La liste étendue des valeurs propres apparaît régulièrement dans les sujets de concours, notamment à HEC, à l’ESCP et à EML, car elle se prête naturellement à des exercices d’algèbre. Elle permet d’énoncer des formules reliant la trace et les valeurs propres, et constitue le cadre naturel pour établir des inégalités entre fonctions symétriques des valeurs propres, et notamment l’inégalité arithmético-géométrique. Cet article définit la liste étendue, établit ses propriétés essentielles et illustre son utilisation dans deux contextes typiques des concours : les matrices symétriques positives et les inégalités sur la trace.
La liste étendue des valeurs propres
Définition
Soit \( A \in M_n(\mathbb{R}) \) une matrice diagonalisable. On appelle liste étendue des valeurs propres de \( A \) une liste \( (\lambda_1, \lambda_2, \ldots, \lambda_n) \) de \( n \) réels dans laquelle chaque valeur propre \( \lambda \) de \( A \) apparaît exactement \( \dim(E_\lambda(A)) \) fois, où \( E_\lambda(A) = \ker(A – \lambda I_n) \) désigne le sous-espace propre associé à \( \lambda \).
La liste étendue n’est pas unique : l’ordre dans lequel on range les valeurs propres est libre. En revanche, son contenu est entièrement déterminé par \( A \) : il n’y a aucune ambiguïté sur les valeurs qui y figurent ni sur le nombre de fois où chacune apparaît.
Exemple
La matrice \( \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 4 & 0 \\ 0 & 0 & 4 \end{pmatrix} \) est diagonalisable avec \( E_1(A) \) de dimension \( 1 \) et \( E_4(A) \) de dimension \( 2 \). Sa liste étendue est \( (1, 4, 4) \). La liste \( (4, 1, 4) \) est également valide.
La liste étendue contient toujours exactement \( n \) termes, ce qui correspond au fait que, pour une matrice diagonalisable, la somme des dimensions des espaces propres est égale à \( n \).
Lien avec la trace
Si \( (\lambda_1, \ldots, \lambda_n) \) est une liste étendue des valeurs propres de \( A \), alors :
\[ \mathrm{tr}(A) = \sum_{i=1}^{n} \lambda_i \]
Cette formule est immédiate à partir de la diagonalisation : il existe une matrice inversible \( P \) telle que \( A = P D P^{-1} \), où \( D \) est la matrice diagonale ayant \( \lambda_1, \ldots, \lambda_n \) sur sa diagonale. Comme la trace est invariante par similitude, \( \mathrm{tr}(A) = \mathrm{tr}(D) = \displaystyle\sum_{i=1}^n \lambda_i \).
Plus généralement, pour tout entier \( k \geq 0 \), la liste étendue des valeurs propres de \( A^k \) est \( (\lambda_1^k, \ldots, \lambda_n^k) \), et \( \mathrm{tr}(A^k) = \displaystyle\sum_{i=1}^n \lambda_i^k \). Ce résultat s’applique en particulier à \( A^2 \) : \( \mathrm{tr}(A^2) = \displaystyle\sum_{i=1}^n \lambda_i^2 \).
Stabilité par changement de base
Si \( A’ = P^{-1}AP \) est une matrice semblable à \( A \), alors \( A \) et \( A’ \) ont la même liste étendue des valeurs propres. En effet, la relation \( A’ – \lambda I_n = P^{-1}(A – \lambda I_n)P \) implique \( \dim(E_\lambda(A’)) = \dim(E_\lambda(A)) \) pour tout \( \lambda \).
En particulier, la liste étendue des valeurs propres ne dépend que de l’endomorphisme \( f \) canoniquement associé à \( A \), pas du choix de la base dans laquelle on l’exprime.
Application aux matrices symétriques : la matrice \( {}^t\!AA \)
Les valeurs propres de \( {}^t\!AA \) sont positives ou nulles
Soit \( A \in M_n(\mathbb{R}) \). La matrice \( {}^t\!AA \) est symétrique : en effet, \( {}^t({}^t\!AA) = {}^t\!A \, {}^t({}^t\!A) = {}^t\!AA \). De plus, pour tout \( X \in M_{n,1}(\mathbb{R}) \) :
\[ {}^t\!X({}^t\!AA)X = {}^t(AX)(AX) = \|AX\|^2 \geq 0 \]
Donc : \( {}^t\!AA \) est une matrice symétrique positive au sens où la forme quadratique associée est positive. Le théorème spectral garantit qu’elle est diagonalisable dans une base orthonormée, et ses valeurs propres sont toutes positives ou nulles. Sa liste étendue \( (\lambda_1, \ldots, \lambda_n) \) vérifie donc \( \lambda_i \geq 0 \) pour tout \( i \).
De plus, \( \mathrm{tr}({}^t\!AA) = \displaystyle\sum_{i=1}^n \lambda_i \). Or, on peut calculer directement \( \mathrm{tr}({}^t\!AA) = \displaystyle\sum_{i,j} a_{ij}^2 = \|A\|_2^2 \), où \( \|A\|_2 = \sqrt{\mathrm{tr}({}^t\!AA)} \) est la norme euclidienne sur \( M_n(\mathbb{R}) \). Ainsi, la somme des valeurs propres de \( {}^t\!AA \) est égale au carré de la norme de \( A \).
