Nous allons nous intéresser aux équivalents et aux développements limités. Ce sont deux notions qui peuvent poser problème du fait de leur complexité et de la longueur des formules à apprendre. Ces concepts se révèlent des outils précieux pour simplifier des calculs complexes et analyser en profondeur le comportement des fonctions au voisinage de certains points et en \( \pm \infty\). Dans cet article, nous te guiderons à travers neuf astuces méthodiques, conçues pour t’aider à maîtriser ces notions avec précision.
Lien entre équivalent et développement limité
Bien que les notions d’équivalent et de développement limité soient introduites séparément dans le programme, elles sont intimement liées et il peut être utile de savoir passer de l’une à l’autre. Commençons par rappeler la définition d’un équivalent et d’un développement limité :
- Deux fonctions \(f\) et \(g\) sont équivalentes au voisinage de \(a\) si et seulement si \( \lim \limits_{x \to a} \displaystyle \frac{f(x)}{g(x)}=1 \)
- Soient \(f\) une fonction définie sur un intervalle \(I\) de \( \mathbb{R}\) à valeurs dans \( \mathbb{R} \) et \(x_0\) un point de \(I\). Alors \(f\) admet un développement limité à l’ordre \(n\) en \(x_0\) s’il existe \((a_0, …, a_n) \in \mathbb{R}^{n+1}\) et \(\varepsilon\) une fonction qui tend vers 0 lorsque \(x\) tend vers \(x_0\) tels que : \(f(x) = \displaystyle \sum_{k=0}^na_k(x-x_0)^k + (x-x_0)^n\varepsilon(x)\)
Nous pouvons établir l’équivalence : \(\fbox{\( f(x) \underset{x \to a}{\sim} g(x)\Leftrightarrow f(x) \underset{x \to a}{=}g(x) + o(g(x)) \)}\)
Exemple
D’après le cours \( \sin(x) \underset{x \to 0}{=}x + o(x). \) Nous pouvons donc en déduire que \( \sin(x) \underset{x \to 0}{\sim} x \), c’est-à-dire \( \lim \limits_{x \to 0} \displaystyle \frac{\sin(x)}{x} = 1 \) (une limite intéressante et complexe à démontrer sans utiliser les développements limités).
Propriétés utiles de l’équivalence
La relation d’équivalence est transitive, c’est-à-dire \( ( u_n \underset{n \to \infty}{\sim} v_n \; \text{et} \; v_n \underset{n \to \infty}{\sim} w_n) \Rightarrow u_n \underset{n \to \infty}{\sim} w_n \)
Soit \( \ell \in \mathbb{R}^* \), alors \( f(x) \underset{x \to a}{\sim} \ell \Leftrightarrow \lim \limits_{x \to a}f(x) = \ell.\) En effet, si tu connais la limite (finie et non nulle) d’une fonction ou d’une suite, alors tu n’as pas besoin de chercher plus loin car cette fonction ou cette suite est équivalente à ce réel.
Réciproquement, si ta fonction (resp. ta suite) est équivalente à un réel non nul au voisinage de \(a \) (resp. \( + \infty\)), alors tu peux affirmer que cette dernière tend vers ce réel au voisinage de \(a\) (resp. \( + \infty\)).
Simplifier les calculs lors de développements limités
Lorsque tu calcules un développement limité à partir d’un produit de développements limités, tu peux gagner en efficacité en ne calculant pas tous les termes du produit.
Si le produit de deux termes est de degré supérieur à l’ordre de ton développement limité, il n’est pas nécessaire de le calculer.
Exemple
Soient \(f\) et \(g\), deux fonctions telles que :
\( f(x) \underset{x \to 0}{=}1 + 2x^2 + \sqrt{2}x^3 +x^5 +o(x^5) \; \text{et} \; g(x) \; \underset{x \to 0}{=} 4x^2 + \pi x^3 +x^4 +o(x^5). \)
Calculons le développement limité à l’ordre 5 en 0 de \(f \times g\). Autrement dit, calculons \( (1 + 2x^2 + \sqrt{2}x^3 +x^5 +o(x^5))(4x^2 + \pi x^3 +x^4 +o(x^5)). \)
Lorsque nous distribuons les termes de notre produit, il n’est pas utile de calculer : \(2x^2 \times x^4, \sqrt{2}x^3 \times \pi x^3, \sqrt{2}x^3 \times x^4, x^5 \times 4x^2, x^5 \times \pi x^3, x^5 \times x^4\), car ce sont respectivement des monômes de degrés 6, 6, 7, 7, 8 et 9 qui sont strictement supérieurs à l’ordre demandé du développement limité : 5.
