Si tu lis cet article, c’est que tu fais partie de ces khûbes rebelles qui ont choisi de passer des maths ECS aux maths appliquées. Plus que jamais, vous êtes concernés par à la fois les changements de programmes et les différences de programmes. C’est votre jour de chance, cet article est fait pour vous !
J’ai spécialement joué au jeu des sept différences sur les programmes de maths ECS de 2013 et le programme de maths appliquées de 2021 (c’est un beau croisé n’est-ce pas ?) pour t’aider à être certain.e des résultats que tu utiliseras au concours. En effet, il arrive parfois que certains professeurs aient des doutes ou même que certains cours n’aient pas été mis à jour. Pas de panique, tu trouveras solution à tous tes problèmes ici.
Si tu n’as toujours pas confiance, tu peux toujours aller voir par toi-même le programme de maths ECS de 2013 (première année ou deuxième année) ou le nouveau programme de maths appliquées de 2021 (première année ou deuxième année).
Attention, cet article est rédigé exclusivement pour les candidats cubes qui passent de la voie ECS à la voie mathématiques appliquées. Si tu veux voir les changements “normaux” des programmes de maths tu peux consulter ces articles :
Les changements de programme de maths approfondies vs ECS (spécial khûbe ECG)
Les changements de programme de maths appliquées vs ECE (spécial khûbe ECG)
Les changements de programme de maths ECT 2013 vs 2021 (spécial khûbe ECT)
Concrètement, qu’est-ce qui change pour les ex-ECS qui passent en maths appliquées ?
Tu pourras profiter de la suppression de chapitre assez lourds comme les nombres complexes ou encore l’algèbre bilinéaire. Il y a également un allègement non négligeable au niveau du chapitre des fonctions de plusieurs variables qui se transforment en fonction de deux variables seulement. Tu retrouveras aussi de nombreuses suppressions de théorèmes et de définitions dans de nombreux chapitres. Cependant, attention car il y a l’ajout de 3 nouveaux chapitres qu’il faudra apprendre : la théorie des graphes, les équations différentielles et les statistiques.
Je tiens à le préciser de nouveau : cet article est fait du point de vue d’un ex-ECS qui passe en maths appliquées, tous les changements (ajouts, suppressions, modifications) se font de son point de vue.
Chapitre « préliminaire » (raisonnements et vocabulaire ensembliste)
Ajout(s)
( = ) Aucun ajout
Suppression(s)
( – ) Formule donnant \( \displaystyle \sum_{k=1}^nk^3\) (la formule donnant \( \displaystyle \sum_{k=1}^nk^2\) reste au programme, contrairement aux maths approfondies…)
( – ) Espace vectoriel \(\mathbb{K}\) ( \(\mathbb{K} = \mathbb{R}\) ou \(\mathbb{C}\)), seul l’espace vectoriel \(\mathbb{R}\) reste au programme
( – ) Restriction et prolongement de d’une application
( – ) Théorème de la borne supérieure
Modification(s)
( +/- ) La composée de deux applications se fait désormais seulement dans le cas d’applications bijectives.
( – ) Suppression du chapitre sur les nombres complexes
Tous les résultats concernant ce chapitre ne sont pas dans le programme de maths appliquées de 2021 (et ne l’ont jamais été dans celui d’ECE d’ailleurs).
Polynômes
Modification(s)
( +/- ) Il n’existe pas de chapitre exclusivement sur les polynômes dans le programme de maths appliquées : il est rattaché à celui des fonctions réelles et est de fait beaucoup plus court.
Suppression(s)
( – ) Ensemble \( \mathbb{C} \) et tout ce qui va avec
( – ) Théorème de d’Alembert-Gauss
( – ) Factorisation dans \( \mathbb{C}[X] \)
Algèbre linéaire
Ajout(s)
( + ) Systèmes différentiels linéaires à coefficients constants
Suppression(s)
( – ) Matrices anti-symétriques
( – ) Théorème de la base incomplète
( – ) Notion de Trace et tout ce qui va avec
( – ) Homothéties
( – ) Symétries projecteurs ?