Encadrement de la forme quadratique associée
Si \( (\lambda_1, \ldots, \lambda_n) \) est la liste étendue des valeurs propres de \( {}^t\!AA \), rangées dans l’ordre croissant \( \lambda_1 \leq \lambda_2 \leq \cdots \leq \lambda_n \), alors pour tout \( x \in \mathbb{R}^n \) :
\[ \lambda_1 \|x\|^2 \leq \langle x, {}^t\!AA \, x \rangle \leq \lambda_n \|x\|^2 \]
soit encore \( \lambda_1 \|x\|^2 \leq \|Ax\|^2 \leq \lambda_n \|x\|^2 \).
Démonstration
On diagonalise \( {}^t\!AA \) dans une base orthonormée \( (\varepsilon_1, \ldots, \varepsilon_n) \) de vecteurs propres associés à \( \lambda_1, \ldots, \lambda_n \). Tout vecteur \( x \) s’écrit \( x = \displaystyle\sum_{i=1}^n x_i \varepsilon_i \) avec \( \|x\|^2 = \displaystyle\sum_{i=1}^n x_i^2 \). Alors :
\[ \langle x, {}^t\!AA \, x \rangle = \sum_{i=1}^n \lambda_i x_i^2 \leq \lambda_n \sum_{i=1}^n x_i^2 = \lambda_n \|x\|^2 \]
et de même pour la borne inférieure.
Inégalités sur les valeurs propres
Inégalité arithmético-géométrique appliquée à la liste étendue
Soit \( S \in S_n(\mathbb{R}) \) une matrice symétrique dont toutes les valeurs propres sont positives ou nulles, et \( (\mu_1, \ldots, \mu_n) \) sa liste étendue. L’inégalité arithmético-géométrique, appliquée à ces \( n \) réels positifs, donne :
\[ \prod_{i=1}^{n} \mu_i \leq \left( \frac{\displaystyle\sum_{i=1}^n \mu_i}{n} \right)^n = \left( \frac{\mathrm{tr}(S)}{n} \right)^n \]
L’égalité a lieu si et seulement si toutes les valeurs propres sont égales, c’est-à-dire si et seulement si \( S = \lambda I_n \) pour un certain \( \lambda \geq 0 \).
Le membre de gauche est le produit de toutes les valeurs propres, que l’on peut lire directement sur la liste étendue sans faire appel au déterminant de matrices de grande taille. C’est précisément l’utilité de la liste étendue : elle permet d’énoncer et de démontrer des inégalités portant sur l’ensemble des valeurs propres de manière uniforme, indépendamment de leur multiplicité.
Cette inégalité est totalement hors programme.
Inégalité \( \mathrm{tr}(A^2) \leq \mathrm{tr}({}^t\!AA) \)
Pour toute matrice \( A \in M_n(\mathbb{R}) \), on a \( \mathrm{tr}(A^2) \leq \mathrm{tr}({}^t\!AA) \), avec égalité si et seulement si \( A \) est symétrique.
Démonstration
On calcule directement :
\[ \mathrm{tr}({}^t\!AA) = \sum_{i,j} a_{ij}^2 \]
\[ \mathrm{tr}(A^2) = \sum_i (A^2)_{ii} = \sum_i \sum_j a_{ij} a_{ji} \]
Par l’inégalité \( 2a_{ij}a_{ji} \leq a_{ij}^2 + a_{ji}^2 \), on a \( a_{ij}a_{ji} \leq \displaystyle\frac{a_{ij}^2 + a_{ji}^2}{2} \), donc :
\[ \mathrm{tr}(A^2) = \sum_{i,j} a_{ij} a_{ji} \leq \sum_{i,j} \frac{a_{ij}^2 + a_{ji}^2}{2} = \sum_{i,j} a_{ij}^2 = \mathrm{tr}({}^t\!AA) \]
L’égalité a lieu si et seulement si \( a_{ij} = a_{ji} \) pour tout \( (i,j) \), c’est-à-dire si et seulement si \( A \) est symétrique.
En termes de liste étendue, cette inégalité se lit ainsi : si \( (\lambda_1, \ldots, \lambda_n) \) est la liste étendue des valeurs propres de \( {}^t\!AA \), alors \( \mathrm{tr}(A^2) \leq \displaystyle\sum_{i=1}^n \lambda_i \), ce qui majore la trace de \( A^2 \) par la somme des valeurs propres de \( {}^t\!AA \).
Application : inégalité sur un produit de termes
Soit \( (\lambda_1, \ldots, \lambda_n) \) la liste étendue des valeurs propres de \( {}^t\!AA \). Pour tout réel \( x \geq 0 \), on considère le produit \( \displaystyle\prod_{i=1}^{n}(x + \lambda_i) \). Puisque \( x + \lambda_i \geq 0 \) pour tout \( i \), l’inégalité arithmético-géométrique donne :
\[ \prod_{i=1}^{n}(x + \lambda_i) \leq \left( \frac{\displaystyle\sum_{i=1}^{n}(x + \lambda_i)}{n} \right)^n = \left( \frac{nx + \mathrm{tr}({}^t\!AA)}{n} \right)^n \]
On peut retrouver ce type d’inégalité à la fin de problème de concours. Bien évidemment, cette inégalité n’est pas à connaître.
Travailler la liste étendue des valeurs propres
Si tu veux travailler la liste étendue des valeurs propres, voilà un sujet de concours où tu peux la retrouver :
Conclusion
La liste étendue des valeurs propres d’une matrice diagonalisable \( A \) est la liste de longueur \( n \) où chaque valeur propre figure autant de fois que la dimension de l’espace propre associé. L’erreur classique est de confondre la liste étendue avec la liste des valeurs propres distinctes, ce qui conduit à des formules fausses pour la trace dès qu’une valeur propre a une multiplicité supérieure à \( 1 \).