Développement limité d’une fonction paire et impaire
La parité d’une fonction peut jouer un rôle crucial lorsque l’on détermine un développement limité. En effet, si \(f\) est paire (resp. impaire) et que son développement limité en 0 est donné par \(f(x) = \displaystyle \sum_{k=0}^na_kx^k + x^n\varepsilon(x)\), alors \( \forall i \in [\![1,n]\!] \; | \; i \) est impaire (resp. paire), alors \(a_i=0.\)
Concrètement, lorsque tu détermines le développement limité d’une fonction paire avec la formule de Taylor-Young, tu n’as pas besoin de calculer les coefficients impairs, car ces derniers sont nécessairement nuls.
Exemple
En utilisant la parité de \( \cos \) et \( \sin \), nous pouvons gagner en précision par rapport à leur développement limité que tu as vu en cours. En effet :
\( \cos(x) \underset{x \to 0}{=} \displaystyle 1 – \frac{x^2}{2!} + \frac{x^4}{4!} – \frac{x^6}{6!} + \ldots + (-1)^n \frac{x^{2n}}{(2n)!} + o(x^{2n}) \underset{x \to 0}{=}1 – \frac{x^2}{2!} + \frac{x^4}{4!} – \frac{x^6}{6!} + \ldots + (-1)^n \frac{x^{2n}}{(2n)!} + o(x^{2n+1}) \)
\( \sin(x) \underset{x \to 0}{=} \displaystyle x – \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} – \frac{x^7}{7!} + \ldots + (-1)^n \frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!} + o(x^{2n+1}) \underset{x \to 0}{=} x – \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} – \frac{x^7}{7!} + \ldots + (-1)^n \frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!} + o(x^{2n+2}) \)
Obtenir un développement limité par intégration
Il n’est pas possible de dériver un développement limité, mais tu peux en intégrer un. Autrement dit, tu peux obtenir le développement limité d’une fonction en intégrant le développement limité de sa dérivée.
Exemple
Calculons le développement limité à l’ordre 3 en 0 de \(\tan\) en utilisant cette méthode et en sachant que \( \tan(x) = \displaystyle \frac{\sin(x)}{\cos(x)}\underset{x \to 0}{=}\frac{x+o(x)}{1+o(x)}\underset{x \to 0}{=}x+o(x)\)
Nous savons que \( \tan^{\prime}=1+\tan^2,\) donc \( \tan^{\prime}(x) \underset{x \to 0}{=}1+(x+o(x))^2\underset{x \to 0}{=}1+x^2+o(x^2) \)
En intégrant, on trouve le développement limité de \(\tan\) en 0 à l’ordre 3, c’est-à-dire \( \tan(x) \underset{x \to 0}{=}x+\displaystyle \frac{x^3}{3}+o(x^3) \)
Obtenir un développement limité de la réciproque d’une fonction
Il existe une astuce pour calculer le développement limité en 0 de la réciproque d’une fonction bijective. Cette méthode difficile te sera principalement utile pour les épreuves parisiennes. Pour cela, il faut :
- Calculer le développement limité de \(f(x)\) en 0 : \( f(x) \underset{x \to 0}{=} b_0 + b_1x + b_2x^2 + \ldots + b_nx^n + o(x^n) \)
- Écrire le développement limité de \( f^{-1}(x)\) en 0 : \( f^{-1}(x) \underset{x \to 0}{=} c_0 + c_1x+ c_2x^2 + \ldots + c_na^n + o(x^n)\)
- Utiliser l’unicité des développements limités pour identifier les coefficients avec le fait que, d’une part, \(f(f^{-1}(x))=x\) et que, d’autre part, \( f(f^{-1}(x))\underset{x \to 0}{=}f(c_0 + c_1x+ c_2x^2 + \ldots + c_na^n + o(x^n)) \)
- Réécrire le développement limité de \(f^{−1}(x)\) autour de 0 avec les coefficients que nous venons d’obtenir
Se ramener aux formules usuelles de développements limités
Il est fréquent de devoir calculer un développement limité qui en apparence semble similaire à une formule usuelle, mais qui est cependant différent.
