Ca y est, les maths c’est fini pour toi ! On espère que cette épreuve de maths approfondies EDHEC 2023 s’est bien passée et que tu sors satisfait de ta performance. Le sujet de maths approfondies EDHEC 2023 est disponible ici. Tu peux retrouver sur cette page notre analyse du sujet, afin de connaître les difficultés et la structure de l’épreuve !
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Cette analyse partielle n’engage que son auteur.
L’analyse du sujet Maths approfondies EDHEC 2023
Commentaires généraux
Le sujet de maths approfondies EDHEC 2023 n’a rien de surprenant, il est classique dans sa forme avec 3 exercices et un problème : un exercice d’algèbre, deux exercices de probabilité et le problème était un mélange d’algèbre linéaire et bilinéaire. Que des thèmes classiques, en général le 20/20 est atteignable en faisant 2 exercices (et en touchant à peine au 3e) + le problème ou alors en faisant les 3 exercices avec une petite partie du problème (sous réserve d’avoir bien rédigé toutes les questions).
Exercice 1 : étude des matrices de rang 1
- La question 1) se résout en remarquant d’abord que \(\text{rg}(M)=\text{rg}(f)\), puis en utilisant la formule (ou théorème) du rang sur \(f\). On trouve finalement que : \(\text{Ker}(f)=n-1\)
Et, comme \(\text{rg}(M)=1\ne n\), alors \(M\) est non inversible, donc \(0\) est valeur propre de \(M\). - La question 2)a) est sûrement la plus technique de l’exercice, bravo si tu l’as réussie et doublement bravo si tu l’as bien rédigée. Voilà une rédaction complète possible :
On pose \((C_j)_{1 \le j \le n}\) les matrices colonnes de \(M\) qui appartiennent à \(\mathcal{M}_{n,1}(\mathbb{R})\) avec \(C_1=C\). On a donc \(M=(C_j)_{1 \le j \le n}=(C, (C_j)_{2 \le j \le n})\).
Comme \(\text{rg}(M)=1\), et \(\text{rg}(M)=\dim(\text{Vect}((C_j)_{1 \le j \le n}))\), alors : \(\dim(\text{Vect}((C_j)_{1 \le j \le n}))=1\), d’où comme \(C\ne 0\), alors \(\text{Vect}((C_j)_{1 \le j \le n}))=\text{Vect}(C)\). On en déduit alors par définition du \(\text{Vect}\) :
\(\forall j \in [\![1,n]\!], \exists l_j \in \mathbb R, C_j=l_jC\), or, comme on sait que \(C_1=C\), on peut directement écrire que \(l_1=1\), donc :
\(C_1=C\) et \(\forall j \in [\![2,n]\!], \exists l_j \in \mathbb R, C_j=l_jC\), d’où en passant aux écritures matricielles :
\((C, (C_j)_{2 \le j \le n})=(1C,(l_jC)_{2 \le j \le n})\), et comme \(M=((C, (C_j)_{2 \le j \le n})\) :
\(M=(1C,(l_jC)_{2 \le j \le n})\), et en posant \(C=((c_i)_{1 \le i \le n})\)
\(M=(1c_1,(l_jc_i)_{\scriptstyle 2 \le i \le n \atop \scriptstyle 2 \le j \le n})\), d’où par définition du produit matriciel d’une matrice colonne par une matrice ligne, en posant \(L=(1,(l_j)_{2 \le j \le n})\), on peut écrire que :
\( \exists L \in \mathcal{M}_{1,n} (\mathbb{R}), M=CL\), avec \(L=(1,(l_j)_{2 \le j \le n})\) - La question 2)b) est simple si on connait bien les propriétés de la trace, tout se joue sur la commutativité de matrices à l’intérieur de la trace : \(\text{Tr}(CL)=\text{Tr}(LC)\)\begin{align}
\text{Tr}(M)&=\text{Tr}(CL)\\
&=\text{Tr}(LC) \\
&=LC
\end{align}En effet, comme \(L \in \mathcal{M}_{1,n}(\mathbb{R})\) et \(C \in \mathcal{M}_{n,1}(\mathbb{R})\), alors \(LC \in \mathcal{M}_{1,1}(\mathbb{R})\), et cette matrice peut donc être associée à un réel, donc \(LC \in \mathbb R\), et comme la trace d’un réel est lui-même, on obtient le résultat. - La question 2)b) est du pur calcul en jouant avec la propriété d’associativité des matrices :
\begin{align}
M^2&=M\times M\\
&=(LC)(LC) \\
&=L(CL)C \\
&=L\text{Tr}(M)C \\
&=\text{Tr}(M)LC \\
&=\text{Tr}(M)M
\end{align} - La question 3) est quasi immédiate si on repère la définition d’une valeur propre associée avec son vecteur propre à la relation de la 2)b) : comme \(M\ne 0\) (car \(\text{rg}(M)=1\)), alors \(\text{Tr}(M)\) est valeur propre de \(M\) associée au vecteur propre \(M\)
- La question 4) peut se rédiger à l’aide d’un raisonnement par l’absurde :
Supposons que \(M\) est diagonalisable.
