L’inégalité de Kantorovitch est une inégalité importante qui relie une matrice symétrique définie positive à son inverse. Elle permet de majorer le produit de deux formes quadratiques faisant intervenir une même matrice et elle fournit une estimation précise en fonction de la plus petite et de la plus grande valeur propre. Cette inégalité intervient en algèbre linéaire, en analyse numérique et en optimisation. Elle permet notamment de mesurer l’effet de la dispersion des valeurs propres d’une matrice. Plus celles-ci sont éloignées les unes des autres, plus la constante qui intervient dans l’inégalité est grande. Bien que cette notion soit généralement hors programme en prépa ECG, elle peut apparaître dans un problème guidé faisant intervenir des matrices symétriques, des produits scalaires, des valeurs propres ou des sommes pondérées.
Forme numérique de l’inégalité de Kantorovitch
Soient \(x_1,\ldots,x_n\) des réels appartenant à un intervalle \([m,M]\), avec :
\[
0<m\leq x_i\leq M
\]
On considère également des poids positifs \(p_1,\ldots,p_n\) tels que :
\[
p_1+\cdots+p_n=1
\]
L’inégalité de Kantorovitch affirme que :
\[
\left(\sum_{i=1}^{n}p_ix_i\right)
\left(\sum_{i=1}^{n}\displaystyle \frac{p_i}{x_i}\right)
\leq
\displaystyle \frac{(M+m)^2}{4Mm}
\]
Le membre de gauche est le produit d’une moyenne arithmétique pondérée des \(x_i\) et d’une moyenne pondérée de leurs inverses.
Le réel :
\[
\displaystyle \frac{(M+m)^2}{4Mm}
\]
est appelé la constante de Kantorovitch associée aux bornes \(m\) et \(M\).
Cette constante est toujours supérieure ou égale à \(1\), car :
\[
(M+m)^2-4Mm=(M-m)^2\geq0
\]
Ainsi :
\[
\displaystyle \frac{(M+m)^2}{4Mm}\geq1
\]
Lien avec l’inégalité de Cauchy-Schwarz
L’inégalité de Cauchy-Schwarz fournit une minoration du même produit.
En effet :
\[
\left(\sum_{i=1}^{n}p_ix_i\right)
\left(\sum_{i=1}^{n}\displaystyle \frac{p_i}{x_i}\right)
\geq
\left(\sum_{i=1}^{n}p_i\right)^2
\]
Comme :
\[
\sum_{i=1}^{n}p_i=1
\]
on obtient :
\[
\left(\sum_{i=1}^{n}p_ix_i\right)
\left(\sum_{i=1}^{n}\displaystyle \frac{p_i}{x_i}\right)
\geq1
\]
On dispose donc de l’encadrement :
\[
1
\leq
\left(\sum_{i=1}^{n}p_ix_i\right)
\left(\sum_{i=1}^{n}\displaystyle \frac{p_i}{x_i}\right)
\leq
\displaystyle \frac{(M+m)^2}{4Mm}
\]
L’inégalité de Kantorovitch complète donc l’inégalité de Cauchy-Schwarz en donnant une majoration du produit.