Dans la plupart des cas, il suffit de diviser l’expression par un certain facteur pour se ramener à une formule que nous connaissons.
Exemple
Calculons le développement limité à l’ordre 2 en 0 de \( \displaystyle \frac{1}{\pi + x} \) et de \( \ln(2+x). \)
\( \text{Premièrement :} \displaystyle \frac{1}{\pi+x} \underset{x\to0}=\frac{1}{\pi} \frac{1}{1+\displaystyle \frac{x}{\pi}}\underset{x\to0}=\frac{1}{\pi} \left( 1-\frac{x}{\pi}+\frac{x^2}{\pi^2} +o(x^2)\right)\underset{x\to0}=\frac1\pi-\frac{x}{\pi^2}+\frac{x^2}{\pi^3} +o(x^2) \)
\( \text{Deuxièmement :} \displaystyle \ln(2+x) \underset{x\to0}=\ln(2(1+\frac{x}2))\underset{x\to0}=\ln(2)+\ln(1+\frac{x}2) = \ln(2) + \frac{x}2 -\frac{x^2}8 + o(x^2) \)
Apprendre moins de formules
L’un des problèmes majeurs que peuvent rencontrer les élèves lors de l’utilisation de développements limités est la difficulté de se souvenir de toutes les formules. Cependant, il existe des astuces pour réduire le nombre de formules à apprendre, tout en restant efficace.
Il n’est pas utile d’apprendre les développements limités en 0 de \( \displaystyle \frac{1}{1+x}, \frac{1}{1-x}, \sqrt{1+x}. \) En effet, tu peux remarquer que \( \displaystyle \frac{1}{1+x}=(1+x)^{-1}, \frac{1}{1-x}=(1+(-x))^{-1}, \sqrt{1+x} = (1+x)^{\frac{1}{2}}. \)
Ainsi, il te suffit d’apprendre que \( (1+x)^\alpha \underset{x \to 0}{=} \displaystyle 1 + \alpha x + \frac{\alpha(\alpha-1)}{2!}x^2 + \frac{\alpha(\alpha-1)(\alpha-2)}{3!}x^3 + \ldots + \frac{\alpha(\alpha-1)\ldots(\alpha-n+1)}{n!}x^n + o(x^n) \)
Utiliser la formule de Taylor-Young
Ton formulaire de développements limités ne sort pas de nulle part. En effet, toutes ces formules proviennent de la formule de Taylor-Young : \(f(x)=\displaystyle \sum_{k=0}^{n} \frac{(x-a)^k}{k!} f^{(k)}(a)+(x-a)^n \epsilon(x), \;\text{avec} \;\lim \limits_{x \to a} \epsilon(x)=0\)
Ainsi, tu peux retrouver tous les développements limités de ton formulaire avec cette formule. De plus, certains développements limités qui ne figurent pas dans ton formulaire nécessiteront l’utilisation de cette formule.
Exemple
Déterminons le développement limité de \(\arctan\) en 0 à l’ordre 1.
Premièrement : \( \arctan(0)=0\)
Deuxièmement : \( \arctan^{\prime}(x)= \displaystyle \frac{1}{1+x^2} \; \text{d’où} \; \arctan^{\prime}(0)=1 \)
Ainsi : \( \arctan(x)\underset{x\to0}=x+o(x) \)
Conclusion
En résumé, les équivalents et les développements limités sont deux notions intimement liées et essentielles en analyse. Pour maîtriser ce thème, il est important de connaître ces astuces et de s’entraîner à calculer des développements limités et de manipuler des équivalents.
Tu peux ainsi t’entraîner sur des sujets de concours (mathématiques approfondies) qui abordent les équivalents et les développements limités :
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