En prépa ECG, tu passes (ou passeras) sans doute de nombreuses heures à apprendre ton cours et à faire et refaire des exercices de mathématiques. Et cela à juste titre, car c’est un processus nécessaire pour travailler efficacement les mathématiques en prépa ! Mais les (si nombreux) élèves qui oublient de travailler la rigueur et l’efficacité d’un raisonnement se privent de précieux points en agaçant – tout au long de leur devoir – le correcteur. Pourtant, il s’agit d’un travail bien moins chronophage aux résultats immédiats. Connaître les erreurs classiques que je te présente dans cet article te permettra d’attirer la clémence du correcteur. Ne t’en prive pas !
Écrire « f(x) est dérivable » au lieu de « f est dérivable »
Cette « petite » erreur est commise dans un nombre incalculable de copies, et même parmi les meilleures d’entre elles ! Pourtant, elle témoigne d’une profonde incompréhension des notions manipulées en ce qui concerne fonction et dérivation, ce qui est susceptible de donner une mauvaise image de ta copie au correcteur.
En fait, x étant un réel, f(x) est un nombre (que f soit la fonction exponentielle, logarithme ou cosinus…). Dire « f(x) est dérivable » revient donc à dire « 3 est dérivable », ce qui, je n’en doute pas, ne manquera pas de choquer tes oreilles de jeune mathématicien.
Je te donne donc une phrase efficace pour introduire la dérivation d’une fonction (une fois que tu as bien vérifié qu’elle était dérivable sur un intervalle I de R !) : « f est dérivable sur I comme [produit, somme, composée…] de fonctions dérivables sur I et pour tout x de I, f’(x) = … ».
Confondre « ⇒ » et « donc »
La plupart des étudiants ne font pas la différence entre le symbole « implication » et la conjonction de coordination « donc ». Pourtant, celle-ci est bien réelle et substituer l’un des deux éléments à l’autre est une imprécision qui risque d’agacer ton correcteur. En effet, si A et B sont deux propositions mathématiques, alors :
- « A ⇒ B » se traduit en français par « si A est vraie alors B est vraie » ;
- « A donc B » se traduit par « A est vraie donc B est vraie ».
Toujours pas convaincu par la différence ? Dans la première assertion, tu n’affirmes à aucun moment que A est vraie, tu constates simplement que la véracité de la première proposition entraîne celle de la deuxième. Dans la deuxième assertion, tu réalises une démonstration : tu as peut-être montré dans une question précédente ou dans ton cours que A était vraie et tu es en train de prouver B.
Par conséquent, dans l’hérédité d’un raisonnement par récurrence (par exemple), le symbole « ⇒ » ne doit jamais apparaître ! Tu écris « supposons que P(n) est vraie pour un certain n entier naturel et montrons alors que P(n+1) est vraie ». P(n) est donc vraie, désormais, on utilise dès lors « donc » ou « ainsi »… À l’inverse, le symbole « ⇒ » est très utile lorsque tu introduis une question : « Montrons : A ⇒ B » car tu n’as pas encore supposé A vraie. Montrer une implication dans un sens, puis dans l’autre, permet aussi de montrer une équivalence !
La différence entre le cardinal et la dimension (en algèbre)
Si tu intègres une prépa ECG cette année, ces mots t’apparaissent peut-être mystérieux mais ils ne le resteront pas longtemps ! Si tu es en deuxième année alors tu les as, pour sûr, déjà rencontrés un nombre incalculable de fois. Mais es-tu sûr que la différence entre ceux-ci est claire pour toi ? Si oui, alors je te félicite car tu maîtrises deux définitions d’algèbre qui te seront très utiles aux concours. Sinon, pas de panique, je t’explique dès maintenant comment remédier à cette petite faille !