Modification(s)
( +/- ) La “caractérisation de l’inversibilité des matrices triangulaires” a été remplacé par “condition d’inversibilité d’une matrice triangulaire” (libre à vous de l’interpréter comme il vous semble…)
( + ) Ajout du chapitre sur la théorie des graphes
« Un graphe fini est un outil simple et efficace de modélisation. Les graphes sont utilisés en sciences
sociales pour la modélisation des réseaux sociaux et en économie pour des modèles d’évolution. On
introduit des exemples importants comme le graphe du Web ou ceux de différents réseaux sociaux
en indiquant dans la mesure du possible la taille. Un graphe peut être représenté par sa matrice
d’adjacence et le calcul matriciel en permet une analyse qui peut s’interpréter concrètement. Cette
analyse est choisie en première approche. » Extrait du programme officiel
Ajout(s)
( + ) Graphes, sommets, sommets adjacents, arêtes
( + ) Matrice d’adjacence
( + ) Chaîne (chemin), longueur d’une chaîne (d’un chemin)
( + ) Graphe connexe
( + ) Degré d’un sommet
( + ) Formule d’Euler (dite des poignées de main)
Suites de nombres réels
Ajout(s)
( + ) Théorème des suites extraites : si les deux suites \((u_{2n})\) et \((u_{2n+1})\) sont convergentes vers une même limite \(\ell\), la suite \((u_n)\) converge vers \(\ell\)
( + ) Étude de suites récurrentes du type \( u_{n+1} = f(u_n)\)
( + ) Théorème du point fixe : si \((u_n)\) converge vers un réel \(\ell\) et si \(f\) est continue en \(\ell\), alors \(\ell\) est un point fixe de \(f\).
Suppression(s)
( – ) Équation caractéristique complexe des suites récurrentes linéaires d’ordre 2
Fonctions réelles d’une variable réelle
Ajout(s)
( + ) Étude des positions relatives d’une courbe par rapport à une asymptote (éventuellement oblique)
Suppression(s)
( – ) Fonction continue par morceaux
( – ) Fonctions trigonométriques
( – ) Fonctions périodiques
( – ) Théorème de Rolle
( – ) Égalité des accroissements finis ( ( = ) seule l’inégalité reste au programme)
( – ) Généralisation de l’inégalité de convexité
( – ) Formule de Leibniz
Modification(s)
( +/- ) Le programme n’étudie plus les fonctions \(p\) fois dérivables. Désormais, elles seront deux fois dérivables
( +/- ) De même, les fonctions de classe \(C^p\) ne seront plus étudiées, il s’agira d’aller jusqu’aux fonctions de classe \(C^2\)
( = ) En revanche, la notion de classe \(C^{\infty}\) reste au programme
( + ) Ajout du chapitre des équations différentielles
« Les modèles mathématiques utilisés pour étudier de phénomènes dynamiques peuvent être à temps discret ou à temps continu. La problématique de modélisation en temps continu sera mise en place à l’aide des équations différentielles linéaires à coefficients constants. On donnera l’exemple de l’équation différentielle logistique sans insister sur les difficultés techniques, en lien avec le modèle de Solow. On introduit la notion d’équilibre, une situation qui n’évolue pas et qu’on obtient le plus souvent comme l’aboutissement du phénomène évolutif. » Extrait du programme officiel
Ajout(s)
( + ) Résolution de \(y’ + ay = b\), où \(a\) est un nombre réel et \(b\) est une fonction continue sur un intervalle de \( \mathbb R\)
( + ) Équation homogène, solution particulière
( + ) Résolution de \(y’ ‘ + ay’ + by = c\) où \(a\), \(b\) et \(c\) sont des nombres réels.