d’après les questions 1) et 3), comme \(\text{Tr}(M)=0\), on en déduit que 0 est l’unique valeur propre de \(M\), d’où comme \(M\) est diagonalisable, par définition, il existe une matrice \(P\) inversible et \(D\) diagonale telles que : \(M=PDP^{-1}\).
Or comme 0 est l’unique valeur propre de \(M\), on peut écrire : \(M=0I=0\), donc :
\(M=M=P0P^{-1}=0\), or \(M\) n’est pas la matrice nulle, donc absurde : \(M\) n’est pas diagonalisable. - La question 5) est une petite question de synthèse de la partie 1. Comme \(\text{Tr}(M) \ne 0\), alors \(M\) possède deux valeurs propres distinctes (on se rappelle que ce sont toutes les deux des valeurs propres grâce aux questions 1) et 3)), avec \(\dim(E_0)(f)=\dim(\text{Ker}(f))=n-1\) et \(\dim(E_{\text{Tr}(M)})(f)=1\), donc \(\dim(E_0)(f)+\dim(E_{\text{Tr}(M)})=n\), ainsi \(f\) est diagonalisable
- La partie 2 concerne l’étude d’un exemple d’une matrice qui sera de rang 1 (c’est ce qu’on montre à la dernière question.). On commence avec la question 6)a), assez calculatoire. Pour mettre en place le raisonnement par l’absurde, on suppose que \(ac \ne b\).
On résout alors le système \(AX=0\). Après plusieurs calculs, on tombe sur ce système :\begin{cases}
x=x+\frac{z}{ac}-\frac{1}{b}z \\
y=-ax+y+\frac{b}{c}x \\
z=\frac{b}{a}y-cy+z
\end{cases}Ce qui conduit à :\begin{cases}
ax=\frac{b}{c}x \\
cy=\frac{b}{a}y \\
\frac{1}{ac}z=\frac{1}{b}z
\end{cases}d’où :
\[
\begin{cases}
acx=bx \\
acy=by \\
acz=bz
\end{cases}
\Leftrightarrow
\begin{cases}
(ac-b)x=0 \\
(ac-b)y=0 \\
(ac-b)z=0
\end{cases}
\]
Enfin, comme \(ac-b\ne 0\) par hypothèse, on en conclut que \(X=0\)On vient donc de montrer que \(AX=0 \Rightarrow X=0\), donc le système \(AX=0\) est de Cramer, donc la matrice \(A\) est inversible, or elle ne l’est pas d’après l’énoncé donc absurde.Ainsi, \(ac=b\) - Pour la question 6)b), on calcule classiquement le rang de \(A\) en effectuant un pivot de Gauss sur les colonnes de la matrice et à l’aide des opérations élémentaires : \(C_2 \leftarrow C_2-\frac{1}{a}C_1\) et \(C_3 \leftarrow C_3-\frac{1}{a}C_1\), on trouve que :
\(\text{rg}(A)=
\text{rg}\left(\begin{pmatrix}
1 & 0 & 0 \\
a & 0 & 0 \\
b & 0 & 0
\end{pmatrix} \right)\)
et donc, comme la première colonne est non nulle et les deux suivantes sont nulles, alors \(\text{rg}(A)=1\). - La question 7)a) nous pousse à utiliser la partie 1 pour voir si on a bien compris ce qu’on faisait dans le cadre de cet application.
Comme \(\text{rg}(A)=1\), on peut en effet appliquer les résultats de la partie 1.