Démonstration de la forme numérique
Comme \(x_i\in[m,M]\), on a :
\[
(x_i-m)(M-x_i)\geq0
\]
En développant :
\[
-x_i^2+(M+m)x_i-Mm\geq0
\]
Puisque \(x_i>0\), on peut diviser cette inégalité par \(x_i\) :
\[
x_i+\displaystyle \frac{Mm}{x_i}\leq M+m
\]
On multiplie ensuite par \(p_i\), puis on somme pour \(i\) allant de \(1\) à \(n\) :
\[
\sum_{i=1}^{n}p_ix_i
+
Mm\sum_{i=1}^{n}\displaystyle \frac{p_i}{x_i}
\leq M+m
\]
Posons :
\[
X=\sum_{i=1}^{n}p_ix_i
\]
et :
\[
Y=Mm\sum_{i=1}^{n}\displaystyle \frac{p_i}{x_i}
\]
On a alors :
\[
X+Y\leq M+m
\]
Or, pour deux réels positifs \(X\) et \(Y\), l’inégalité arithmético-géométrique donne :
\[
XY\leq
\left(\displaystyle \frac{X+Y}{2}\right)^2
\]
On en déduit :
\[
XY\leq
\displaystyle \frac{(M+m)^2}{4}
\]
En remplaçant \(X\) et \(Y\) par leurs expressions :
\[
Mm
\left(\sum_{i=1}^{n}p_ix_i\right)
\left(\sum_{i=1}^{n}\displaystyle \frac{p_i}{x_i}\right)
\leq
\displaystyle \frac{(M+m)^2}{4}
\]
Comme \(Mm>0\), on obtient finalement :
\[
\left(\sum_{i=1}^{n}p_ix_i\right)
\left(\sum_{i=1}^{n}\displaystyle \frac{p_i}{x_i}\right)
\leq
\displaystyle \frac{(M+m)^2}{4Mm}
\]
Forme matricielle de l’inégalité
Soit \(A\in\mathcal M_n(\mathbb R)\) une matrice symétrique définie positive. On suppose que toutes ses valeurs propres appartiennent à l’intervalle \([m,M]\), avec :
\[
0<m\leq M
\]
Alors, pour tout vecteur colonne non nul \(X\in\mathbb R^n\) :
\[
(X^TAX)(X^TA^{-1}X)
\leq
\displaystyle \frac{(M+m)^2}{4Mm}(X^TX)^2
\]
Lorsque \(X\) est un vecteur unitaire, c’est-à-dire lorsque :
\[
X^TX=1
\]
l’inégalité devient :
\[
(X^TAX)(X^TA^{-1}X)
\leq
\displaystyle \frac{(M+m)^2}{4Mm}
\]
Cette forme est particulièrement utile lorsqu’une matrice et son inverse apparaissent dans une même expression.
Démonstration par diagonalisation
Comme \(A\) est réelle et symétrique, elle est diagonalisable dans une base orthonormale.
Il existe donc une matrice orthogonale \(P\) et une matrice diagonale \(D\) telles que :
\[
A=PDP^T
\]
avec :
\[
D=
diag(\lambda_1,\ldots,\lambda_n)
\]
où chaque valeur propre vérifie :
\[
m\leq\lambda_i\leq M
\]
Posons :
\[
Y=P^TX
\]
Comme \(P\) est orthogonale :
\[
X^TX=Y^TY
\]
De plus :
\[
X^TAX
=
Y^TDY
=
\sum_{i=1}^{n}\lambda_i y_i^2
\]
et :
\[
X^TA^{-1}X
=
\sum_{i=1}^{n}\displaystyle \frac{y_i^2}{\lambda_i}
\]
Supposons d’abord que \(X\) soit unitaire. Alors :
\[
\sum_{i=1}^{n}y_i^2=1
\]
On peut appliquer la forme numérique de l’inégalité en posant :
\[
p_i=y_i^2
\qquad\text{et}\qquad
x_i=\lambda_i
\]
On obtient :
\[
(X^TAX)(X^TA^{-1}X)
\leq
\displaystyle \frac{(M+m)^2}{4Mm}
\]
Pour un vecteur \(X\) quelconque, il suffit d’appliquer le résultat au vecteur normalisé :
\[
\displaystyle \frac{X}{\|X\|}
\]
ce qui fait apparaître le facteur :
\[
(X^TX)^2
\]
Interprétation de la constante de Kantorovitch
On pose souvent :
\[
\kappa=\displaystyle \frac{M}{m}
\]
Le nombre \(\kappa\) mesure le rapport entre la plus grande et la plus petite valeur propre.
La constante de Kantorovitch se réécrit alors :
\[
\displaystyle \frac{(M+m)^2}{4Mm}
=
\displaystyle \frac{(\kappa+1)^2}{4\kappa}
\]
Lorsque \(M\) et \(m\) sont proches, on a \(\kappa\approx1\), et la constante est proche de \(1\).
En revanche, lorsque \(M\) est très grand devant \(m\), la constante augmente. Cela signifie que l’inégalité devient moins précise lorsque les valeurs propres sont très dispersées.
Ainsi, l’inégalité de Kantorovitch fournit une mesure de l’écart entre une matrice et un multiple de l’identité.
Cas d’égalité
Dans la forme numérique, l’égalité peut être atteinte lorsque les nombres \(x_i\) prennent uniquement les valeurs extrêmes \(m\) et \(M\), avec des poids particuliers.
