La loi du demi-cercle, aussi appelée loi du demi-cercle de Wigner, est une loi de probabilité célèbre en théorie des matrices aléatoires. Elle décrit la répartition limite des valeurs propres de certaines grandes matrices symétriques dont les coefficients sont aléatoires. L’idée générale est la suivante : lorsque la taille de la matrice devient très grande, les valeurs propres ne se répartissent pas de manière uniforme. Après une normalisation adaptée, elles se concentrent suivant une densité dont la courbe a la forme d’un demi-cercle. Cette loi est particulièrement importante en probabilités, en physique mathématique et en analyse spectrale. Elle permet de comprendre comment se comporte le spectre d’une grande matrice aléatoire, même lorsque les coefficients individuels de cette matrice sont eux-mêmes imprévisibles.
Définition de la loi du demi-cercle
La loi du demi-cercle de paramètre \(R>0\) est la loi de probabilité dont la densité est donnée par :
\[
f_R(x)
=
\begin{cases}
\displaystyle \frac{2}{\pi R^2}\sqrt{R^2-x^2}
& \text{si } |x|\leq R,\\
0
& \text{si } |x|>R.
\end{cases}
\]
La densité est donc définie sur l’intervalle :
\[
[-R,R]
\]
Sa représentation graphique correspond à la moitié supérieure du cercle d’équation :
\[
x^2+y^2=R^2
\]
à un facteur multiplicatif près.
Dans la forme la plus courante, on choisit :
\[
R=2
\]
La densité devient alors :
\[
f(x)
=
\begin{cases}
\displaystyle \frac{1}{2\pi}\sqrt{4-x^2}
& \text{si } |x|\leq2,\\
0
& \text{sinon}.
\end{cases}
\]
Cette loi est centrée en \(0\) et symétrique.
Pourquoi s’agit-il bien d’une densité ?
Pour qu’une fonction soit une densité de probabilité, elle doit être positive et son intégrale sur \(\mathbb R\) doit être égale à \(1\).
La positivité est immédiate, puisque :
\[
\sqrt{R^2-x^2}\geq0
\]
pour tout \(x\in[-R,R]\).
Il reste à vérifier :
\[
\int_{-\infty}^{+\infty}f_R(x)\,dx=1
\]
Comme la densité est nulle en dehors de \([-R,R]\), on a :
\[
\int_{-\infty}^{+\infty}f_R(x)\,dx
=
\displaystyle \frac{2}{\pi R^2}
\int_{-R}^{R}\sqrt{R^2-x^2}\,dx
\]
Or :
\[
\int_{-R}^{R}\sqrt{R^2-x^2}\,dx
\]
représente l’aire d’un demi-disque de rayon \(R\). Cette aire vaut :
\[
\displaystyle \frac{\pi R^2}{2}
\]
Ainsi :
\[
\displaystyle \frac{2}{\pi R^2}
\times
\displaystyle \frac{\pi R^2}{2}
=
1
\]
La fonction \(f_R\) est donc bien une densité.
Origine de la loi du demi-cercle
La loi du demi-cercle apparaît dans l’étude de matrices symétriques aléatoires.
Considérons une matrice réelle symétrique :
\[
A_n=
\begin{pmatrix}
X_{1,1}&X_{1,2}&\cdots&X_{1,n}\\
X_{1,2}&X_{2,2}&\cdots&X_{2,n}\\
\vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\
X_{1,n}&X_{2,n}&\cdots&X_{n,n}
\end{pmatrix}
\]
Les coefficients situés au-dessus de la diagonale sont aléatoires et la symétrie impose :
\[
X_{i,j}=X_{j,i}
\]
On suppose généralement que les coefficients sont indépendants, centrés et de variance finie.
On normalise alors la matrice en considérant :
\[
M_n
=
\displaystyle \frac{1}{\sqrt n}A_n
\]
Cette normalisation est essentielle. Sans elle, les valeurs propres auraient tendance à devenir trop grandes lorsque \(n\) augmente.
Mesure spectrale empirique
Notons :
\[
\lambda_1,\ldots,\lambda_n
\]
les valeurs propres de \(M_n\).
On définit la mesure spectrale empirique par :
\[
\mu_n
=
\displaystyle \frac{1}{n}
\sum_{k=1}^{n}\delta_{\lambda_k}
\]
où \(\delta_{\lambda_k}\) désigne la masse de Dirac au point \(\lambda_k\).
Concrètement, la mesure \(\mu_n\) donne le poids :
\[
\displaystyle \frac{1}{n}
\]
à chacune des valeurs propres.
La loi du demi-cercle affirme que, lorsque \(n\) tend vers l’infini, cette mesure se rapproche de la loi de densité :
\[
f(x)
=
\displaystyle \frac{1}{2\pi}\sqrt{4-x^2}
\]
sur l’intervalle \([-2,2]\).
Autrement dit, les valeurs propres deviennent de plus en plus nombreuses dans les zones où la densité est élevée, et plus rares près des extrémités \(-2\) et \(2\).
Énoncé simplifié du théorème de Wigner
Dans une version simplifiée, le théorème du demi-cercle affirme que, pour une grande matrice symétrique aléatoire correctement normalisée, la proportion de valeurs propres situées dans un intervalle \([a,b]\) converge vers :
\[
\int_a^b
\displaystyle \frac{1}{2\pi}\sqrt{4-x^2}\,dx
\]
à condition que \([a,b]\subset[-2,2]\).