Comme \(\text{Tr}(A)=3 \ne 0\), d’après la question 5), \(g\) est diagonalisable, et ses valeurs propres valent \(\text{Tr}(A)=3\) (question 3)) et 0 (question 1)). - La question 7)b) se fait très bien par récurrence en utilisation la relation \(M^2=\text{Tr}(M)M\) de la question 2)c).
Initialisation :
Pour \(n=1\),
On a \(M^2=\text{Tr}(M)M\), comme \(\text{Tr}(M) \in \mathbb R\), en posant \(\lambda = \text{Tr}(M)\), on peut écrire que : \(\exists \lambda \in \mathbb R, M^2=\lambda M\), d’où par définition du \(\text{Vect}\) :
\(M^2 \in \text{Vect}(M)\)
Hérédité :
Soit \(n \in \mathbb N^*\). Supposons que \(M^n \in \text{Vect}(M)\)
Par hypothèse de récurrence, on a :
\(M^n \in \text{Vect}(M)\), d’où, par définition du \(\text{Vect}\) :
\(\exists \lambda \in \mathbb R, M^{n}=\lambda M\)
d’où en multipliant par \(M\) :
\(M^{n+1}=\lambda M^2\), or \(M^2=\text{Tr}(M)M\), donc :
\(M^{n+1}=\text{Tr}(M)\lambda M\), en posant \(\mu = \text{Tr}(M)\lambda\), on peut écrire que :
\(\exists \mu \in \mathbb R, M^{n+1}=\mu M\)
Ainsi :
\(M^{n+1} \in \text{Vect}(M)\)
Conclusion :
Ainsi, par principe de récurrence :
\(\forall n \in \mathbb N^*, M^n \in \text{Vect}(M)\)
Exercice 2 : étude de la loi de Pareto
- La question 1) est une application directe du cours, \(f\) est bien définie et positive sur \(\mathbb R\), elle est continue sur \(\mathbb R\) sauf éventuellement en 1, et les calculs de la l’intégrale \(\int_{-\infty}^{+\infty}f(t)dt\) montrent bien qu’elle vaut 1, la seule difficulté potentielle était de remarquer qu’une primitive de la fonction \(\displaystyle x \mapsto \frac{1}{x^{c+1}}\) est la fonction \(\displaystyle x \mapsto -\frac{1}{cx^{c}}\)
- Pour la question 2) après avoir correctement justifié l’existence de l’espérance et de la variable (convergence absolue des intégrales en question), on trouve : \(\displaystyle E(X)=\frac{c}{1-c}\) et \(\displaystyle V(X)=\frac{c(2(c-1)^2-1)}{(2-c)(1-c)^2}\)
- Pour la question 3) la difficulté résidait de le fait de faire bien attention de distinguer les deux cas à cause de l’expression de \(f\). On trouve après calculs :
\[
\forall x \in \mathbb R, F(x)=
\begin{cases}
0 & \text{si} \; x < 1 \\
1-x^{-c} & \text{si} \; x \ge 1
\end{cases}
\] - Pour la question 4)a), de même il fallait faire preuve de rigueur et remarquer qu’il y avait deux cas à faire : cela vient du fait que la fonction \(ln\) est définie sur \(\mathbb R^*_+\) et non sur \(\mathbb R^-\), donc on comprend que : \(\forall x \in \mathbb R^-, G(x)=P(Y \le x)=P(ln(X) \le x)=P(\emptyset)=0\).
