En algèbre, le procédé d’orthonormalisation de Gram-Schmidt est essentiel, car il tisse un lien entre l’algèbre linéaire et l’algèbre bilinéaire. Dans cet article, tu découvriras comment utiliser ce procédé clé, qui te sera particulièrement utile aux épreuves EML, EDHEC et ECRICOME. Il est cependant important de noter que ce procédé est officiellement hors programme, mais il est toujours attendu de toi que tu sois capable d’orthonormaliser une base, d’où la nécessité de connaître cette méthode.
À quoi sert le procédé d’orthonormalisation de Gram-Schmidt ?
Développé par les mathématiciens Jørgen Pedersen Gram et Erhard Schmidt, le procédé d’orthonormalisation de Gram-Schmidt permet de transformer une base quelconque d’un espace euclidien (un espace vectoriel de dimension finie muni d’un produit scalaire) en une base orthonormale (une base où tous les vecteurs sont deux à deux orthogonaux et ont une norme de 1).
Cette méthode te sera particulièrement utile lorsqu’il te sera demandé de déterminer une base orthonormale (ou orthogonale) d’un espace euclidien dont tu connais déjà une base. Ce procédé donne aussi constructivement l’existence d’une base orthonormale pour tout espace euclidien.
Le procédé de Gram-Schmidt en dimension n
Soient \( n \in \mathbb{N} \; | \; n \ge 2 \) et \( (e_1, e_2, …, e_n) \) une famille libre de vecteurs de l’espace euclidien \(E\). On note \( f_1, …, f_n \) les vecteurs de \(E\) construits de la façon suivante :
\( f_1 = \displaystyle \frac{e_1}{\|e_1\|} \; \text{et} \; \forall i \in [\![2,n]\!], f_k = \displaystyle\frac1{\|\displaystyle e_k – \sum_{i=1}^{k-1}\langle e_k,f_i\rangle f_i\|} \left ( e_k – \displaystyle \sum_{i=1}^{k-1}\langle e_k, f_i\rangle f_i \right) \)
Nous venons de construire une famille \( (f_1, …, f_n) \) orthonormale telle que : \( \text{vect}(e_1, …, e_n)=\text{vect}( f_1, …, f_n) \)
L’idée derrière l’utilisation du procédé d’orthonormalisation de Gram-Schmidt en dimension n est à connaître, car c’est ce que nous allons reproduire pour orthonormaliser une base d’un espace euclidien de petite dimension.
Comment utiliser le procédé d’orthonormalisation en petite dimension ?
Soit \( E \) un espace euclidien dont nous connaissons une base \( B=(e_1, e_2, e_3). \) Déterminons une base orthogonale de \(E\). Pour cela, nous allons appliquer la formule donnée ci-dessus pour construire trois vecteurs de \(E\) à partir de la base \(B\) qui seront deux à deux orthogonaux et qui auront tous pour norme 1.
Nous utiliserons la notation \( \tilde{f}_i \) qui caractérisera l’un des vecteurs intermédiaires au procédé d’orthonormalisation de Gram-Schmidt et la notation \( f_i \) qui caractérisera l’un des vecteurs de la base orthonormale que nous allons construire.
Première étape : \( \tilde{f_1} = e_1 \; \text{et} \; f_1 = \displaystyle \frac{\tilde{f}_1}{\| \tilde{f_1} \|} \)
Deuxième étape : \( \tilde{f_2} = e_2 – \langle e_2, f_1\rangle f_1 \; \text{et} \; f_2 = \displaystyle \frac{\tilde{f}_2}{\| \tilde{f_2} \|} \)
Troisième étape : \( \tilde{f_3} = e_3 – \langle e_3, f_1\rangle f_1 – \langle e_3,f_2\rangle f_2 \; \text{et} \; f_3 = \displaystyle \frac{\tilde{f}_3}{\| \tilde{f_3} \|} \)
Nous venons de construire une famille \( (f_1, f_2, f_3) \) qui est une base orthonormale de E.