La loi du demi-cercle ne décrit donc pas une valeur propre particulière, mais la répartition globale de l’ensemble des valeurs propres.
Symétrie et espérance
La densité vérifie :
\[
f_R(-x)=f_R(x)
\]
La loi est donc symétrique par rapport à \(0\).
Par conséquent, si \(X\) suit une loi du demi-cercle, alors :
\[
\mathbb E(X)=0
\]
En effet, la fonction :
\[
x\mapsto xf_R(x)
\]
est impaire sur l’intervalle symétrique \([-R,R]\). On a donc :
\[
\mathbb E(X)
=
\int_{-R}^{R}xf_R(x)\,dx
=
0
\]
La loi du demi-cercle est ainsi une loi centrée.
Variance de la loi du demi-cercle
Comme l’espérance vaut \(0\), la variance est donnée par :
\[
\mathrm{Var}(X)
=
\mathbb E(X^2)
\]
Pour une loi du demi-cercle de rayon \(R\), on obtient :
\[
\mathrm{Var}(X)
=
\displaystyle \frac{R^2}{4}
\]
Dans le cas standard où \(R=2\), on a donc :
\[
\mathrm{Var}(X)=1
\]
C’est l’une des raisons pour lesquelles la forme de rayon \(2\) apparaît fréquemment : elle correspond à une loi centrée et de variance \(1\).
Moments de la loi du demi-cercle
La symétrie de la densité implique que tous les moments d’ordre impair sont nuls :
\[
\mathbb E(X^{2k+1})=0
\]
pour tout entier \(k\geq0\).
Dans le cas standard de rayon \(2\), les moments d’ordre pair sont liés aux nombres de Catalan :
\[
\mathbb E(X^{2k})
=
\displaystyle \frac{1}{k+1}{2k\choose k}
\]
Le nombre :
\[
C_k
=
\displaystyle \frac{1}{k+1}{2k\choose k}
\]
est appelé le \(k\)-ième nombre de Catalan.
On obtient, par exemple :
\[
\mathbb E(X^2)=1
\]
puis :
\[
\mathbb E(X^4)=2
\]
et :
\[
\mathbb E(X^6)=5
\]
Plus généralement, la suite des moments pairs commence par :
\[
1,\ 1,\ 2,\ 5,\ 14,\ 42,\ldots
\]
Ces valeurs sont précisément les nombres de Catalan. Leur apparition montre qu’il existe un lien profond entre la loi du demi-cercle, les matrices aléatoires et certains problèmes de combinatoire.
Différence avec la loi normale
La loi du demi-cercle ne doit pas être confondue avec la loi normale.
La loi normale possède une densité définie sur tout \(\mathbb R\) :
\[
f(x)>0
\]
pour tout réel \(x\).
En revanche, la loi du demi-cercle est à support compact :
\[
[-R,R]
\]
Sa densité est nulle en dehors de cet intervalle.
Par ailleurs, la densité normale a une forme de cloche, tandis que celle de la loi du demi-cercle a réellement la forme d’un demi-cercle.
La loi normale décrit souvent des sommes de variables aléatoires, alors que la loi du demi-cercle décrit plutôt la répartition des valeurs propres de grandes matrices aléatoires.
Exemple d’interprétation
Supposons qu’une grande matrice symétrique aléatoire soit normalisée de manière à suivre approximativement la loi du demi-cercle standard.
La proportion de valeurs propres comprises entre \(-1\) et \(1\) est alors approximativement :
\[
\int_{-1}^{1}
\displaystyle \frac{1}{2\pi}\sqrt{4-x^2}\,dx
\]
Cette proportion est plus grande que celle que l’on observerait près des extrémités, par exemple entre \(1{,}8\) et \(2\).
En effet, la densité est maximale en \(0\) :
\[
f(0)
=
\displaystyle \frac{1}{\pi}
\]
et elle s’annule en :
\[
x=-2
\qquad\text{et}\qquad
x=2
\]
Les valeurs propres sont donc plus concentrées autour de \(0\).
Comment reconnaître une question sur la loi du demi-cercle ?
Dans un exercice, plusieurs éléments peuvent annoncer cette loi :
- une suite de matrices symétriques aléatoires ;
- une normalisation par \(\sqrt n\) ;
- l’étude de la distribution des valeurs propres ;
- une densité de la forme \(\sqrt{R^2-x^2}\) ;
- des moments pairs liés aux nombres de Catalan ;
- une convergence de mesures spectrales.
Il faut alors identifier le rayon du demi-cercle et vérifier la constante placée devant la racine afin que l’intégrale totale soit égale à \(1\).
Conclusion
La loi du demi-cercle de Wigner décrit la répartition limite des valeurs propres de grandes matrices symétriques aléatoires. Cette loi est symétrique, centrée et, dans sa forme standard, de variance \(1\). Elle constitue l’un des résultats majeurs de la théorie des matrices aléatoires et montre qu’un comportement global très régulier peut émerger à partir de coefficients individuellement aléatoires.
Tu peux retrouver le méga-répertoire qui contient toutes les annales de concours et les corrigés. Tu peux également accéder à toutes nos autres ressources mathématiques !