Le terme cardinal est toujours affecté à une famille. Il dénombre un certain nombre d’éléments ! Par exemple, si l’on prend une famille de R[X], la famille F = (X,2X,3X) est de cardinal 3, car il y a trois éléments différents dans cette famille. Remarque au passage que F n’est pas un espace vectoriel ! Pourquoi ? Tu pourrais me répondre que l’élément nul de R[X] n’est pas dans F ou encore que la somme des éléments X + 3X = 4X n’est pas non plus dans F. F n’étant pas un espace vectoriel, on ne peut pas parler de dimension.
Le terme dimension est quant à lui toujours affecté à un espace vectoriel. Posons : E = Vect(F). E est « l’espace vectoriel engendré par la famille F ». Il est presque immédiat que la dimension de E est 1. On remarquera au passage que 1 est différent de 3 et que l’égalité entre dimension et cardinal n’est donc pas automatique (à moins que F soit libre !).
Tu sais désormais tout sur la différence entre cardinal et dimension !
Distinguer l’implication de l’équivalence
Pour certains, la différence entre le symbole ⇒ et le symbole ⇔ est évidente, pour d’autres, elle est plus floue et mérite un approfondissement. En réalité, très nombreux sont les étudiants qui – même en ayant parfaitement compris la distinction entre les deux – substituent un symbole à l’autre dans un raisonnement mathématique. Il est primordial de bien comprendre que l’équivalence est un symbole dangereux à manipuler. C’est d’ailleurs pour cette raison qu’on utilise généralement des raisonnements « par double implication » pour prouver une équivalence.
Une erreur souvent commise est la présence du symbole ⇔ dans de tels raisonnements ou dans d’autres qui ne nécessitent qu’une simple implication. Par exemple, si tu reprends tes copies de première année de prépa (ou de Terminale si tu arrives en ECG en première année), il y a fort à parier que certaines de tes hérédités de récurrence comportent des symboles ⇔. Pourtant, tu remarqueras qu’il te suffit de montrer que ton assertion de départ (P(n)) implique celle d’arrivée (P(n+1)). Par conséquent, l’équivalence est superflue.
Tu peux me dire que ce n’est pas très grave, au fond, puisque tu as prouvé ce qu’il fallait. Certes, mais c’est un peu comme si, pour appliquer un théorème qui nécessite une seule hypothèse, tu en donnais cinq. Cela pourrait laisser entendre au correcteur que tu ne sais pas précisément ce que tu fais et donc éroder l’impression générale de ta copie ! Fais donc bien attention à utiliser le symbole mathématique ou le mot en français adéquat lorsque tu mènes une démonstration.
Mal justifier la valeur d’une limite de fonction
Cette erreur est assez souvent commise à l’oral et en ne la commettant pas, tu peux redorer ton image au cours d’une colle ! Prenons l’exemple de la limite en 0 de la fonction exponentielle. J’imagine que tu te dis sûrement que la réponse est évidente, mais elle n’est pas aussi immédiate qu’elle en a l’air. La plupart des étudiants répondront que cette limite vaut 1, ce qui est vrai. Mais à la fatidique question « Pourquoi ? », peu seront capables de répondre autre chose que : « C’est comme ça, c’est la définition de l’exponentielle. »
En réalité, la réponse découle d’une notion puissante en analyse qui s’appelle la continuité. Pour justifier correctement une telle limite (ici très simple mais qui peut être plus complexe !), il faut donc réciter : « La fonction exponentielle est continue en 0, or exp(0) = 1, donc la limite cherchée vaut 1. » Pas si trivial, non ?
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Tu l’auras remarqué, ces erreurs ne sont pas des fautes complètement aberrantes susceptibles de faire sortir ton correcteur de ses gonds. Cependant, si elles truffent tes copies, tu risques de perdre en crédibilité. Au contraire, si tu les maîtrises, ton correcteur fera, sans doute, preuve de plus d’indulgence à ton égard. Passer du temps sur la rigueur te permettra sans aucun doute de mieux réussir aux concours. N’hésite donc pas à y faire attention et tu verras que ton professeur de mathématiques en tiendra compte lorsqu’il corrigera tes copies !