Remarque : nous venons d’appliquer le procédé d’orthonormalisation de Gram-Schmidt à des vecteurs appartenant à un espace vectoriel, \(E\), de dimension 3. Si la dimension de \(E\) avait été supérieure à 3, nous aurions pu étendre cette méthode par itération avec \( \tilde{f_4} = e_4 – \langle e_4, f_1\rangle f_1 – \langle e_4,f_2\rangle f_2 – \langle e_4,f_3\rangle f_3 \)
Exemple d’utilisation du procédé d’orthonormalisation
Nous allons travailler dans \( \mathbb{R}^2 \) muni du produit scalaire \( \langle \; \cdot \; \rangle \) tel que \( \forall (x,y) \in (\mathbb{R}^2)^2 \) avec \( x=(x_1, x_2) \; \text{et} \; y = (y_1, y_2), \text{on a} \;\langle x,y \rangle = 3x_1y_1 + x_1y_2 + x_2y_1 + 2x_2y_2 \)
Cherchons une base \( (f_1, f_2) \) de \( \mathbb{R}^2 \) qui est orthonormale pour le produit scalaire \( \langle \; \cdot \; \rangle \) à partir de la base canonique de \( \mathbb{R}^2 \). Avant de commencer, nous pouvons noter que \( \forall x=(x_1, x_2) \in \mathbb{R}^2, \| x \| = \displaystyle \sqrt{(x_1+x_2)^2+(x_2)^2+2(x_1)^2} \)
\( \text{Première étape :} \; \tilde{f_1} = (1, 0) \; \text{et} \; f_1= \displaystyle \frac{\tilde{f}_1}{\| \tilde{f_1} \|} = \displaystyle \frac{1}{\sqrt3}(1,0)\)
\(
\begin{align}
\text{Deuxième étape :} \; \tilde{f_2} & = (0,1) – \langle (0,1), \displaystyle \frac{1}{\sqrt3}(1,0)\rangle \displaystyle \frac{1}{\sqrt3}(1,0)\\
& = (0,1) – \frac{1}{3} \langle (0,1), \displaystyle (1,0)\rangle(1,0) \\
& = (0,1) – \frac{1}{3} (1,0) \\
& = (-\frac{1}{3},1)
\end{align}
\)
Posons \( f_2 = \displaystyle \frac{\tilde{f}_2}{\| \tilde{f_2} \|} = \displaystyle \frac{(\displaystyle -\frac{1}{3},1)}{\sqrt{\displaystyle \frac{15}{9}}} = 3\displaystyle \frac{(\displaystyle – \frac{1}{3},1)}{\sqrt{15}} = \frac{1}{\sqrt{15}} (-1,3) \)
Ainsi, nous venons de construire une famille \( (f_1, f_2) \) qui est une base orthonormale de \( \mathbb{R}^2 \) pour le produit scalaire \( \langle \; \cdot \; \rangle \).
Erreurs courantes à éviter
L’importance de la rigueur dans la rédaction et les calculs ne peut être sous-estimée lorsqu’on aborde le procédé d’orthonormalisation de Gram-Schmidt. Dans cette section, nous mettrons en évidence les erreurs courantes à éviter pour une application réussie de cette méthode.
- Oublier de diviser les vecteurs \( \tilde{f}_i \) par leur norme. Si tu oublies cette étape cruciale, tu obtiendras une base orthogonale de \( E, (\tilde{f}_1, …, \tilde{f}_n), \) qui ne sera pas nécessairement orthonormale.
- Erreur dans les calculs de produit scalaire. Il vaut mieux prendre son temps et assurer un résultat correct que se précipiter et faire une erreur d’étourderie. En effet, une erreur de calcul lors de l’obtention du premier vecteur entraîne une erreur sur tous les autres vecteurs.
- Erreur dans le calcul de la norme. Assure-toi d’utiliser le bon produit scalaire, qui n’est pas toujours le produit scalaire canonique. De plus, n’oublie pas que \( \|x\| = \displaystyle\sqrt{\langle x,x\rangle} \) , une erreur courante est d’oublier la racine carrée.
Conclusion
Il est essentiel d’apprendre la formule du procédé d’orthonormalisation de Gram-Schmidt en dimension n. De plus, il est recommandé de réviser la notion de produit scalaire afin de bien comprendre son application dans ce contexte. Ces efforts d’apprentissage te permettront d’acquérir des compétences précieuses en algèbre bilinéaire qui seront décisives lors de tes écrits.
Pour maîtriser cette méthode, il est important de s’entraîner en étudiant attentivement l’exemple donné. En pratique, tu utiliseras principalement ce procédé en petite dimension, comme ce fut le cas sur les sujets suivants :
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