Équation homogène, solution particulière
( + ) Principe de superposition
( + ) Trajectoires
( + ) Équilibre
( + ) Ajout du chapitre des statistiques
« La plupart des notions abordées dans ce paragraphe ont été abordées les années précédentes. Il s’agira ici d’encourager les étudiants à choisir les représentations graphiques et les indicateurs étudiés pour leur pertinence et de travailler leur esprit critique. L’enseignement de ce chapitre doit impérativement avoir lieu en lien étroit avec l’informatique afin de manipuler des données réelles issues du domaine de l’économie ou des sciences sociales. » Extrait du programme officiel
Ajout(s)
( + ) Généralités sur les statistiques univariées (population, individu, échantillon, variable statistique. Variable quantitative discrète, continue, variable qualitative. Série statistique associée à un échantillon)
( + ) Effectifs, fréquences, fréquences cumulées
( + ) Fonction de répartition et quantiles
( + ) Moyenne, médiane
( + ) Diagramme des fréquences cumulées
( + ) Boîte à moustaches
( + ) Formule de König
( + ) Statistiques bivariées
( + ) Série statistique à deux variables quantitatives discrètes, nuage de points associé
( + ) Point moyen du nuage
( + ) Covariance empirique \(s_{xy}\) , formule de König- Huygens
( + ) Coefficient de corrélation linéaire empirique \(r_{xy}\) , propriétés et interprétation de ce coefficient
( + ) Ajustement des moindres carrés, droites de régression
Intégration sur un segment
Ajout(s)
( = ) Aucun ajout
Suppression(s)
( – ) Sommes de Riemann
Probabilités sur un ensemble fini
Ajout(s)
( = ) Aucun ajout
Suppression(s)
( – ) Tribu (la notation \(\mathcal{A}\) reste utilisée pour les espaces probabilisés, mais le terme ne doit plus être employé)
( – ) Suppression du chapitre sur le dénombrement
Mais …
( = ) La notion de nombre de parties à \(p\) éléments d’un ensemble à \(n\) éléments reste au programme
( = ) L’interprétation combinatoire de \(n!\) reste au programme (nombre de bijections d’ensemble à \(n\) éléments dans un ensemble à \(n\) éléments)
Séries
( = ) Aucun changement
Intégrales impropres
Ajout(s)
( + ) Ajout d’une précision importante : l’intégration par parties sera pratiquée pour des intégrales sur un segment, « on effectuera ensuite un passage à la limite » => Le programme officiel clarifie un point qui pouvait faire débat. Il est strictement interdit de faire des intégrations par parties sur des intégrales impropres, même pour aller plus vite, pour gagner du tout, même si le candidat se trouve à la fin de copie.
Suppression(s)
( – ) Intégrale d’une fonction continue par morceaux sur un segment
( – ) Toute fonction continue est la différence de deux fonctions continues positives
( – ) Convergence de l’intégrale de Riemann suivante : \(\displaystyle \int_a^b\frac{dt}{(t-a)^{\alpha}}\)
Formule de Taylor/développements limités
Ajout(s)
( + ) Allure locale du graphe d’une fonction admettant un développement limité du type :
\(f(x) = a_0 +a_1x+a_kx^k +x^k\epsilon (x)\) avec \(k \ge 2\) et \(a_k \ne 0 \)
- La forme du graphe au voisinage d’un point dépend principalement du premier terme non linéaire du développement limité. Exemples avec \(k=2\) et \(k=3\)
Suppression(s)
( – ) Formule de Taylor avec reste intégral
( – ) Inégalité de Taylor-Lagrange
Modification(s)
( = ) L’ordre des DL n’ira plus jusqu’à \(n\), il s’arrêtera à \(2\) ou \(3\).
