L’inégalité arithmético-géométrique est une inégalité centrale en analyse qui fait le lien entre la moyenne arithmétique et la moyenne géométrique (une extension de cette inégalité permet aussi de faire le lien avec l’inégalité dite harmonique). Cette relation permet in fine d’aboutir à des inégalités plus complexes entre fonctions dans un sujet d’écrit comme d’oral. Abordons donc la définition de cette inégalité dans le cas de deux variables, avant d’aborder le cas général d’une série de n-réels. Nous verrons ensuite une application possible de cette inégalité, avant d’aller plus loin pour les plus motivés et de faire le lien avec la moyenne harmonique et de mesurer l’écart entre les deux moyennes (arithmétique et géométrique).
Rappels préalables
Voici un rapide rappel qui nous sera indispensable par la suite sur la définition des moyennes arithmétique et géométrique dans les cas de \(2\) et de \(n\) variables. Si tu connais déjà cela, tu peux passer cette partie !
Moyenne arithmétique
Pour un ensemble de deux réels \(a\) et \(b\), la moyenne arithmétique de \(a\) et \(b\) est définie par : \( \frac{a + b}{2}\)
Pour un ensemble de \( n \) réels \( a_1, a_2, \dots, a_n \), la moyenne arithmétique est définie par : \(\frac{a_1 + a_2 + \cdots + a_n}{n}\)
Moyenne géométrique
Pour un ensemble de deux réels \(a\) et \(b\) strictement positifs, la moyenne géométrique de \(a\) et \(b\) est définie par : \(\sqrt{ab}\)
Pour un ensemble de \( n \) réels strictement positifs \( a_1, a_2, \dots, a_n \), la moyenne géométrique est définie par : \( \sqrt[n]{a_1 a_2 \cdots a_n}\)
Définition dans le cas de deux variables
Voici la définition de cette inégalité dans le cas de deux variables :
Pour \(a, b > 0\), on a :
\[
\frac{a + b}{2} \geq \sqrt{ab}
\]
Avec le cas d’égalité pour \(a = b\) que tu vérifieras aisément en remplaçant \(a\) par \(b\) des deux côtés de l’inégalité.
Ici, l’élément \(\frac{a + b}{2}\) désigne la moyenne arithmétique de \(a\) et \(b\), tandis que \(\sqrt{ab}\) renvoie à la moyenne géométrique de ces deux réels strictement positifs.
Démonstration
Précision préalable : il existe plein de façons de démontrer cette inégalité (j’en dénombre au moins cinq…) et nous n’aborderons que la plus accessible, qui a le bénéfice d’être rapide à rédiger et, en plus, ramenant au programme du lycée !
Nous partons de l’inégalité qui est toujours vraie pour \(x \geq 0\) et \(y \geq 0\), car le carré d’un réel est toujours positif ou nul :
\[
(\sqrt{x} – \sqrt{y})^2 \geq 0
\]
Développons cette expression (identité remarquable) :
\[
(\sqrt{x} – \sqrt{y})^2 = x – 2\sqrt{xy} + y
\]
Nous obtenons ainsi :
\[
x + y \geq 2\sqrt{xy}
\]
En divisant par 2, nous obtenons l’inégalité recherchée :
\[
\frac{x + y}{2} \geq \sqrt{xy}
\]
Cas général
Pour tout \(n \in \mathbb{N}^*\) et \(a_1, a_2, \dots, a_n > 0\), l’inégalité arithmético-géométrique (IAG) s’écrit :
\[
\frac{a_1 + a_2 + \cdots + a_n}{n} \geq \sqrt[n]{a_1 a_2 \cdots a_n}
\]
Avec égalité si et seulement si \(a_1 = a_2 = \cdots = a_n\). Tu pourras aisément vérifier le cas d’égalité en remplaçant tous les \(a_i\) par \(a_1\) des deux côtés de l’inégalité encore une fois.
Démonstration
Là encore, il existe plein de manières de démontrer ce cas général. Voici une possibilité parmi d’autres, cette dernière ayant l’avantage d’être celle retenue dans la majorité des corrigés de sujets d’annales qui nécessitent de démontrer cette inégalité, car elle est à la fois la plus rapide à écrire et la plus abordable pour un élève en prépa.
