
\end{align}\) (car \(\displaystyle 1+t^{2}>0\)
Donc, par positivité et croissance de l’intégration sur [0,1] : \( 0 \le \displaystyle \int_{0}^{1} \frac{e^{-xt^{2}}}{1+t^{2}} \, \mathrm{d}t \le \displaystyle \int_{0}^{1} \displaystyle \frac{1}{1+t^{2}}\, \mathrm{d}t\)
Or, la dernière intégrale vaut \(\displaystyle \arctan(1)-arctan(0)=\frac{\pi}{4}\) et \(e^{-x}>0\) de sorte que l’on a bien \(0 \displaystyle \le f(x) \le \frac{\pi}{4}\)
Enfin, comme \(\lim \limits_{x \to +\infty} e^{-x}=0\), on en déduit par encadrement que \(\lim \limits_{x \to +\infty} f(x)=0\)
- Finalement, concluons quant à la valeur de \(G\)
D’une part, \(\lim \limits_{x \to +\infty} \displaystyle \int_{0}^{x}\exp(-t^{2})\, \mathrm{d}t = G\) et par composition des limites \(\lim \limits_{x \to +\infty} f(x^{2})=0\), de sorte que \(\lim \limits_{x \to +\infty} g(x)=0+G^{2}=G^{2}\)
D’autre part, \(g(0)=f(0)+0=\displaystyle \int_{0}^{1} \frac{1}{1+t^{2}}\, \mathrm{d}t=\frac{\pi}{4}\)
Enfin, comme g est constante, on en déduit que \(G^{2}=\lim \limits_{x \to +\infty} g(x)=g(0)=\frac{\pi}{4}\)
Puis, par positivité de l’intégrale, comme \(G\ge 0\),
\[ \fbox{\( G=\frac{\sqrt{\pi}}{2} \)}\]
Tu maîtrises maintenant parfaitement l’intégrale de Gauss ! Retrouve d’autres intégrales hors programme sur le site, comme l’intégrale de Wallis.
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