La loi de Maxwell, aussi appelée loi de Maxwell-Boltzmann, est une loi de probabilité qui apparaît naturellement en physique statistique. Elle décrit la distribution des vitesses d’une particule dans un gaz idéal lorsque les composantes de sa vitesse sont indépendantes et suivent des lois normales centrées. Bien que cette loi provienne du monde de la physique, il est très intéressant et utile de l’étudier pour préparer les épreuves parisiennes et particulièrement l’épreuve Maths II.
Introduction
L’idée est la suivante : si une particule se déplace dans l’espace, sa vitesse peut être représentée par un vecteur à trois composantes :
\[
(V_x,V_y,V_z)
\]
La loi de Maxwell décrit alors la norme de ce vecteur, c’est-à-dire la vitesse au sens physique :
\[
V=\sqrt{V_x^2+V_y^2+V_z^2}
\]
Elle intervient donc lorsqu’on passe d’un vecteur aléatoire gaussien en dimension \(3\) à sa norme.
Définition de la loi de Maxwell
On dit qu’une variable aléatoire \(X\) suit une loi de Maxwell de paramètre \(a>0\) si elle admet pour densité :
\[
f(x)
=
\begin{cases}
\sqrt{\displaystyle \frac{2}{\pi}}
\displaystyle \frac{x^2}{a^3}
\exp\left(-\displaystyle \frac{x^2}{2a^2}\right)
& \text{si } x\geq0,\\
0
& \text{si } x<0.
\end{cases}
\]
Le paramètre \(a\) est un paramètre d’échelle. Il contrôle la dispersion de la loi.
Comme \(X\) représente une norme ou une vitesse, elle ne peut prendre que des valeurs positives ou nulles :
\[
X\geq0
\]
La densité commence en \(0\), augmente jusqu’à un maximum, puis décroît vers \(0\) lorsque \(x\) tend vers \(+\infty\).
Origine à partir de variables normales
La loi de Maxwell apparaît très naturellement à partir de trois variables normales indépendantes.
Soient :
\[
Y_1,\quad Y_2,\quad Y_3
\]
trois variables aléatoires indépendantes suivant toutes une loi normale centrée de variance \(a^2.\)
On définit :
\[
X=\sqrt{Y_1^2+Y_2^2+Y_3^2}
\]
Alors \(X\) suit une loi de Maxwell de paramètre \(a\).
Ainsi, la loi de Maxwell est la loi de la distance à l’origine d’un vecteur gaussien en dimension \(3\).
Cette interprétation est importante : les composantes \(Y_1\), \(Y_2\) et \(Y_3\) peuvent être vues comme les trois composantes de la vitesse d’une particule dans l’espace.
Lien avec la loi du khi-deux
La loi de Maxwell est liée à la loi du khi-deux.
Soient :
\[
Y_1,\quad Y_2,\quad Y_3
\]
trois variables aléatoires indépendantes suivant toutes une loi normale centrée de variance \(a^2,\) alors :
\[
\displaystyle \frac{Y_1^2+Y_2^2+Y_3^2}{a^2}
\]
suit une loi du khi-deux à \(3\) degrés de liberté.
Or :
\[
X^2=Y_1^2+Y_2^2+Y_3^2
\]
Donc :
\[
\displaystyle \frac{X^2}{a^2}
\sim \chi^2(3)
\]
La loi de Maxwell peut donc être vue comme la loi de la racine carrée d’une variable suivant une loi du khi-deux à \(3\) degrés de liberté, multipliée par le paramètre \(a\).
Espérance de la loi de Maxwell
Si \(X\) suit une loi de Maxwell de paramètre \(a\), alors son espérance est :
\[
\mathbb E(X)
=
2a\sqrt{\displaystyle \frac{2}{\pi}}
\]
Cette quantité représente la valeur moyenne de la vitesse dans le modèle physique.
On remarque que l’espérance est proportionnelle au paramètre \(a\). Plus \(a\) est grand, plus les valeurs prises par \(X\) sont généralement grandes.
Moment d’ordre deux
Le moment d’ordre deux est donné par :
\[
\mathbb E(X^2)=3a^2
\]
Cette formule est cohérente avec l’origine gaussienne de la loi.
