Dans cet article, tu trouveras toutes les méthodes pour déterminer une famille génératrice, expliquées clairement pour la prépa ECG. Pour bien comprendre ce dont on va parler, il est indispensable de savoir ce que sont un espace vectoriel et une combinaison linéaire.
Rappels
Espace vectoriel
Un ensemble \(E\) est appelé espace vectoriel sur \(\mathbb{R}\) (ou \(\mathbb{R}-espace \ vectoriel\)) s’il est muni de deux lois (deux opérations) :
- une addition « vectorielle » qui, à deux éléments \(u\) et \(v\) de \(E\), associe un élément de \(E\) noté \(u+v\) ;
- une multiplication par un réel qui, à tout réel \(\lambda\) et tout élément \(u\) de \(E\), associe un élément \(\lambda*u\) de \(E\),
vérifiant les propriétés suivantes :
- Propriétés de l’addition
- \(\forall (u,v,w) \in E^3, (u+v)+w = u+(v+w)\)
- \(\forall (u,v) \in E^2, u+v = v+u\)
- \(\exists \ 0_{E} \in E : \forall u \in E, (u+0_{E}) = u\)
- \(\forall u \in E, \exists \ u’ \in E : u + (u’) = 0_{E}\)
- Propriétés de la multiplication par un réel
- \(\forall u \in E,1*u = u\)
- \(\forall (\lambda,\mu) \in \mathbb{R^2}, \forall u \in E, \lambda * (\mu *u) = (\lambda * \mu) * u\)
- \(\forall (\lambda,\mu) \in \mathbb{R^2}, \forall u \in E, (\lambda + \mu) * u = \lambda * u + \mu * u\)
- \(\forall \lambda \in \mathbb{R}, \forall (u,v) \in E^2, \lambda * (u+v) = \lambda * u + \lambda * v\)
Les éléments de \(E\) sont appelés les vecteurs de \(E\), les réels sont souvent appelés les scalaires.
L’élément neutre pour l’addition vectorielle, noté \(0_{E}\), est appelé le vecteur nul.
Les ensembles des matrices \(n*p\) \(\mathcal{M}_{n,p} (\mathbb{R})\), des polynômes \(\mathbb{R}[X]\), des \(n\)-uplets \(\mathbb{R^n}\) ou des suites \(\mathbb{R^\mathbb{N}}\) sont tous des espaces vectoriels de référence.
Combinaison linéaire
On dit qu’un vecteur \(v\) d’un espace vectoriel \(E\) est une combinaison linéaire des vecteurs \(u_1, u_2,…, u_n\) s’il existe \(n\) réels \(\lambda_1, \lambda_2,…, \lambda_n\) tels que :
\[v = \lambda_1 * u_1 + … + \lambda_n * u_n = \displaystyle \sum_{k=1}^{n} \lambda_k * u_k.\]
Définition
Soit \(E\) un espace vectoriel et \(u_1, u_2,…, u_n\) une famille de vecteurs de \(E\).
\(u_1, u_2,…, u_n\) est génératrice de \(E\) si tout vecteur de \(E\) est combinaison linéaire de \(u_1, u_2,…, u_n\).
\[\forall u \in E, \exists \lambda_1, \lambda_2,…, \lambda_n \in \mathbb{R^n}
\\ u = \lambda_1 * u_1 + … + \lambda_n * u_n.\]
Il existe alors trois méthodes pour montrer qu’une famille est génératrice de l’espace vectoriel \(E\).
Méthode 1
Pour montrer que la famille \(u_1, u_2,…, u_n\) est génératrice de \(E\), on peut écrire : Soit \(v \in E\) et \(\lambda_1, \lambda_2,…, \lambda_n \in \mathbb{R^n}\). On résout l’équation \(\displaystyle \sum_{k=1}^{n} \lambda_k * u_k = v\) et on montre que l’équation a au moins une solution.
Exemple
Montrer que \(u_1=(1,1,1), u_2=(1,1,0)\) et \(u_3=(1,0,1)\) forme une famille génératrice de \(\mathbb{R^3}\).
On veut montrer que \(\forall (x,y,z) \in \mathbb{R^3}, \exists \lambda_1, \lambda_2, \lambda_3 \in \mathbb{R}, (x,y,z) = \lambda_1 (1,1,1) + \lambda_2 (1,1,0) + \lambda_3 (1,0,1)\) (E)
\((x,y,z) = \lambda_1 (1,1,1) + \lambda_1 (1,1,0) + \lambda_3 (1,0,1)
\\ \Leftrightarrow (x,y,z) = (\lambda_1+\lambda_2+\lambda_3, \lambda_1+\lambda_2, \lambda_1+\lambda_3)
\\ \Leftrightarrow \begin{cases} x = \lambda_1+\lambda_2+\lambda_3
\\ y = \lambda_1+\lambda_2
\\ z = \lambda_1+\lambda_3
\end{cases}
\Leftrightarrow \begin{cases} \lambda_1+\lambda_2+\lambda_3 = x
\\ -\lambda_3 = y-x
\\ -\lambda_2 = y-x
\end{cases}
\\ \Leftrightarrow \begin{cases} \lambda_1 = -x+y+z
\\ \lambda_3 = x-y
\\ \lambda_2 = x-y
\end{cases}\)
Donc, l’équation (E) admet des solutions en \(\lambda_1, \lambda_2, \lambda_3\), donc \( \lambda_1, \lambda_2, \lambda_3\) existent bien et donc la famille est génératrice.
Méthode 2
Si la famille \(u_1, u_2,…, u_n\) est libre, il suffit de montrer que la dimension de \(E\) est égale à \(n\) pour montrer que la famille est une base de \(E\) (donc est génératrice).
Exemple
La famille \((u_1=(1,0), u_2=(0,1)) \in \mathbb{R^2}\) est libre, car ces deux vecteurs sont non colinéaires.
La dimension de l’espace vectoriel \(\mathbb{R^2}\) étant 2, alors la famille \(u_1, u_2\) est génératrice de \(\mathbb{R^2}\) (elle est donc une base de \(\mathbb{R^2}\)).
Méthode 3
L’image d’une famille génératrice par une application linéaire surjective dans \(E\) est génératrice de \(E\).
Exemple
On rappelle qu’une application linéaire est dite surjective si tout élément de l’ensemble d’arrivée a au moins un antécédent.
Ainsi, si une famille \(u_1, u_2,…, u_n\) est génératrice dans \(E\), toute image \(v_1, v_2,…, v_n\) de cette famille par une application linéaire dans \(E\) (un endomorphisme, donc) est également une famille génératrice de \(E\).
Propriétés importantes
- Si tous les vecteurs de la famille appartiennent à un sous-espace vectoriel strict de \(E\) (qui est donc inclus dans \(E\), mais qui n’est pas égal à \(E\)), cette famille ne peut pas être génératrice de \(E\).
- Toute famille \(u_1, u_2,…, u_n\) de \(E\) qui est une base de \(E\) est génératrice de \(E\).
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