Après calculs, on trouve :
\[
\forall x \in \mathbb R, G(x)=
\begin{cases}
0 & \text{si} \; x < 0 \\
F(e^x) & \text{si} \; x \ge 0
\end{cases}
\] - La question 4)b) fait combiner les deux dernières questions, et on trouve :\[
\forall x \in \mathbb R, G(x)=
\begin{cases}
0 & \text{si} \; x < 0 \\
1-e^{-x} & \text{si} \; x \ge 0
\end{cases}
\]
Ainsi, \(X \hookrightarrow \mathcal{E}(1)\) - La question 6) est purement calculatoire et l’astuce vient du fait que \(X_1\) et \(X_2\) sont indépendantes, donc on peut écrire que : \(E((X_1)(X_2))=E(X_1)E(X_2)\)
- Pour la question 7)a), en passant par les fonctions de répartition, on se rend très facilement compte que : \(cX_1 \hookrightarrow \mathcal{E}(1)\) et \(cX_2 \hookrightarrow \mathcal{E}(1)\)
- Pour la question 7)b), les variables \(X_1\) et \(X_2\) étant indépendantes, d’après le lemme des coalitions, les variables \(cY_1\) et \(cY_2\) sont indépendantes (justification à ne pas oublier !!!). Donc par somme de variables aléatoires indépendantes suivant la loi exponentielles de paramètre 1, on en conclut que : \(cY_1 + cY_2 \hookrightarrow \gamma(2)\)
- Pour la question 8)a), il suffit de remarquer que : \(\forall x \in \mathbb R, H(x)=K(cx)\), puis de dériver pour obtenir le résultat (en distinguant bien les cas des deux intervalles)
- Pour la question 8)b)
Sur \(\mathbb R^*_+\), il suffit de composer à l’intérieur de la probabilité par \(\ln\) pour que \(\ln(X_1X_2)=\ln(X_1)+\ln(X_2)\), et donc : \(\forall x \in \mathbb R^*_+, F_z(x)=H(\ln(x))\), et montrer l’égalité (nulle) sur \(\mathbb R_-\). - La question 9)a) est une simple intégration par parties, attention à partialiser l’intégrale puis faire un passage à la limite pour bien la rédiger. On trouve :
\(\displaystyle \int_1^{+\infty}\frac{\ln(x)}{x^{\alpha}}dx=\frac{1}{(\alpha-1)^2}\) - La question 9)b) n’est que du simple calcul.
Exercice 3 : étude probabiliste d’une pièce donnant pile ou face
- Pour la question 1)a), il faut d’abord exprimer X en fonction de \(F_k\) et \(P_i\), ce qui donne :
\(\forall i \in \mathbb N, \displaystyle [X=i]= \bigcap_{k=0}^{i-1}F_k \cap P_i\)
On utilise ensuite l’indépendance des événements \((F_k)\) et \((P_i)\) (ce qui est totalement le cas comme il s’agit d’un simple lancer de pièce) pour transformer les intersections en produits, et on trouve finalement :
\(\forall i \in \mathbb N, \displaystyle P(X=i)=p(1-p)^i\) - Pour la question 1)b) une astuce très rapide consiste à se rendre compte que \(X+1 \hookrightarrow
\mathcal{G}(p)\), et donc on conclut par linéarité de l’espérance que :
\(\displaystyle E(X)=\frac{q}{p}\) et \(\displaystyle V(X)=\frac{q^2}{p^2}\) - Pour la question 2)a), après avoir compris que, lorsque \(Q=k\), \(X\) peut prendre 3 valeurs possibles : soit un multiple de \(3\), soit un multiple de \(3+1\), soit un multiple de \(3+2\), on en conclut que :
\(\forall k \in \mathbb N, [X=k]=[X=3k]\cup [X=3k+1]\cup [X=3k+2] \) - Pour la question 2)b), il faut passer aux probabilités et remarquer que les unions sont disjointes pour utiliser la sigma-additivité. Après calculs, on trouve bien le résultat demandé.
- La question 3) fait utiliser la formule des probabilités totales :
\(P(R=0)=P(X=3Q)\), d’où comme \(([Q=k])_{k \in \mathbb N}\) forme un système complet d’événements, d’après la formule des probabilités totales :
\(\displaystyle P(R=0)=\sum_{k=0}^{+\infty}P([X=3k]\cap [Q=k])\)
\(\displaystyle P(R=0)=\sum_{k=0}^{+\infty}P([X=3k]\cap ([X=3k]\cup [X=3k+1]\cup [X=3k+2]))\)
\(\displaystyle P(R=0)=\sum_{k=0}^{+\infty}P(([X=3k]\cap ([X=3k])\cup ([X=3k]\cap [X=3k+1])\cup ([X=3k]\cap [X=3k+2])))\)
D’où en enlevant les événements impossibles / disjoints :
\(\displaystyle P(R=0)=\sum_{k=0}^{+\infty}P([X=3k])\)
Puis après calculs, on trouve le résultat demandé. Il s’agit d’un raisonnement totalement analogue pour \(P(R=1)\) et \(P(R=2)\)
- La question 3) fait utiliser la formule des probabilités totales :
- Voici une piste de réflexion pour la question 4) : essayer d’exprimer \(R\) en fonction de \(X\). Pour cela, il fallait remarquer que, lorsque \(R=0\), X prendra une valeur qui est forcément multiple de 3, donc : \(\displaystyle [R=0]=\bigcup_{k \in \mathbb N}[X=3k]\)
et de façon analogue :
\(\displaystyle [R=1]=\bigcup_{k \in \mathbb N}[X=3k+1]\)
\(\displaystyle [R=2]=\bigcup_{k \in \mathbb N}[X=3k+2]\)
Problème
- La question 1) se fait très facilement en évaluant \(h\) en \(k+n\), et en utilisant ensuite le fait que \(\cos\) est \(\pi\) périodique.
