Les quantificateurs sont au cœur de la logique mathématique. Ces opérateurs fondamentaux permettent d’exprimer avec précision les propriétés des ensembles et des éléments qui les composent. Dans cet article, nous explorerons en profondeur ces outils puissants qui jouent un rôle essentiel dans la rigueur des raisonnements mathématiques.
Introduction sur les quantificateurs
En logique mathématique, un quantificateur est un opérateur qui, dans les propositions mathématiques, indique le nombre d’éléments d’un ensemble satisfaisant une certaine propriété.
Il en existe deux :
- La locution ‘pour tout‘ ou ‘quel que soit‘, appelée quantificateur universel et notée \( \boldsymbol{\forall} \).
- La locution ‘il existe‘, appelée quantificateur existentiel et notée \( \boldsymbol{\exists} \).
Quantificateur universel \( \, \forall \)
Un exemple
\( \forall x \in E, P(x) \) se lira « pour tout \(x\) appartenant à l’ensemble \( E \), la propriété \( P \) est vraie ».
\(“ \ \forall \ ” \) signifie donc ici que la propriété \( P \) est vérifiée pour tout \( x \) de l’ensemble \( E \).
En résumé
Le quantificateur universel représente une assertion qui concerne chaque élément d’un ensemble, exprimant une propriété vraie pour tous les éléments de cet ensemble.
Quantificateur existentiel \( \, \exists \)
Un exemple
\( \exists x \in E, P(x) \) se lira « il existe \( x \) appartenant à l’ensemble \( E \), tel que la propriété \( P \) est vraie ».
\(“ \ \exists \ ” \) signifie donc ici qu’il existe (au moins) un \( x \) de l’ensemble \( E \) vérifiant la propriété \( P \).
En résumé
Le quantificateur existentiel en mathématiques représente une affirmation qui énonce l’existence d’au moins un élément dans un ensemble qui satisfait une certaine propriété donnée.
Existence et unicité
Attention, la locution « il existe » ne signifie pas « il existe un et un seul », mais bien « il existe au moins un ». Autrement dit, cette locution assure qu’il existe au moins un élément, et donc éventuellement plusieurs, vérifiant une propriété donnée, mais n’assure pas que cet élément soit unique.
« il existe un et un seul » ou « il existe un unique » se note “ \( \exists! \)”.
Guide d’emploi des quantificateurs
L’emploi des quantificateurs est codifié
- Un quantificateur est placé avant la propriété qu’il quantifie.
- L’emploi des quantificateurs en guise d’abréviation est proscrit.
- Leur emploi doit être réservé exclusivement aux phrases rédigées intégralement en langage mathématique.
Bien que cela puisse sembler pratique, recourir aux quantificateurs de manière informelle risque de contrarier ton correcteur et de jouer en ta défaveur.
On n’écrira ainsi jamais :
\[ \forall x \in \mathbb{R}, x \text{ admet un antécédent par la fonction exponentielle.}\]
Mais :
\[ \text{Tout réel } x \text{ admet un antécédent par la fonction exponentielle.}\]
Ou encore :
\[ \forall x \in \mathbb{R}, \ \exists y \in \mathbb{R}, \ e^{y}=x.\]
Il vaut mieux parfois ne pas employer de quantificateurs
Lorsqu’on est amené à effectuer une série de calculs, à enchaîner des équivalences ou que l’on cherche à résoudre des inégalités, l’emploi des quantificateurs n’est pas le plus approprié.
Dans la pratique, cela conduit souvent à des fautes graves ainsi qu’à une écriture assez lourde, puisqu’il faut réécrire les quantificateurs sur chaque ligne. Il vaut mieux introduire les variables comme suit : « Soit \( x \) un réel tel que… ».
L’ordre des quantificateurs a une importance
Il est tout à fait possible d’utiliser plusieurs quantificateurs dans une même proposition. Cependant, il faut être vigilant quant à l’ordre dans lequel on les utilise.
Par exemple :
\[ \forall n \in \mathbb{Z}, \, \exists k \in \mathbb{Z}, \, k \ge n\]
Cette proposition se lit « pour tout entier \( n \), il existe un entier \( k \) tel que \(k\) est plus grand que \(n\) », ou encore « tout entier relatif \( n \) admet un plus grand entier relatif \( k \) ». Cette proposition est vraie, puisque par exemple \( n+1 \) est toujours plus grand que \( n \), quel que soit l’entier relatif \( n \).
En revanche :
\[ \exists n \in \mathbb{Z}, \, \forall k \in \mathbb{Z}, \, k \ge n\]
Cette proposition se lit « il existe un entier \( n \) tel que pour tout entier \( k \), \( k \) est plus grand que \( n \) », ou encore « il existe un entier \( n \) qui est plus petit que tout entier \( k \) ». Cette proposition est bien évidemment fausse, il suffit de prendre \( k=n-1\), qui est plus petit que \(n\), quel que soit l’entier relatif \( n \).
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