Réduction des matrices carrées et des endomorphismes
Ajouts(s)
( = ) Aucun ajout
Suppression(s)
( – ) Définition d’un sous-espace stable par un endomorphisme
( – ) Propriétés sur le chapitre qui utilisent les polynômes annulateurs
( – ) Suppression du chapitre sur l’algèbre bilinéaire
Ce chapitre n’a jamais existé dans l’ancien programme de maths ECE et n’existe toujours pas dans le programme des maths appliquées
( +/- ) Fonctions à plusieurs variables => Fonctions à deux variables
Ajout(s)
( = ) Aucun ajout
Suppression(s)
( – ) Développement limité d’ordre 2 d’une fonction de classe \(C^2\)
( – ) Toutes les notions autour des dérivées directionnelles
( – ) Interprétation géométrique du gradient
( – ) Application à l’encadrement d’une forme quadratique sur \(\mathbb{R}^n\) (pour le cas des fonctions continues sur une partie fermée bornée)
( – ) Optimisation sous contrainte linéaire
( – ) Optimisation sous contrainte quelconque
Modification(s)
( – ) Les fonctions ne seront plus à plusieurs variables mais seulement restreintes à 2 variables (le chapitre entier est une application du programme de maths approfondies pour \(n=2\))
Variables aléatoires réelles discrètes
Ajout(s)
( + ) Graphes probabilistes
( + ) Graphe probabiliste. Matrice de transition
( + ) Chaîne de Markov associée \((X_n)\)
( + ) États de la chaîne de Markov
( + ) Relation de récurrence matricielle entre les états successifs de la chaîne de Markov
( + ) État stable
Suppression(s)
( – ) Moment d’ordre \(r\) (\(r \in \mathbb{N}^*\)) et notation \(m_r=E(X^r)\)
( – ) La théorie des familles sommables n’est plus au programme
- Soit \(I\) et \(J\) deux ensembles dénombrables. Si les séries \( \displaystyle \sum_{i \in I} u_i\) et \( \displaystyle \sum_{j \in J} v_j\) sont absolument convergentes, alors la série \( \displaystyle \sum_{(i,j) \in I \times J} u_iv_j\) est absolument convergente et on a : \( \displaystyle \sum_{(i,j) \in I \times J} u_iv_j=\left(\sum_{i \in I} u_i\right)\left(\sum_{j \in J} v_j\right)\)
- Soit \(J\) un ensemble dénombrable,\((I_j)_{j \in J}\) une famille d’ensembles dénombrables disjoints et \(I= \displaystyle \bigcup_{j \in J}I_j\)
La série \( \displaystyle \sum_{i \in I} u_i\) est absolument convergente si et seulement si, pour tout \(j \in J\), la série \( \displaystyle \sum_{j \in I_j} u_i\) est absolument convergente, et la série \(\displaystyle \sum_{j \in J} \left(\sum_{i \in I_j} u_i\right)\) est absolument convergente, et dans ce cas, on a alors :
\( \displaystyle \sum_{i \in I} u_i = \sum_{j \in J} \left(\sum_{i \in I_j} u_i\right)\)
( – ) Somme de variables aléatoires de Bernoulli indépendantes de même paramètre
( – ) Sommes de variables aléatoires indépendantes suivant des lois de Poisson, des lois binomiales
( – ) Indépendance mutuelle d’une suite infinie de variables aléatoires réelles discrètes
Modification(s)
( = ) Étonnement, la définition d’une variable aléatoire reste identique à celle de l’ancien programme, contrairement à celle du programme de maths approfondies et malgré la suppression de la notion de tribu
- \(X\) est une variable aléatoire réelle définie sur \((\Omega, \mathcal{A})\) si \(X\) est une application de \(\Omega\) dans \(\mathbb R\) telle que pour tout \(x \in \mathbb R\) \( \{\omega \in \Omega / X(\omega) \le x \} \in \mathcal A \)
Variables aléatoires à densité
Ajout(s)
( + ) Toute densité de probabilité sur \(\mathbb R\) est la densité d’une variable aléatoire
( + ) Propriété de la fonction de répartition de la loi normale centrée réduite
( + ) Une somme de variables aléatoires indépendantes suivant des lois normales suit une loi normale
Suppression(s)
( – ) Moment d’ordre \(r\) (\(r \in \mathbb{N}^*\)) et notation \(m_r=E(X^r)\)
( – ) Loi Gamma
Convergences et approximations
Ajout(s)
( = ) Aucun ajout
Suppression(s)
( – ) Théorème de Slutsky
Estimation
Ajout(s)
( = ) Aucun ajout
Suppression(s)
( – ) Biais d’un estimateur
( – ) Estimateur convergent
( – ) Condition suffisante de convergence d’un estimateur
( – ) Risque quadratique
( – ) Décomposition biais-variance du risque quadratique d’un estimateur
( – ) Intervalle de confiance asymptotique
Informatique
Modification(s)
( +/- ) Suppression du Scilab qui est remplacé par le langage Python
J’espère que cette longue liste, fruit d’heures de recherches, te satisfera. Si tu as des questions plus précises, n’hésite pas à me contacter à cette adresse : [email protected]
