Tu as des doutes sur un résultat qui ne serait plus au programme de 2021 en maths, ou alors au contraire, sur un théorème qui aurait été ajouté ? Cet article est fait pour toi ! Il traite tous les changements de programme de maths approfondies par rapport aux anciennes maths ECS. Toutes les infos sur le nouveau programme de maths approfondies se trouvent ici.
J’ai spécialement joué au jeu des sept différences sur les programmes de 2013 et 2021 pour t’aider à être certain.e des résultats que tu utiliseras au concours. En effet, il arrive parfois que certains professeurs aient des doutes ou même que certains cours n’aient pas été mis à jour. Pas de panique, tu trouveras solution à tous tes problèmes ici.
Si tu n’as toujours pas confiance, tu peux toujours aller voir par toi-même le programme de maths ECS de 2013 (première année ou deuxième année) ou le nouveau programme de maths approfondies de 2021 (première année ou deuxième année).
Analyse du nouveau programme de maths approfondies ECG
Le nouveau programme est globalement plus précis que le précédent. Il clarifie certains points qui étaient ambigus pour les professeurs de mathématiques et donne une importance encore plus forte à l’informatique. Il modifie l’ordre de certains chapitres par rapport au précédent programme. Étude des couples de variables aléatoires dès la première année, la notion de variable aléatoire à densité n’est abordée qu’en deuxième année afin d’alléger le programme de première année…
Mais ce qui reste le plus flagrant dans ce changement reste la suppression du chapitre sur les nombres complexes. Elle enlève de fait beaucoup d’exercices qui ne sont désormais plus faisables. Il faudra faire attention et être vigilant en faisant des annales.
Enfin, l’esprit du nouveau programme supprime des notions qui n’étaient quasiment plus utilisées dans l’ancien, comme le chapitre sur le dénombrement. Il arrêtera désormais de faire peur à tous les préparationnaires.
Chapitre « préliminaire » (raisonnements et vocabulaire ensembliste)
Ajout(s)
( = ) Aucun ajout
Suppression(s)
( – ) Formule donnant \( \displaystyle \sum_{k=1}^nk^2\) et \( \displaystyle \sum_{k=1}^nk^3\) (non exigibles)
( – ) Espace vectoriel \(\mathbb{K}\) ( \(\mathbb{K} = \mathbb{R}\) ou \(\mathbb{C}\)), seul l’espace vectoriel \(\mathbb{R}\) reste au programme
( – ) Suppression du chapitre sur les nombres complexes
Tous les résultats concernant ce chapitre ne font plus partie du programme de 2021.
Polynômes
Ajout(s)
( + ) Formule de Taylor pour un polynôme
Suppression(s)
( – ) Ensemble \( \mathbb{C} \) et tout ce qui va avec
( – ) Théorème de d’Alembert-Gauss
( – ) Factorisation dans \( \mathbb{C}[X] \)
Modification(s)
( +/- ) Suppression de l’écriture du polynôme des grands “\( X \)”. Remplacement par l’écriture des petits “\( x \)”
Algèbre linéaire
Ajout(s)
( + ) Inversibilité d’une matrice diagonale
( + ) Inversibilité d’une matrice triangulaire
Suppression(s)
( – ) Ensemble \( GL_n(\mathbb{R})\)
( – ) Disparition de l’appellation du « système de Cramer », mais la notion, elle, reste au programme (tout système admettant une unique solution)
( – ) Automorphisme
( – ) Ensemble \( GL(E)\)
( – ) Sous-espace stable par un endomorphisme
Suites de nombres réels
Ajout(s)
( + ) Théorème des suites extraites : si les deux suites \((u_{2n})\) et \((u_{2n+1})\) sont convergentes vers une même limite \(\ell\), la suite \((u_n)\) converge vers \(\ell\)
Suppression(s)
( – ) Équation caractéristique complexe des suites récurrentes linéaires d’ordre 2
Fonctions réelles d’une variable réelle
Ajout(s)
( + ) Théorème du prolongement de la dérivée
- Soient \( a \in \mathbb{R} \), \( \ell \in \mathbb{R} \)
Si \(f\) est de classe \(C^1\) sur \( I\backslash \{ a \} \), continue en \(a\), et si \(\lim \limits_{x \to a}\)\(f'(x)= \ell \), alors \(f\) est de classe \(C^1\) sur \(I\) et \(f'(a)= \ell\)
( + ) Condition suffisante de minimum global en un point critique d’une fonction convexe définie sur un intervalle ouvert
( + ) Étude des positions relatives d’une courbe par rapport à une asymptote (éventuellement oblique)
Suppression(s)
( – ) Fonction continue par morceaux
Modification(s)
( = ) Aucune modification : contrairement à quelques idées reçues, la trigonométrie reste bel et bien au programme de maths approfondies.