- Pour la question 2), pas de surprise, il faut montrer classiquement les 3 points d’un sous-espace vectoriel.
- La question 3) utilise le fait que \(f\) est \(n\)-périodique (question 1) tout simplement.
- Pour la question 4)b), on remarque que \(f\) est définie sur \(\mathbb Z\), ce qui nous permet d’écrire :
\(\displaystyle f=\sum_{i=0}^{n-1}f(i)e_i\), donc par définition d’une famille génératrice, la famille \(B_n\) est génératrice.
On montre de plus bien que les éléments de \(B_n\) sont éléments de \(F_n\)
De plus,
\(
\begin{align}
\forall (\lambda_i)_{0 \le i \le n-1} \in \mathbb N^n, \displaystyle \sum_{i=0}^{n-1}\lambda_ie_i=0 &\Rightarrow \forall k \in \mathbb Z, \displaystyle \sum_{i=0}^{n-1}\lambda_ie_i(k)=0 \\
&\Rightarrow \forall k \in \mathbb Z, \displaystyle \lambda_ke_k(k)=0 \\
&\Rightarrow \forall k \in \mathbb Z, \displaystyle \lambda_k=0 \; \text{ou} \; e_k(k)=0 \; \text{(impossible)} \\
&\Rightarrow \forall k \in \mathbb Z, \displaystyle \lambda_k=0 \\
&\Rightarrow \forall k \in [\![0,n-1]\!], \displaystyle \lambda_k=0
\end{align}
\)
Donc, la famille \(B_n\) est libre
Ainsi, la famille \(B_n\) forme une base de \(F_n\). - La question 4)c) est une question pour voir si on a compris son cours… Les coordonnées d’un élément quelconque \(f\) de \(F_n\) dans la base \(B_n\) sont les \((f(i))_{0 \le i \le n-1}\)
- Rien de plus classique que la question 5)a) où il suffit de vérifier les 5 points : forme bilinéaire symétrique définie positive pour montrer que c’est un produit scalaire.
- Pour la question 5)b), on montre à l’aide de la définition des \((e_i)_{0 \le i \le n-1}\) que :
\(\forall (i,j) \in [\![0,n-1]\!]^2, i \ne j \Rightarrow \langle e_i, e_j \rangle=0\) et
\(\forall i \in [\![0,n-1]\!], \langle e_i, e_i \rangle=1\) - Pour la question 5)c), somme la relation admise pour \(k=0\) à \(n-1\), avant de se rendre compte que les termes s’annulent 2 à 2 dans le membre de droite, puis on divise par \(\displaystyle 2\sin(\frac{b}{2}) \ne 0\)
- Pour la question 5)d), il suffit de poser
-Pour la première somme : \(a=0\) et \(b=\frac{4 \pi}{n}\)
-Pour la deuxième somme : \(a=\frac{2 \pi}{n}\) et \(b=\frac{4 \pi}{n}\) - Pour la question 5)e), il faut utiliser la formule \(\cos(a)\cos(b)=\frac{1}{2}(\cos(a+b)+\cos(a-b))\), puis simplifier à l’aide de la question 5)d).
- Une simple utilisation des formules de trigonométrie après simplification fait l’affaire pour la 6)a).
- La question 6)b) n’a rien de compliqué, montrer qu’elle va d’abord bien de \(F_n\) dans \(F_n\) puis montrer la linéarité.
- Pour la question 6)c), on remplace \(f\) par \(h\) puis on utilise les formules de trigonométrie et on simplifie.
- Pour la 6)e), on somme la relation 6)c) et on simplifie à l’aide de l’indication.
- La question 7) est du calcul de produit scalaire…
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