La fonction \(\ln\) est concave sur \(]0, +\infty[\). Par l’inégalité de Jensen :
\[
\ln\left( \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n a_i \right) \geq \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n \ln a_i
\]
Or,
\begin{align*}
\frac{1}{n} \sum_{i=1}^n \ln a_i
&= \ln(a_1^{1/n}) + \ln(a_2^{1/n}) + \cdots + \ln(a_n^{1/n}) \\
&= \ln\left( a_1^{1/n} \cdot a_2^{1/n} \cdots a_n^{1/n} \right) \\
&= \ln\left( (a_1 a_2 \cdots a_n)^{1/n} \right) \\
&= \ln\left( \sqrt[n]{a_1 \cdots a_n} \right)
\end{align*}
On a donc \[ \ln( \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n a_i) \geq \ln( \sqrt[n]{a_1 \cdots a_n})\]
En prenant l’exponentielle des deux côtés :
\[
\frac{a_1 + \cdots + a_n}{n} \geq \sqrt[n]{a_1 \cdots a_n}
\]
Exemple classique
On cherche à minimiser \(f(x) = x + \frac{1}{x}\) pour \(x > 0\). Pour cela, une bonne vieille étude de fonction pourrait fonctionner, mais en raisonnant de manière plus fine, il est possible de gagner pas mal de temps !
Par l’IAG en posant \(a =x\) et \(b = \frac{1}{x}\) qui ont tous les deux le bon goût d’être positifs :
\[
\frac{x + \frac{1}{x}}{2} \geq \sqrt{x \cdot \frac{1}{x}} = 1 \Rightarrow x + \frac{1}{x} \geq 2
\]
Minimum atteint en \(x = 1\). Voici le graphique de la fonction si tu n’es pas encore convaincu(e) :
Bonus
Majoration de l’erreur
Maintenant que l’on a établi cette inégalité, il est de bon ton de connaître dans quelle mesure la majoration de l’inégalité géométrique par l’inégalité arithmétique est grossière. Cela revient à étudier la différence entre les deux moyennes. Là encore, il convient de distinguer le cas général du cas \(n=2\) dans lequel on pourra connaître exactement la différence.
Prenons d’abord le cas général
On peut raffiner l’inégalité de base en encadrant la différence entre la moyenne arithmétique et la moyenne géométrique :
\[
0 \leq \frac{x_1 + \cdots + x_n}{n} – \sqrt[n]{x_1 \cdots x_n} \leq \frac{1}{n} \sum_{1 \leq i < j \leq n} \left( \sqrt{x_i} – \sqrt{x_j} \right)^2
\]
Cette inégalité est trop longue à démontrer, retiens simplement que l’on peut majorer l’écart entre les deux types de moyennes.
Cas \(n = 2\) (égalité exacte)
Dans le cas \(n=2\), la différence entre les deux moyennes est bien connue :
\[
\frac{x + y}{2} – \sqrt{xy} = \frac{1}{2} \left( \sqrt{x} – \sqrt{y} \right)^2
\]
Minoration de la moyenne géométrique
Donc, nous connaissons désormais l’inégalité qui fait le lien entre moyenne géométrique et arithmétique. Incluons-y dès à présent une relation avec la moyenne harmonique.
On a ainsi l’inégalité suivante, qui minore la moyenne géométrique par la moyenne harmonique :
\[
\sqrt[n]{a_1 \cdots a_n} \geq \frac{n}{\frac{1}{a_1} + \cdots + \frac{1}{a_n}}
\]
Nous ne démontrerons pas cette inégalité qui n’est pas au cœur du thème de cet article. La démonstration n’est toutefois pas inintéressante, même si elle est abordée beaucoup moins souvent dans les sujets d’écrits que l’inégalité arithmético-géométrique.
Conclusion
L’inégalité arithmético-géométrique est donc une inégalité fondamentale en analyse qui permet d’analyser le comportement des fonctions. Il n’existe à ce jour aucun sujet centré sur cette inégalité, car la notion est trop restreinte pour un sujet de 4 heures. Toutefois, cette inégalité est présente dans un très grand nombre de sujets d’écrits comme d’oraux dans des questions intermédiaires permettant d’aboutir à des inégalités de fonctions plus complexes.
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