Intégration sur un segment
( = ) Aucun changement
Probabilités sur un ensemble fini
Ajout(s)
( = ) Aucun ajout
Suppression(s)
( – ) Tribu (la notation \(\mathcal{A}\) reste utilisée pour les espaces probabilisés, mais le terme ne doit plus être employé)
( – ) Suppression du chapitre sur le dénombrement
Mais…
( = ) La notion de nombre de parties à \(p\) éléments d’un ensemble à \(n\) éléments reste au programme
Séries
Ajout(s)
( + ) Théorèmes de comparaison des séries à termes négatifs (sauf pour le critère de négligeabilité)
Suppression(s)
( = ) Aucune suppression
Intégrales impropres
Ajout(s)
( + ) Théorèmes de comparaison des intégrales de fonctions négatives (sauf pour le critère de négligeabilité)
( + ) Ajout d’une précision importante : l’intégration par parties sera pratiquée pour des intégrales sur un segment, « on effectuera ensuite un passage à la limite » => Le programme officiel clarifie un point qui pouvait faire débat. Il est strictement interdit de faire des intégrations par parties sur des intégrales impropres, même pour aller plus vite, pour gagner du tout, même si le candidat se trouve à la fin de copie
Suppression(s)
( = ) Aucune suppression
Formule de Taylor/développements limités
Ajout(s)
( + ) Allure locale du graphe d’une fonction admettant un développement limité du type :
\(f(x) = a_0 +a_1x+a_kx^k +x^k\epsilon (x)\) avec \(k \ge 2\) et \(a_k \ne 0 \)
- La forme du graphe au voisinage d’un point dépend principalement du premier terme non linéaire du développement limité. Exemples avec \(k=2\) et \(k=3\)
Suppression(s)
( = ) Aucune suppression
Modification(s)
( +/- ) Modification de l’hypothèse des formules de Taylor : les formules à l’ordre \(n\) pour (\(n \in \mathbb{N}\)) ne nécessiteront plus que la fonction soit de classe \(C^{n+1}\), désormais elle sera de classe \(C^{\infty}\)
Réduction des matrices carrées et des endomorphismes
( = ) Aucun changement
Algèbre bilinéaire
Modification(s)
( +/- ) La méthode du procédé d’orthonormalisation de Schmidt reste au programme, mais elle n’est plus exigible
Ajout(s)
( = ) Aucun ajout
Suppression(s)
( – ) Lorsque \(p_F\) est une projection orthogonale sur un sous-espace vectoriel F
- Si \(\mathcal{B}\) est une base orthonormée de \(E\) et si \((U_i)_{1 \le i \le k}\) sont les vecteurs colonnes associés aux vecteurs \((u_i)_{1 \le i \le k}\) dans la base \(\mathcal{B}\), alors :
\( \text{Mat}_{ \mathcal B }(p_F) = \displaystyle \sum_{i=1}^k U_i {}^tU_i \)
( – ) Lorsque A est une matrice symétrique réelle de \(\mathcal{M}_n(\mathbb{R})\)
- Si \((X_i)_{1 \le i \le n}\) sont les colonnes de \(P\) (\(P\) étant une matrice orthogonale telle que \(D=P^{-1}AP={}^tPAP\) avec\(D\) une matrice diagonale), alors \((X_i)_{1 \le i \le n}\) est une base orthonormée de \(\mathcal{M}_{n,1}(\mathbb{R})\), formée de vecteurs propres de \(A\) associés aux valeurs propres \((\lambda_i)_{1 \le i \le n}\). On a :
\( A= \displaystyle \sum_{i=1}^n \lambda_i X_i{}^tX_i \)
Fonctions à plusieurs variables
Ajout(s)
( + ) Soit \(q\) une fonction quadratique définie sur \(\mathbb{R}^n\) associée à la matrice symétrique réelle \(A\). On remarquera qu’il existe une base orthonormale \(\mathcal{B}\) de \(\mathbb{R}^n\) telle que si \(h\) a pour coordonnées \((h_i)_{1 \le i \le n})\) dans \(\mathcal{B}\), on a : \(q(h)= \displaystyle \sum_{i=1}^n \lambda_i h_i^2\) où \((\lambda_i)_{1 \le i \le n}\) sont les valeurs propres de \(A\)
( + ) Condition suffisante d’extremum global (plus seulement local !)
- Si \(\Omega\) est un ouvert convexe de \(\mathbb{R}^n\) et si \(x_0\) est un point critique de \(f\) :
– si pour tout \(x \in \Omega, \text{Sp}(\nabla^2(f)(x)) \subset \mathbb{R}^+\), alors \(f\) admet un minimum global en \(x_0\),
– si pour tout \(x \in \Omega, \text{Sp}(\nabla^2(f)(x)) \subset \mathbb{R}^-\), alors \(f\) admet un maximum global en \(x_0\).
