Dans cet article, je te propose trois astuces sur les probabilités discrètes. Beaucoup d’élèves ne pensent pas directement à celles-ci dans des sujets de probabilités discrètes, c’est pourquoi je te conseille de les avoir en tête, afin de faire la différence en gagnant des points facilement.
Si tu as besoin d’une petite piqûre de rappel sur les probabilités, n’hésite pas à consulter cet article (ne lis pas la quatrième partie de cet article si tu n’as pas encore vu les probas à densité).
Astuce 1
Repérer la somme de Riemann dans des exos sur la loi uniforme
Dans les exos de probas discrètes, il est classique de trouver une variable aléatoire suivant une loi uniforme dont la formule de l’espérance fait apparaître une somme de Riemann.
L’existence de l’espérance et le calcul de sa valeur se démontrent ainsi grâce au théorème de la somme de Riemann.
Exemple : Soit \(X \hookrightarrow\mathcal{U}({1/n,2/n,…,1})\). Montrer que \(E(X)\) existe et calculer la valeur de sa limite.
\(X(\Omega)= \{1/n,2/n,…,1\} \forall k\in [\![1,n]\!], P(X=k/n)=1/n\)
\(X\) prend un nombre fini de valeurs donc \(E(X)\) existe et \(E(X)=\displaystyle \sum_{k=1}^{n}k/n P(X=k/n)= (1/n)\displaystyle \sum_{k=1}^{n}k/n\)
Rappel de cours : la formule de Riemann
\(\lim \limits_{n \to +\infty}\displaystyle \frac{ b-a}{n}\displaystyle \sum_{k=1}^{n}f(a+k\frac{(b-a)}{n}=\displaystyle \int_{a}^{b} f(t) \,\mathrm{d}t\)
On reconnaît une somme de Riemann pour la fonction f avec : \(\forall x \in\mathbb{R}, f(x)=x\) sur l’intervalle\( [\![0,1]\!]\)
D’après la formule de Riemann, \(\lim \limits_{n \to +\infty}E(X)=\displaystyle \int_{0}^{1} f(x) \,\mathrm{d}x=\displaystyle \int_{0}^{1} x \,\mathrm{d}x= 1/2\)
Astuce 2
Utiliser \(\displaystyle \sum P(X=k)=1\) pour prouver la convergence d’une série
Les exos de probas discrètes demandent souvent de prouver l’existence de l’espérance de la variable aléatoire discrète. Pour cela, il faut montrer que la série de terme général \(kP(X=k)\) converge absolument. Une des méthodes classiques pour prouver cette convergence est d’utiliser un critère de comparaison.
Exemple : Soit \(X\) une variable aléatoire discrète. Soit \(U^X\) une variable aléatoire telle que \(|U^X|\le1\). Montrer que \(E(U^X)\) existe.
\(E(U^X)\) existe si et seulement si \(\displaystyle \sum_{k \in \mathbb{N}} u^k P(X=k)\) converge absolument donc converge (car les termes sont positifs).
Comme \((|U^X|\le1\), on a : \(0\le u^k P(X=k)\le P(X=k) \)
Or, \(\displaystyle \sum_{k \in \mathbb{N}} P(X=k)\) converge et vaut 1.
Donc, d’après le critère de comparaison des séries à termes positifs, \(E(U^X)\) existe.
Astuce 3
Poser une fonction dont la variable est une probabilité et faire l’étude de celle-ci pour démontrer une inégalité
Dans certains exos de probas discrètes demandant de démontrer une inégalité, il peut être utile de poser une fonction dont la variable est une probabilité et de faire l’étude de celle-ci.
Exemple : Soit \(X\) et \(Y\) deux variables aléatoires suivant chacune une loi de Bernoulli de probabilité respectives p et q. Montrer que : \(|Cov(X,Y)|\le1/4\)
D’après le cours, \(V(X)\) et \(V(Y)\) existent, \(V(X)=p(1-p)\) et \(V(Y)=q(1-q)\)
On pose \(f\) telle que : \(\forall x \in\mathbb{R}, f(x)=x(1-x)\)
L’étude de cette fonction (dérivée, tableau de variations) montre qu’elle est majorée par 1/4.
Rappel de cours : l’inégalité de Cauchy-Schwarz
De plus, d’après l’inégalité de Cauchy-Schwarz, on a : \(|Cov(X,Y)|\le\sqrt{V(X)V(Y)}\)
Et comme : \(\sqrt{V(X)V(Y)}=\sqrt{V(X)^2}=(|p(1-p)|\le 1/4\)
On en conclut que : \(|Cov(X,Y)|\le1/4\)
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