En effet, si :
\[
X^2=Y_1^2+Y_2^2+Y_3^2
\]
et si chaque variable \(Y_i\) suit une loi normale centrée de variance \(a^2\), alors :
\[
\mathbb E(Y_i^2)=a^2
\]
Donc :
\[
\mathbb E(X^2)
=
\mathbb E(Y_1^2)+\mathbb E(Y_2^2)+\mathbb E(Y_3^2)
=
3a^2
\]
Variance de la loi de Maxwell
La variance est définie par :
\[
\mathrm{Var}(X)
=
\mathbb E(X^2)-\big(\mathbb E(X)\big)^2
\]
On sait que :
\[
\mathbb E(X^2)=3a^2
\]
et :
\[
\mathbb E(X)
=
2a\sqrt{\displaystyle \frac{2}{\pi}}
\]
Donc :
\[
\big(\mathbb E(X)\big)^2
=
4a^2\displaystyle \frac{2}{\pi}
=
\displaystyle \frac{8a^2}{\pi}
\]
Ainsi :
\[
\mathrm{Var}(X)
=
3a^2-\displaystyle \frac{8a^2}{\pi}
\]
On obtient :
\[
\mathrm{Var}(X)
=
a^2\left(3-\displaystyle \frac{8}{\pi}\right)
\]
La variance est donc elle aussi proportionnelle à \(a^2\).
Mode de la loi de Maxwell
Le mode est la valeur où la densité est maximale. Pour la loi de Maxwell de paramètre \(a\), le mode vaut :
\[
x_{\text{mode}}=\sqrt{2}a
\]
Cette valeur correspond à la vitesse la plus probable. Elle ne doit pas être confondue avec l’espérance :
\[
\mathbb E(X)
=
2a\sqrt{\displaystyle \frac{2}{\pi}}
\]
En général, pour une loi asymétrique positive, le mode, la moyenne et la médiane ne sont pas égaux.
Fonction de répartition
La fonction de répartition d’une variable \(X\) suivant une loi de Maxwell est définie par :
\[
F(x)=\mathbb P(X\leq x)
\]
Pour \(x<0\), on a :
\[
F(x)=0
\]
Pour \(x\geq0\), son expression est :
\[
F(x)
=
\mathrm{erf}\left(
\displaystyle \frac{x}{\sqrt{2}a}
\right)
–
\sqrt{\displaystyle \frac{2}{\pi}}
\displaystyle \frac{x}{a}
\exp\left(-\displaystyle \frac{x^2}{2a^2}\right)
\]
La fonction \(\mathrm{erf}\) est appelée fonction d’erreur. Elle apparaît souvent dans les calculs liés à la loi normale.
Dans la plupart des exercices élémentaires, on utilise davantage la densité que cette fonction de répartition.
Interprétation physique
Dans un gaz idéal, les molécules se déplacent dans toutes les directions. Les composantes de leur vitesse peuvent être modélisées par trois variables normales indépendantes :
\[
V_x,\quad V_y,\quad V_z
\]
La vitesse totale est alors :
\[
V=\sqrt{V_x^2+V_y^2+V_z^2}
\]
La loi de Maxwell décrit la distribution de cette vitesse. Dans le cadre physique, le paramètre \(a\) dépend de la température \(T\), de la masse \(m\) de la particule et de la constante de Boltzmann \(k_B\). On écrit souvent :
\[
a=\sqrt{\displaystyle \frac{k_BT}{m}}
\]
Ainsi, lorsque la température augmente, le paramètre \(a\) augmente, et les vitesses typiques des particules deviennent plus grandes.
Exemple avec a=1
Lorsque :
\[
a=1
\]
la densité devient :
\[
f(x)
=
\begin{cases}
\sqrt{\displaystyle \frac{2}{\pi}}
x^2
\exp\left(-\displaystyle \frac{x^2}{2}\right)
& \text{si } x\geq0,\\
0
& \text{si } x<0.
\end{cases}
\]
L’espérance vaut :
\[
\mathbb E(X)
=
2\sqrt{\displaystyle \frac{2}{\pi}}
\]
La variance vaut :
\[
\mathrm{Var}(X)
=
3-\displaystyle \frac{8}{\pi}
\]
Le mode vaut :
\[
\sqrt{2}
\]
Ce cas standard permet de comprendre la forme générale de la loi. Pour un paramètre \(a\) quelconque, la loi est simplement dilatée horizontalement.
Comment reconnaître une loi de Maxwell ?
Dans un exercice, plusieurs éléments peuvent faire penser à une loi de Maxwell :
- une densité définie sur \([0,+\infty[\) avec un facteur \(x^2\) ;
- une expression de la forme \(\exp\left(-\displaystyle \frac{x^2}{2a^2}\right)\) ;
- la norme d’un vecteur gaussien en dimension \(3\) ;
- la somme de trois carrés de variables normales indépendantes ;
- un contexte physique lié aux vitesses des molécules d’un gaz.
Il faut alors penser à poser :
\[
Y_1,\quad Y_2,\quad Y_3
\]
trois variables aléatoires indépendantes suivant toutes une loi normale centrée de variance \(a^2.\)
Conclusion
La loi de Maxwell est la loi de la norme d’un vecteur gaussien en dimension \(3\).
Cette loi est particulièrement importante pour modéliser les vitesses de particules dans un gaz. Elle relie ainsi la loi normale, la loi du khi-deux, les normes euclidiennes et les modèles probabilistes issus de la physique.
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