( + ) Notion d’ouvert convexe
Suppression(s)
( – ) Toutes les notions autour des dérivées directionnelles
( – ) Application à l’encadrement d’une forme quadratique sur \(\mathbb{R}^n\) (pour le cas des fonctions continues sur une partie fermée bornée)
( – ) Optimisation sous contrainte quelconque (les contraintes non-linéaires ne sont plus du tout au programme)
Modification(s)
( AR ) Malgré la suppression de la notion de dérivée directionnelle, les résultats suivants restent au programme (il ne faut juste plus employer le terme de dérivée directionnelle)
Soient \(n \in \mathbb N^*\), \(h \in \mathbb R^n \backslash \{0\}, x \in \mathbb R^n\)
- Dérivée d’une fonction de la forme \(t \mapsto f(x+th)\)
- Dérivée seconde d’une fonction de la forme \(t \mapsto f(x+th)\)
- Interprétation géométrique du gradient
Variables aléatoires réelles discrètes
Ajout(s)
( = ) Aucun changement
Suppression(s)
( – ) Moment d’ordre \(r\) (\(r \in \mathbb{N}^*\)) et notation \(m_r=E(X^r)\)
( – ) La théorie des familles sommables n’est plus au programme
- Soient \(I\) et \(J\) deux ensembles dénombrables. Si les séries \( \displaystyle \sum_{i \in I} u_i\) et \( \displaystyle \sum_{j \in J} v_j\) sont absolument convergentes, alors la série \( \displaystyle \sum_{(i,j) \in I \times J} u_iv_j\) est absolument convergente et on a : \( \displaystyle \sum_{(i,j) \in I \times J} u_iv_j=\left(\sum_{i \in I} u_i\right)\left(\sum_{j \in J} v_j\right)\)
- Soit \(J\) un ensemble dénombrable,\((I_j)_{j \in J}\) une famille d’ensembles dénombrables disjoints et \(I= \displaystyle \bigcup_{j \in J}I_j\)
La série \( \displaystyle \sum_{i \in I} u_i\) est absolument convergente si et seulement si, pour tout \(j \in J\), la série \( \displaystyle \sum_{j \in I_j} u_i\) est absolument convergente, et la série \(\displaystyle \sum_{j \in J} \left(\sum_{i \in I_j} u_i\right)\) est absolument convergente, et dans ce cas, on a alors :
\( \displaystyle \sum_{i \in I} u_i = \sum_{j \in J} \left(\sum_{i \in I_j} u_i\right)\)
( – ) Somme de variables aléatoires de Bernoulli indépendantes de même paramètre
( – ) Sommes de variables aléatoires indépendantes suivant des lois de Poisson, des lois binomiales
( – ) Indépendance mutuelle d’une suite infinie de variables aléatoires réelles discrètes
Modification(s)
( +/- ) Les couples de variables aléatoires sont désormais abordés en première année
( +/- ) Les variables aléatoires à densité sont désormais abordées en deuxième année seulement
( +/- ) Modification de la définition officielle d’une variable aléatoire réelle (due à la suppression de la notion de tribu)
- Une variable aléatoire sur \( (\Omega, \mathcal{P} ( \Omega), \mathcal{A})\) est une application \( X : \Omega \to \mathbb R\) telle que pour tout \(x \in \mathbb R\), \([X \le x]\) est un événement.
Désormais, le fait de vérifier qu’une fonction est une variable aléatoire n’est pas un des objectifs du programme
Variables aléatoires à densité
Ajout(s)
( + ) Toute densité de probabilité sur \(\mathbb R\) est la densité d’une variable aléatoire
Suppression(s)
( – ) Moment d’ordre \(r\) (\(r \in \mathbb{N}^*\)) et notation \(m_r=E(X^r)\)
Convergences et approximations
Ajout(s)
( + ) Convergence en probabilité et somme : si \( X_n \overset{\mathbb{P}} {\rightarrow}X\) et \( Y_n \overset{\mathbb{P}} {\rightarrow}Y\), alors \( X_n+Y_n \overset{\mathbb{P}} {\rightarrow}X+Y\)
Suppression(s)
( – ) Théorème de Slutsky
Estimation
Ajout(s)
( = ) Aucun ajout
Suppression(s)
( – ) Risque quadratique
( – ) Décomposition biais-variance du risque quadratique d’un estimateur
Informatique
Modification(s)
( +/- ) Suppression du Scilab qui est remplacé par le langage Python
J’espère que cette longue liste, fruit d’heures de recherches, te satisfera. Si tu as des questions plus précises, n’hésite pas à me contacter à cette adresse : [email protected]
Tu peux aussi aller voir les changements de programme de maths appliquées et maths ECE ou des maths ECT 2013 contre 2021. Si tu cubes de ECS à maths appliquées, un article avec les différences des deux programmes a été spécialement rédigé pour toi.