Dans la forme matricielle, cela correspond à un vecteur \(X\) construit à partir de vecteurs propres associés à la plus petite et à la plus grande valeur propre.
Lorsque :
\[
m=M
\]
toutes les valeurs propres de \(A\) sont égales. La matrice est alors de la forme :
\[
A=mI_n
\]
La constante de Kantorovitch vaut alors :
\[
\displaystyle \frac{(m+m)^2}{4m^2}=1
\]
et l’inégalité devient une égalité pour tout vecteur \(X\).
Exemple avec une matrice diagonale
Considérons :
\[
A=
\begin{pmatrix}
1&0\\
0&4
\end{pmatrix}
\]
Ses valeurs propres sont :
\[
m=1
\qquad\text{et}\qquad
M=4
\]
La constante de Kantorovitch vaut :
\[
\displaystyle \frac{(4+1)^2}{4\times4\times1}
=
\displaystyle \frac{25}{16}
\]
Prenons le vecteur unitaire :
\[
X=
\displaystyle \frac{1}{\sqrt{2}}
\begin{pmatrix}
1\\
1
\end{pmatrix}
\]
On calcule :
\[
X^TAX
=
\displaystyle \frac{1+4}{2}
=
\displaystyle \frac{5}{2}
\]
De plus :
\[
A^{-1}
=
\begin{pmatrix}
1&0\\
0&\displaystyle \frac{1}{4}
\end{pmatrix}
\]
Ainsi :
\[
X^TA^{-1}X
=
\displaystyle \frac{1+\frac{1}{4}}{2}
=
\displaystyle \frac{5}{8}
\]
Le produit vaut donc :
\[
\displaystyle \frac{5}{2}\times\frac{5}{8}
=
\displaystyle \frac{25}{16}
\]
L’égalité est atteinte dans cet exemple.
Une conséquence utile
L’inégalité de Cauchy-Schwarz appliquée dans un produit scalaire adapté donne également :
\[
(X^TAX)(X^TA^{-1}X)\geq(X^TX)^2
\]
On obtient donc l’encadrement complet :
\[
(X^TX)^2
\leq
(X^TAX)(X^TA^{-1}X)
\leq
\displaystyle \frac{(M+m)^2}{4Mm}(X^TX)^2
\]
Pour un vecteur unitaire :
\[
1
\leq
(X^TAX)(X^TA^{-1}X)
\leq
\displaystyle \frac{(M+m)^2}{4Mm}
\]
Cet encadrement montre que le produit ne peut jamais être inférieur à \(1\), mais qu’il reste contrôlé par les valeurs propres extrêmes.
Comment utiliser l’inégalité dans un exercice ?
Lorsqu’une matrice symétrique définie positive et son inverse apparaissent, il faut rechercher immédiatement ses valeurs propres extrêmes.
La méthode consiste généralement à :
- vérifier que la matrice est symétrique définie positive ;
- déterminer ou encadrer sa plus petite valeur propre \(m\) ;
- déterminer ou encadrer sa plus grande valeur propre \(M\) ;
- vérifier si le vecteur \(X\) est unitaire ;
- appliquer la forme matricielle de l’inégalité ;
- ajouter le facteur \((X^TX)^2\) si \(X\) n’est pas unitaire.
Si une démonstration est demandée, la diagonalisation orthogonale de la matrice constitue généralement la méthode la plus naturelle.
Conclusion
L’inégalité de Kantorovitch permet de majorer le produit de deux formes quadratiques associées à une matrice symétrique définie positive et à son inverse.
Si les valeurs propres de \(A\) appartiennent à \([m,M]\), alors :
\[
(X^TAX)(X^TA^{-1}X)
\leq
\displaystyle \frac{(M+m)^2}{4Mm}(X^TX)^2
\]
Elle complète l’inégalité de Cauchy-Schwarz, qui fournit la minoration correspondante.
Cette inégalité met surtout en évidence le rôle des valeurs propres extrêmes. Plus celles-ci sont proches, plus la constante de Kantorovitch est proche de \(1\). Dans un exercice, elle permet donc d’obtenir rapidement une estimation précise sans calculer directement toutes les expressions.
