En prépa ECG, la rigueur est parfois laissée de côté au profit de la quantité de questions effectuées. En effet, le fameux « 20 » peut être atteint en ayant fait 60 %, voire 50 % du devoir. Mais abandonner la rigueur peut parfois être une prise de risque peu rentable. En effet, passer 10 minutes sur une question pour recevoir 1/4 des points attribués à celle-ci (en raison d’un passage en force, par exemple) est très fréquent. Il s’agit alors d’une grande perte de temps. Plus encore, une telle attitude risque d’agacer le correcteur qui se montrera plus sévère dans sa notation. Je te donne donc quelques astuces afin de remédier à certaines erreurs, que tu as pu commettre jusqu’à présent et qui t’ont sans doute coûté des points. Retrouve le premier épisode de cette série dans cet article !
Penser que l’intégrale de f(t) = t entre -∞ et +∞ converge car la limite en +∞ de (t^2-t^2) vaut 0
Il s’agit d’une erreur fréquente, car le résultat semble logique. On comprend, initialement, la notion d’intégrales à partir « d’aires sous la courbe ». Or, si l’on observe le graphe de la fonction f(t) = t, on a a priori la même aire à droite de la droite d’équation x = 0 et à gauche de celle-ci. On pourrait donc penser que l’intégrale est nulle.
Pourtant, ce n’est pas le cas. C’est donc contre-intuitif. Si tu veux le comprendre, il faut voir cette intégrale comme une forme indéterminée (+∞ -∞ ). Or, tu le sais sûrement déjà, on ne peut pas dire que cette forme vaut 0. C’est pour cette raison que l’intégrale énoncée diverge !
Diviser par 0
Beaucoup d’étudiants commettent l’erreur de diviser par 0, ou ne justifient pas suffisamment pour préciser qu’ils ne le font pas. Par exemple, les équivalences suivantes sont clairement fausses. (x-2)(x-1) = x-1 ⇔ x-2 = 1 ⇔ x=3. On a divisé par x-1 qui peut être nul et on trouve donc un ensemble de solutions erroné (x=1 est aussi solution ici).
Ainsi, avant de te lancer dans une division ou une simplification, vérifie que la quantité que tu manipules est toujours non nulle. Si elle est effectivement non nulle, précise-le clairement sur ta copie ! Cela prouvera à ton correcteur que tu es capable de rigueur dans tes calculs.
Mal justifier l’égalité entre deux événements
Si X est une variable aléatoire à densité sur (Ω, P(Ω)) et x un réel, on a l’égalité d’événements suivante :
[X ⩽ x] = [exp(X) ⩽ exp(x)]. Cependant, cette égalité n’a rien d’évident et la justifier rigoureusement peut s’avérer laborieux pour certains candidats. Il est d’abord important de comprendre ce que signifie une telle égalité. Elle peut se traduire par l’équivalence suivante : pour tout ω ∈ Ω, X(ω) ⩽ x ⇔ exp(X(ω)) ⩽ exp(x).
Par conséquent, contrairement à ce que nombre d’étudiants écrivent dans leurs copies, la seule croissance de la fonction exponentielle ne suffit pas à justifier cette égalité d’événements. La croissance donne, en effet, l’implication de gauche à droite mais pas celle de droite à gauche. Dans l’implication de droite à gauche, c’est la bijectivité couplée à la croissance de la fonction exponentielle qui permet de conclure.
Utiliser la disjonction de cas : (un) est croissante ou (un) est décroissante
Cette disjonction de cas est particulièrement tentante. En effet, elle simplifie dans bien des cas la démonstration… et pour cause ! Elle enlève une infinité de cas, à savoir (un) n’est ni croissante ni décroissante.
En effet, la négation de la proposition (un) est croissante n’est autre que (un) n’est pas croissante, et on ne peut pas trouver mieux ni plus fort. La disjonction de cas (un) est croissante ou (un) est décroissante ne recouvre donc qu’une infime partie des cas à traiter.
Si tu n’es toujours pas convaincu, je te laisse examiner le sens de variation de la suite de terme général un = cos(n)…
Intervertir un signe « intégrale » et un signe « somme infinie »
Quel étudiant de classe préparatoire n’a pas inversé au cours d’un devoir ces deux symboles ? Une telle manipulation simplifie généralement le calcul et permet d’aboutir. Malheureusement, tu n’as pas le droit d’utiliser une telle interversion des symboles.
Plus exactement, seuls des théorèmes puissants et qui ne sont pas au programme d’ECG permettent d’aboutir à cette égalité pour des fonctions vérifiant certaines caractéristiques. Par conséquent, il te faudra bien souvent revenir à la définition de la limite et la preuve peut être assez ardue… Mais tu n’as pas d’autres choix, car intervertir les deux signes serait considéré comme un passage en force et ne te permettrait donc pas d’engranger de points.
En évitant de faire de telles erreurs, tu risques d’économiser de nombreux points dans tes copies. Je t’encourage à aller voir le premier article de la série pour découvrir d’autres erreurs communes à éviter.
Si tu veux te rassurer et découvrir des techniques plus générales, n’hésite pas à lire cet article qui explique pourquoi il est normal de ne pas parvenir à progresser rapidement en mathématiques en première année de prépa ECG.
